1.定义

有了加权有向图之后，我们立刻就能联想到实际生活中的使用场景，例如在一副地图中，找到顶点a与地点b之间的路径，这条路径可以是距离最短，也可以是时间最短，也可以是费用最小等，如果我们把距离/时间/费用看做是成本，那么就需要找到地点a和地点b之间成本最小的路径，也就是我们接下来要解决的最短路径问题。

定义：
在一副加权有向图中，从顶点s到顶点t的最短路径是所有从顶点s到顶点t的路径中总权重最小的那条路径

性质：
1.路径具有方向性；
2.权重不一定等价于距离。权重可以是距离、时间、花费等内容，权重最小指的是成本最低
3.只考虑连通图。一副图中并不是所有的顶点都是可达的，如果s和t不可达，那么它们之间也就不存在最短路径，为了简化问题，这里只考虑连通图。
4.最短路径不一定是唯一的。从一个顶点到达另外一个顶点的权重最小的路径可能会有很多条，这里只需要找出一条即可。

最短路径树：
给定一副加权有向图和一个顶点s，以s为起点的一棵最短路径树是图的一副子图，它包含顶点s以及从s可达的所有顶点。这棵有向树的根结点为s，树的每条路径都是有向图中的一条最短路径。

2.松弛技术

松弛这个词来源于生活：一条橡皮筋沿着两个顶点的某条路径紧紧展开，如果这两个顶点之间的路径不止一条，还有存在更短的路径，那么把皮筋转移到更短的路径上，皮筋就可以放松了。

松弛这种简单的原理刚好可以用来计算最短路径树。

在我们的API中，需要用到两个成员变量edgeTo和distTo，分别存储边和权重。一开始给定一幅图G和顶点s，我们只知道图的边以及这些边的权重，其他的一无所知，此时初始化顶点s到顶点s的最短路径的总权重disto[s]=0；顶点s到其他顶点的总权重默认为无穷大，随着算法的执行，不断的使用松弛技术处理图的边和顶点，并按一定的条件更新edgeTo和distTo中的数据，最终就可以得到最短路径树。

边的松弛：
放松边v->w意味着检查从s到w的最短路径是否先从s到v，然后再从v到w？如果是，则v-w这条边需要加入到最短路径树中，更新edgeTo和distTo中的内容：edgeTo[w]=表示v->w这条边的 DirectedEdge对象，distTo[w]=distTo[v]+v->w这条边的权重；如果不是，则忽略v->w这条边。

顶点的松弛：
顶点的松弛是基于边的松弛完成的，只需要把某个顶点指出的所有边松弛，那么该顶点就松弛完毕。例如要松弛顶点v，只需要遍历v的邻接表，把每一条边都松弛，那么顶点v就松弛了。

如果把起点设置为顶点0，那么找出起点0到顶点6的最短路径0->2->7>3->6的过程如下:

3. Dijstra算法实现

package 图;
import 优先队列.IndexMinPriorityQueue;
import 线性表.Queue;
public class DijkstraSP {
    //索引代表顶点，值表示从顶点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边
    private DirectedEdge[] edgeTo;
    //索引代表顶点，值从顶点s到当前顶点的最短路径的总权重
    private double[] distTo;
    //存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边
    private IndexMinPriorityQueue<Double> pq;
    //根据一副加权有向图G和顶点s，创建一个计算顶点为s的最短路径树对象
    public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s) {
        //创建一个和图的顶点数一样大小的DirectedEdge数组，表示边
        this.edgeTo = new DirectedEdge[G.V()];
        //创建一个和图的顶点数一样大小的double数组，表示权重，并且初始化数组中的内容为无穷大，无穷大即表示不存在这样的边
        this.distTo = new double[G.V()];
        for (int i = 0; i < distTo.length; i++) {
            distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;
        }
        //创建一个和图的顶点数一样大小的索引优先队列，存储有效横切边
        this.pq = new IndexMinPriorityQueue<>(G.V());
        //默认让顶点s进入树中，但s顶点目前没有与树中其他的顶点相连接，因此初始化distTo[s]=0.0
        distTo[s] = 0.0;
        //使用顶点s和权重0.0初始化pq
        pq.insert(s, 0.0);
        //遍历有效边队列
        while (!pq.isEmpty()) {
            //松弛图G中的顶点
            relax(G, pq.delMin());
        }
    }
    //松弛图G中的顶点v
    private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v) {
        //松弛顶点v就是松弛顶点v邻接表中的每一条边，遍历邻接表
        for (DirectedEdge e : G.adj(v)) {
            //获取边e的终点
            int w = e.to();
            //起点s到顶点w的权重是否大于起点s到顶点v的权重+边e的权重,如果大于，则修改s->w的路径：edgeTo[w]=e,并修改distTo[v] = distTo[v]+e.weitht(),如果不大于，则忽略
            if (distTo(w) > distTo(v) + e.weight()) {
                distTo[w] = distTo[v] + e.weight();
                edgeTo[w] = e;
                //如果顶点w已经存在于优先队列pq中，则重置顶点w的权重
                if (pq.contains(w)) {
                    pq.changeItem(w, distTo(w));
                } else {
                    //如果顶点w没有出现在优先队列pq中，则把顶点w及其权重加入到pq中
                    pq.insert(w, distTo(w));
                }
            }
        }
    }
    //获取从顶点s到顶点v的最短路径的总权重
    public double distTo(int v) {
        return distTo[v];
    }
    //判断从顶点s到顶点v是否可达
    public boolean hasPathTo(int v) {
        return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY;
    }
    //查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边
    public Queue<DirectedEdge> pathTo(int v) {
        //如果顶点s到v不可达，则返回null
        if (!hasPathTo(v)) {
            return null;
        }
        //创建队列Queue保存最短路径的边
        Queue<DirectedEdge> edges = new Queue<>();
        //从顶点v开始，逆向寻找，一直找到顶点s为止，而起点s为最短路劲树的根结点，所以edgeTo[s]=null;
        DirectedEdge e = null;
        while (true) {
            e = edgeTo[v];
            if (e == null) {
                break;
            }
            edges.enqueue(e);
            v = e.from();
        }
        return edges;
    }
}

数据结构与算法

⑥最短路径-Dijkstra算法

1.定义

2.松弛技术

3. Dijstra算法实现