线性模型利用输入特征的线性函数（linear function）进行预测

用于回归的线性模型

  • 对于回归问题，线性模型预测的一般公式如下：

ŷ = w[0] x[0] + w[1] x[1] + … + w[p] x[p] + b
这里 x[0] 到 x[p] 表示单个数据点的特征（本例中特征个数为 p+1），w 和 b 是学习模型的参数，ŷ 是模型的预测结果。对于单一特征的数据集，公式如下：
ŷ = w[0] x[0] + b

  • 这就是高中数学里的直线方程。这里 w[0] 是斜率，b 是 y 轴偏移。
  • 对于有更多特征的数据集，w 包含沿每个特征坐标轴的斜率。
  • 或者，你也可以将预测的响应值看作输入特征的加权求和，权重由 w 的元素给出（可以取负值）。

下列代码可以在一维 wave 数据集上学习参数 w[0] 和 b：

  1. In:
  2.     mglearn.plots.plot_linear_regression_wave()
  3. Out:
  4.     w[0]: 0.393906 b: -0.031804

image.png

  • 用于回归的线性模型可以表示为这样的回归模型：对单一特征的预测结果是一条直线，两个特征时是一个平面，或者在更高维度（即更多特征）时是一个超平面。
  • 直线的预测能力非常受限，似乎数据的所有细节都丢失了。从某种意义上来说，这种说法是正确的。假设目标 y 是特征的线性组合，这是一个非常强的（也有点不现实的）假设。但观察一维数据得出的观点有些片面。对于有多个特征的数据集而言，线性模型可以非常强大。特别地，如果特征数量大于训练数据点的数量，任何目标 y 都可以（在训练集上）用线性函数完美拟合 。

有许多不同的线性回归模型。这些模型之间的区别在于如何从训练数据中学习参数 w 和b，以及如何控制模型复杂度。下面介绍最常见的线性回归模型：

线性回归（又名普通最小二乘法）

  • 线性回归，或者普通最小二乘法（ordinary least squares，OLS），是回归问题最简单也最经典的线性方法。
  • 线性回归寻找参数 w 和 b，使得对训练集的预测值与真实的回归目标值 y之间的均方误差最小。均方误差（mean squared error）是预测值与真实值之差的平方和除以样本数。
  • 线性回归没有参数，这是一个优点，但也因此无法控制模型的复杂度。
    1. In:
    2.   from sklearn.linear_model import LinearRegression
    3.   X, y = mglearn.datasets.make_wave(n_samples=60)
    4.   X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=42)
    5.   lr = LinearRegression().fit(X_train, y_train)

    • “斜率”参数（w，也叫作权重或系数）被保存在 coef 属性中，coef 属性是一个 NumPy 数组，每个元素对应一个输入特征。

    • 偏移或截距（b）被保存在 intercept 属性中，intercept 属性是一个浮点数

  1. In:
  2.     print("lr.coef_: {}".format(lr.coef_))
  3.     print("lr.intercept_: {}".format(lr.intercept_))
  4. Out:
  5.     lr.coef_: [ 0.394]        # w  由于 wave 数据集中只有一个输入特征，所以 lr.coef_ 中只有一个元素。
  6.     lr.intercept_: -0.031804343026759746    # b
  • 对于这个一维数据集来说，过拟合的风险很小，因为模型非常简单（或受限）。然而，对于更高维的数据集（即有大量特征的数据集），线性模型将变得更加强大，过拟合的可能性也会变大。

