1.二叉树定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

代码实现：
put()

delete()
删除方法delete实现思想：
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

package 树;
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {
    //记录根结点
    private Node root;
    //记录树中元素的个数
    private int N;
    //获取树中元素的个数
    public int size() {
        return N;
    }
    //向树中添加元素key-value
    public void put(Key key, Value value) {
        root = put(root, key, value);
    }
    //向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树
    private Node put(Node x, Key key, Value value) {
        if (x == null) {
            //个数+1
            N++;
            return new Node(key, value, null, null);
        }
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点
            x.right = put(x.right, key, value);
        } else if (cmp < 0) {
            //新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点
            x.left = put(x.left, key, value);
        } else {
            //新结点的key等于当前结点的key，把当前结点的value进行替换
            x.value = value;
        }
        return x;
    }
    //查询树中指定key对应的value
    public Value get(Key key) {
        return get(root, key);
    }
    //从指定的树x中，查找key对应的值
    public Value get(Node x, Key key) {
        if (x == null) {
            return null;
        }
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
            return get(x.right, key);
        } else if (cmp < 0) {
            //如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
            return get(x.left, key);
        } else {
            //如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
            return x.value;
        }
    }
    //删除树中key对应的value
    public void delete(Key key) {
        root = delete(root, key);
    }
    //删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树
    public Node delete(Node x, Key key) {
        if (x == null) {
            return null;
        }
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点
            x.right = delete(x.right, key);
        } else if (cmp < 0) {
            //新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点
            x.left = delete(x.left, key);
        } else {
            //新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点
            //1.如果当前结点的右子树不存在，则直接返回当前结点的左子结点
            if (x.right == null) {
                return x.left;
            }
            //2.如果当前结点的左子树不存在，则直接返回当前结点的右子结点
            if (x.left == null) {
                return x.right;
            }
            //3.当前结点的左右子树都存在
            //3.1找到右子树中最小的结点
            Node minNode = x.right;
            while (minNode.left != null) {
                minNode = minNode.left;
            }
            //3.2删除右子树中最小的结点
            Node n = x.right;
            while (n.left != null) {
                if (n.left.left == null) {
                    n.left = null;
                } else {
                    n = n.left;
                }
            }
            //3.3让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
            minNode.left = x.left;
            minNode.right = x.right;
            //3.4让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
            x = minNode;
            //个数-1
            N--;
        }
        return x;
    }
    private class Node {
        //存储键
        public Key key;
        //存储值
        private Value value;
        //记录左子结点
        public Node left;
        //记录右子结点
        public Node right;
        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
}

2.二叉查找树查找最值

2.1.查找最小的键

//找出整个树中最小的键
    public Key min(){
        return min(root).key;
    }
    //找出指定树x中最小的键所在的结点
    private Node min(Node x){
        if (x.left!=null){
            return min(x.left);
        }else{
            return x;
        }
    }

2.2.查找最大的键

 //找出整个树中最大的键
    public Key max(){
        return max(root).key;
    }
    //找出指定树x中最大键所在的结点
    public Node max(Node x){
        if (x.right!=null){
            return max(x.right);
        }else{
            return x;
        }
    }

3.遍历

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访 问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
1.前序遍历； 先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
2.中序遍历； 先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
3.后序遍历； 先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

3.1.前序遍历

先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

代码实现：

public Queue<Key> preErgodic(){
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        preErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    //使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
    private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if (x==null){
            return;
        }
        //1.把当前结点的key放入到队列中;
        keys.enqueue(x.key);
        //2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
        if (x.left!=null){
            preErgodic(x.left,keys);
        }
        //3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
        if (x.right!=null){
            preErgodic(x.right,keys);
        }
    }

3.2.中序遍历

先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树

代码实现：

//使用中序遍历，获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> midErgodic(){
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        midErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    //使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
    private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if (x==null){
            return;
        }
        //1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
        if (x.left!=null){
            midErgodic(x.left,keys);
        }
        //2.把当前结点的key放入到队列中;
        keys.enqueue(x.key);
        //3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
        if (x.right!=null){
            midErgodic(x.right,keys);
        }
    }

