二阶常系数微分方程的通解

  形如#card=math&code=y%27%27%2Bpy%27%2Bqy%3Df%28x%29)的形式我们称为 二阶 常系数 非齐次 线性 微分方程。
  我们设为其对应的其次线性方程的特征根，由维达定理我们可以知道：

因此我们可以把方程化为如下形式：

y’%2Br_1r_2%3Df(x)%0A#card=math&code=y%27%27-%5Cleft%28r_1%2Br_2%20%5Cright%29y%27%2Br_1r_2%3Df%28x%29%0A)

即：

‘-r_2(y’-r_1y)%3Df(x)%0A#card=math&code=%28y%27-r_1y%29%27-r_2%28y%27-r_1y%29%3Df%28x%29%0A)

此时我们令,则有：

%0A#card=math&code=Y%27-r_2Y%3Df%28x%29%0A)

很明显这个是一个一阶 线性 微分方程,我们有公式：

dx%7D%5Cleft(%5Cint%20e%5E%7B%5Cint%20(-r_2)dx%7Df(x)dx%2BC_1%5Cright)%20%5Ctag%7B1%7D%0A#card=math&code=Y%3De%5E%7B-%5Cint%20%28-r_2%29dx%7D%5Cleft%28%5Cint%20e%5E%7B%5Cint%20%28-r_2%29dx%7Df%28x%29dx%2BC_1%5Cright%29%20%5Ctag%7B1%7D%0A)

之前我们又知道也是一个一阶线性微分方程，我们也有

将上面的#card=math&code=%281%29)带入到#card=math&code=%282%29)的这个式子中就可以接出来了。