  • 训练集和测试集之间的性能差异是过拟合的明显标志，标准线性回归最常用的替代方法之一就是岭回归（ridge regression）。

    岭回归

  • 岭回归也是一种用于回归的线性模型，因此它的预测公式与普通最小二乘法相同。

  • 但在岭回归中，对系数（w）的选择不仅要在训练数据上得到好的预测结果，而且还要拟合附加约束。我们还希望系数尽量小。换句话说，w 的所有元素都应接近于 0。直观上来看，这意味着每个特征对输出的影响应尽可能小（即斜率很小），同时仍给出很好的预测结果。这种约束是所谓正则化（regularization）的一个例子。正则化是指对模型做显式约束，以避免过拟合。岭回归用到的这种被称为 L2 正则化。
  • 岭回归在 linear_model.Ridge 中实现。
  • Ridge 是一种约束更强的模型，所以更不容易过拟合。复杂度更小的模型意味着在训练集上的性能更差，但泛化性能更好。由于我们只对泛化性能感兴趣，所以应该选择 Ridge 模型而不是 LinearRegression 模型。
  • Ridge 模型在模型的简单性（系数都接近于 0）与训练集性能之间做出权衡。简单性和训练集性能二者对于模型的重要程度可以由用户通过设置 alpha 参数来指定。在前面的例子中，我们用的是默认参数 alpha=1.0。但没有理由认为这会给出最佳权衡。alpha 的最佳设定值取决于用到的具体数据集。增大 alpha 会使得系数更加趋向于 0，从而降低训练集性能，但可能会提高泛化性能。
  • 减小 alpha 可以让系数受到的限制更小。对于非常小的 alpha 值，系数几乎没有受到限制，可以得到一个与 LinearRegression 类似的模型。
  • 我们还可以查看 alpha 取不同值时模型的 coef 属性，从而更加定性地理解 alpha 参数是如何改变模型的。更大的 alpha 表示约束更强的模型，所以我们预计大 alpha 对应的 coef元素比小 alpha 对应的 coef_ 元素要小。


理解 alpha 参数是如何改变模型的方法

查看 alpha 取不同值时模型的 coef_ 属性

更大的 alpha 表示约束更强的模型，所以我们预计大 alpha 对应的 coef 元素比小 alpha 对应的 coef 元素要小。这一点可以在图 2-12 中得到证实：

  1. In:
  2.     plt.plot(ridge.coef_, 's', label="Ridge alpha=1")
  3.     plt.plot(ridge10.coef_, '^', label="Ridge alpha=10")
  4.     plt.plot(ridge01.coef_, 'v', label="Ridge alpha=0.1")
  5.     plt.plot(lr.coef_, 'o', label="LinearRegression")
  6.     plt.xlabel("Coefficient index")
  7.     plt.ylabel("Coefficient magnitude")
  8.     plt.hlines(0, 0, len(lr.coef_))
  9.     plt.ylim(-25, 25)
  10.     plt.legend()

image.png
不同 alpha 值的岭回归与线性回归的系数比较 ,这里 x 轴对应 coef 的元素：x=0 对应第一个特征的系数，x=1 对应第二个特征的系数，以
此类推，一直到 x=100。_y 轴表示该系数的具体数值。这里需要记住的是，对于 alpha=10，系数大多在 -3 和 3 之间。对于 alpha=1 的 Ridge 模型，系数要稍大一点。对于 alpha=0.1，点的范围更大。对于没有做正则化的线性回归（即 alpha=0），点的范围很大，许多点都超
出了图像的范围。

就是固定 alpha 值，但改变训练数据量

我们对波士顿房价数据集做二次抽样，并在数据量逐渐增加的子数据集上分别对 LinearRegression 和 Ridge(alpha=1) 两个模型进行评估（将模型性能作为数据集大小的函数进行绘图，这样的图像叫作学习曲线）

  1. In:
  2.     mglearn.plots.plot_ridge_n_samples()

image.png
我们可以看到，无论是岭回归还是线性回归，所有数据集大小对应的训练分数都要高于测试分数。由于岭回归是正则化的，因此它的训练分数要整体低于线性回归的训练分数。但岭回归的测试分数要更高，特别是对较小的子数据集。如果少于 400 个数据点，线性回归学不到任何内容。随着模型可用的数据越来越多，两个模型的性能都在提升，最终线性回归的性能追上了岭回归。这里要记住的是，如果有足够多的训练数据，正则化变得不那么重要，并且岭回归和线性回归将具有相同的性能（在这个例子中，二者相同恰好发生在整个数据集的情况下，这只是一个巧合）。图 2-13 中还有一个有趣之处，就是线性回归的训练性能在下降。如果添加更多数据，模型将更加难以过拟合或记住所有的数据。

lasso

除了 Ridge，还有一种正则化的线性回归是 Lasso。与岭回归相同，使用 lasso 也是约束系数使其接近于 0，但用到的方法不同，叫作 L1 正则化。L1 正则化的结果是，使用 lasso 时某些系数刚好为 0。这说明某些特征被模型完全忽略。这可以看作是一种自动化的特征选择。某些系数刚好为 0，这样模型更容易解释，也可以呈现模型最重要的特征。