3.3.后序遍历

先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

代码实现：

//使用后序遍历，获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> afterErgodic(){
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        afterErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    //使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
    private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if (x==null){
            return;
        }
        //1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
        if (x.left!=null){
            afterErgodic(x.left,keys);
        }
        //2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
        if (x.right!=null){
            afterErgodic(x.right,keys);
        }
        //3.把当前结点的key放入到队列中;
        keys.enqueue(x.key);
    }

3.4.层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：


实现步骤：
1.创建队列，存储每一层的结点；
2.使用循环从队列中弹出一个结点：
2.1获取当前结点的key；
2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

代码实现：

//使用层序遍历得到树中所有的键
    public Queue<Key> layerErgodic() {
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        Queue<Node> nodes = new Queue<>();
        nodes.enqueue(root);
        while (!nodes.isEmpty()) {
            Node x = nodes.dequeue();
            keys.enqueue(x.key);
            if (x.left != null) {
                nodes.enqueue(x.left);
            }
            if (x.right != null) {
                nodes.enqueue(x.right);
            }
        }
        return keys;
    }

4.最大深度问题

给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）

实现步骤：
1.如果根结点为空，则最大深度为0；
2.计算左子树的最大深度；
3.计算右子树的最大深度；
4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

代码实现：

//计算整个树的最大深度
    public int maxDepth() {
        return maxDepth(root);
    }
    //计算指定树x的最大深度
    private int maxDepth(Node x) {
        //1.如果根结点为空，则最大深度为0；
        if (x == null) {
            return 0;
        }
        int max = 0;
        int maxL = 0;
        int maxR = 0;
        //2.计算左子树的最大深度；
        if (x.left != null) {
            maxL = maxDepth(x.left);
        }
        //3.计算右子树的最大深度；
        if (x.right != null) {
            maxR = maxDepth(x.right);
        }
        //4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
        max = maxL > maxR ? maxL + 1 : maxR + 1;
        return max;
    }

5.折纸问题

需求：
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折 痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上 到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。

给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打 印： down；N=2时，打印： down down up

分析：
我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折 痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构 来描述对折后产生的折痕。

这棵树有这样的特点：
1.根结点为下折痕；
2.每一个结点的左子结点为下折痕；
3.每一个结点的右子结点为上折痕；

实现步骤：
1.定义结点类
2.构建深度为N的折痕树；
3.使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；

构建深度为N的折痕树：
1.第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
3.循环遍历队列：
3.1从队列中拿出一个结点；
3.2如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
3.3如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
3.4判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为 down的左子结点，一 个值为up的右子结点。

代码实现：

package 树;

import 线性表.Queue;

public class PaperFolding {
    public static void main(String[] args) {
//构建折痕树
        Node tree = createTree(3);
//遍历折痕树，并打印
        printTree(tree);
    }

    //3.使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；
    private static void printTree(Node tree) {
        if (tree == null) {
            return;
        }
        printTree(tree.left);
        System.out.print(tree.item + ",");
        printTree(tree.right);
    }

    //2.构建深度为N的折痕树；
    private static Node createTree(int N) {
        Node root = null;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (i == 0) {
                //1.第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
                root = new Node("down", null, null);
            } else {
                //2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
                Queue<Node> queue = new Queue<>();
                queue.enqueue(root);
                //3.循环遍历队列：
                while (!queue.isEmpty()) {
                    //3.1从队列中拿出一个结点；
                    Node tmp = queue.dequeue();
                    //3.2如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
                    if (tmp.left != null) {
                        queue.enqueue(tmp.left);
                    }
                    //3.3如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
                    if (tmp.right != null) {
                        queue.enqueue(tmp.right);
                    }
                    //3.4判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
                    if (tmp.left == null && tmp.right == null) {
                        tmp.left = new Node("down", null, null);
                        tmp.right = new Node("up", null, null);
                    }
                }
            }
        }
        return root;
    }

    //1.定义结点类
    private static class Node {
        //存储结点元素
        String item;
        //左子结点
        Node left;
        //右子结点
        Node right;

        public Node(String item, Node left, Node right) {
            this.item = item;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
}