形如二阶常系数微分方程的通解 - 图1#card=math&code=y%27%27%2Bpy%27%2Bqy%3Df%28x%29)的形式我们称为 二阶 常系数 非齐次 线性 微分方程。
      我们设二阶常系数微分方程的通解 - 图2为其对应的其次线性方程的特征根,由维达定理我们可以知道:

    二阶常系数微分方程的通解 - 图3

    因此我们可以把方程化为如下形式:

    二阶常系数微分方程的通解 - 图4y’%2Br_1r_2%3Df(x)%0A#card=math&code=y%27%27-%5Cleft%28r_1%2Br_2%20%5Cright%29y%27%2Br_1r_2%3Df%28x%29%0A)

    即:

    二阶常系数微分方程的通解 - 图5‘-r_2(y’-r_1y)%3Df(x)%0A#card=math&code=%28y%27-r_1y%29%27-r_2%28y%27-r_1y%29%3Df%28x%29%0A)

    此时我们令二阶常系数微分方程的通解 - 图6,则有:

    二阶常系数微分方程的通解 - 图7%0A#card=math&code=Y%27-r_2Y%3Df%28x%29%0A)

    很明显这个是一个一阶 线性 微分方程,我们有公式:

    二阶常系数微分方程的通解 - 图8dx%7D%5Cleft(%5Cint%20e%5E%7B%5Cint%20(-r_2)dx%7Df(x)dx%2BC_1%5Cright)%20%5Ctag%7B1%7D%0A#card=math&code=Y%3De%5E%7B-%5Cint%20%28-r_2%29dx%7D%5Cleft%28%5Cint%20e%5E%7B%5Cint%20%28-r_2%29dx%7Df%28x%29dx%2BC_1%5Cright%29%20%5Ctag%7B1%7D%0A)

    之前我们又知道二阶常系数微分方程的通解 - 图9也是一个一阶线性微分方程,我们也有

    二阶常系数微分方程的通解 - 图10

    将上面的二阶常系数微分方程的通解 - 图11#card=math&code=%281%29)带入到二阶常系数微分方程的通解 - 图12#card=math&code=%282%29)的这个式子中就可以接出来二阶常系数微分方程的通解 - 图13了。