  1. In:
  2.     from sklearn.linear_model import Lasso
  3.     lasso = Lasso().fit(X_train, y_train)
  4.     print("Training set score: {:.2f}".format(lasso.score(X_train, y_train)))
  5.     print("Test set score: {:.2f}".format(lasso.score(X_test, y_test)))
  6.     print("Number of features used: {}".format(np.sum(lasso.coef_ != 0)))
  7. Out:
  8.     Training set score: 0.29
  9.     Test set score: 0.21
  10.     Number of features used: 4

Lasso 在训练集与测试集上的表现都很差。这表示存在欠拟合，我们发现模型只用到了 105 个特征中的 4 个。与 Ridge 类似，Lasso 也有一个正则化参数 alpha，可以控 制系数趋向于 0 的强度。在上一个例子中，我们用的是默认值 alpha=1.0。为了降低欠拟合，我们尝试减小 alpha。这么做的同时，我们还需要增加 max_iter 的值（运行迭代的最大次数）

  1. In:
  2.     # 我们增大max_iter的值，否则模型会警告我们，说应该增大max_iter
  3.     lasso001 = Lasso(alpha=0.01, max_iter=100000).fit(X_train, y_train)
  4.     print("Training set score: {:.2f}".format(lasso001.score(X_train, y_train)))
  5.     print("Test set score: {:.2f}".format(lasso001.score(X_test, y_test)))
  6.     print("Number of features used: {}".format(np.sum(lasso001.coef_ != 0)))
  7. Out:
  8.     Training set score: 0.90
  9.     Test set score: 0.77
  10.     Number of features used: 33

alpha 值变小，我们可以拟合一个更复杂的模型，在训练集和测试集上的表现也更好。模型性能比使用 Ridge 时略好一点，而且我们只用到了 105 个特征中的 33 个。这样模型可能更容易理解。但如果把 alpha 设得太小，那么就会消除正则化的效果，并出现过拟合，得到与LinearRegression 类似的结果。
在实践中，在两个模型中一般首选岭回归。但如果特征很多，你认为只有其中几个是重要的，那么选择 Lasso 可能更好。同样，如果你想要一个容易解释的模型，Lasso 可以给出更容易理解的模型，因为它只选择了一部分输入特征。scikit-learn 还提供了 ElasticNet类，结合了 Lasso 和 Ridge 的惩罚项。在实践中，这种结合的效果最好，不过代价是要调节两个参数：一个用于 L1 正则化，一个用于 L2 正则化。

用于分类的线性模型

线性模型也广泛应用于分类问题。我们首先来看二分类。这时可以利用下面的公式进行预测：
ŷ = w[0] x[0] + w[1] x[1] + …+ w[p] * x[p] + b > 0
这个公式看起来与线性回归的公式非常相似，但我们没有返回特征的加权求和，而是为预测设置了阈值（0）。如果函数值小于 0，我们就预测类别 -1；如果函数值大于 0，我们就预测类别 +1。对于所有用于分类的线性模型，这个预测规则都是通用的。同样，有很多种不同的方法来找出系数（w）和截距（b）。
对于用于回归的线性模型，输出 ŷ 是特征的线性函数，是直线、平面或超平面（对于更高维的数据集）。对于用于分类的线性模型，决策边界是输入的线性函数。换句话说，（二元）线性分类器是利用直线、平面或超平面来分开两个类别的分类器。本节我们将看到这方面的例子。
学习线性模型有很多种算法。这些算法的区别在于以下两点：

  • 系数和截距的特定组合对训练数据拟合好坏的度量方法；

  • 是否使用正则化，以及使用哪种正则化方法。

不同的算法使用不同的方法来度量“对训练集拟合好坏”。由于数学上的技术原因，不可能调节 w 和 b 使得算法产生的误分类数量最少。对于我们的目的，以及对于许多应用而言，上面第一点（称为损失函数）的选择并不重要。
最常见的两种线性分类算法是 Logistic 回归（logistic regression）和线性支持向量机（linear support vector machine，线性 SVM），前者在 linear_model.LogisticRegression 中实现，后者在 svm.LinearSVC（SVC 代表支持向量分类器）中实现。虽然 LogisticRegression的名字中含有回归（regression），但它是一种分类算法，并不是回归算法，不应与LinearRegression 混淆。
我们可以将 LogisticRegression 和 LinearSVC 模型应用到 forge 数据集上，并将线性模型找到的决策边界可视化（图 2-15）：