介绍了强连续线性算子半群的定义,以及无穷小生成元的简单性质.

算子半群

定义

单参数算子群和算子半群的概念来源于微分方程的Cauchy问题,以及微分方程的平移不变性（本质上是物理的因果律,现在可以完全决定未来）.

考虑线性常微分方程 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图3$ %7D%7Bdt%7D%20%3D%20Ax(t)#card=math&code=%5Cfrac%7Bdx%28t%29%7D%7Bdt%7D%20%3D%20Ax%28t%29&height=42&width=107)在初值条件 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图4$ %3Dx_0#card=math&code=x%280%29%3Dx_0&height=20&width=70)下的解 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图5$ %20%3D%20e%5E%7BAt%7Dx_0#card=math&code=x%28t%3Bx_0%29%20%3D%20e%5E%7BAt%7Dx_0&height=23&width=115)解的存在区间为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图6$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%5Cinfty%29&height=20&width=67).其中 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图7$ #card=math&code=x_0%5Cin%20R%5En%2C%20A%5Cin%20%5Cmathscr%20M_n%28R%29&height=20&width=152).

在 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图8$ 中引入算子 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图9$ ,定义为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图10$ %20%5Ctriangleq%20x(t%3Bx_0)#card=math&code=T_t%28x_0%29%20%5Ctriangleq%20x%28t%3Bx_0%29&height=21&width=122)其中 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图11$

由常微分方程解对初值的连续依赖性,这些算子是连续的,同样也是线性的.

由解的连续性,可知这个算子是强连续的,即 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图12$

有待补充常微分方程解的存在和唯一性,解对初值和参数的连续依赖性,以及解的连续性？

一般形式的常微分方程的解也构成一个半群,可以构造类似的算子半群吗？不行,只能是时不变（自洽）系统才行,换句话说方程的右边 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图13$ 与 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图14$ 无关.

于是由解的唯一性以及 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图15$ 与时间无关,可知 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图16$ %20%3D%20T%7Bt_1%7D%20(T%7Bt2%7D%20(x_0))#card=math&code=T%7Bt1%2Bt_2%7D%20%28x_0%29%20%3D%20T%7Bt1%7D%20%28T%7Bt_2%7D%20%28x_0%29%29&height=21&width=181).

将 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图17$ 看作变量 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图18$ 的算子值函数,定义乘法为算子的复合,则 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图19$ 成为一个交换群.

若 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图20$ 限制只能取非负数,则成为一个半群（对应于物理中一些不可逆的过程,比如热传导）.

偏微分方程的半群性质

半群的定义, 一个集合上有满足结合律的二元运算（称之为乘法）,则称这个集合为半群.注意半群不要求有幺元.

将这个算子半群推广到无穷维空间上,就得到

定义设 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图21$ 是Banach空间 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图22$ 上一族有界线性算子, 若对一切 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图23$ (也可不取 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图24$ ), 都有 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图25$ ,则称 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图26$ 为单参数算子半群.

例子

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图27$ #card=math&code=C%5B0%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=70)上的平移半群

设 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图28$ #card=math&code=C%5B0%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=70)为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图29$ #card=math&code=%5B0%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=57)上有界且一致连续的函数 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图30$ #card=math&code=x%28t%29&height=20&width=28)全体,规定 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图31$ %7C%20%7Ct%5Cin%5B0%2C%2B%5Cinfty)%5C%7D#card=math&code=%5C%7Cx%5C%7C%3D%5Csup%5C%7B%7Cx%28t%29%7C%20%7Ct%5Cin%5B0%2C%2B%5Cinfty%29%5C%7D&height=20&width=218), 则 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图32$ #card=math&code=C%5B0%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=70)是Banach空间,且按范数收敛为函数的一致收敛.

考虑下这个空间得对偶空间

补充Banach空间的证明

用 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图33$ 表示坐标平移,即 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图34$ %3Dx(t%2Bs)#card=math&code=T_t%20x%28s%29%3Dx%28t%2Bs%29&height=20&width=126),则 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图35$ 构成算子半群.

这个算子半群成立

1. 小于等于1显然,取 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图37$ 即可说明范数等于1.这里的范数是指算子范数
向量值函数强连续,即按范数连续
1. 由 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图39$ #card=math&code=x%28t%29&height=20&width=28)的一致连续性,直接验证
不按算子范数连续,事实上对于任意
1. 小于等于2由三角不等式得到,取 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图41$ %3D1%2Cx(t%2Br)%3D-1%2C%20%5C%7Cx%5C%7C%3D1#card=math&code=x%28t%29%3D1%2Cx%28t%2Br%29%3D-1%2C%20%5C%7Cx%5C%7C%3D1&height=20&width=232)的函数就得到大于等于.

有没有按算子范数连续的算子半群？有限维一定成立,无穷维怎么找？有没有既不强连续也不按算子范数连续的算子半群？再举一个弱连续但不强连续得例子,考虑 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图42$ 中得平移算子.

将所有元素映成自身的线性算子半群是按算子范数连续的,之前给的 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图43$ 作为算子半群也是按算子范数连续的,无穷维空间上也有例子.对于Banach空间上的有界线性泛函 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图44$ , 定义算子半群为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图45$ ,则该算子半群为按算子范数连续的半群. 事实上,若一个算子半群是按算子范数连续的,那么可以推出其无穷小生成元为有界算子.
对 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图46$ #card=math&code=C%280%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=71)中有界的连续函数全体,赋上确界范数,成为Banach空间.对函数 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图47$ %3D%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D)#card=math&code=x%28s%29%3D%5Csin%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%29&height=37&width=101)来看, $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图48$ 在零点不强连续.

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图49$ #card=math&code=L%5Ep%20%28-%5Cinfty%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=99)上的平移算子群

同样定义为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图50$ %3Dx(t%2Bs)#card=math&code=T_t%20x%28s%29%3Dx%28t%2Bs%29&height=20&width=126).

范数同样等于1, 有点区别的地方是证明强连续性.

证明在零点强连续,由-x(s)%5C%7C%7Bp%7D%20%5Crightarrow%200%20(t%5Crightarrow%200)#card=math&code=%5C%7Cx%28s%2Bt%29-x%28s%29%5C%7C%7Bp%7D%20%5Crightarrow%200%20%28t%5Crightarrow%200%29&height=21&width=221)可知
1. 首先对 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图52$ 是有紧支集的连续函数,则 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图53$ -g(s)%5C%7C%7Bp%7D%5Cleq%20%5C%7Cg(s%2Bt)-g(s)%5C%7C%7B%5Cinfty%7D%20m(K)%20%5Crightarrow%200#card=math&code=%5C%7Cg%28s%2Bt%29-g%28s%29%5C%7C%7Bp%7D%5Cleq%20%5C%7Cg%28s%2Bt%29-g%28s%29%5C%7C%7B%5Cinfty%7D%20m%28K%29%20%5Crightarrow%200&height=21&width=365) ?
2. 若 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图54$ 则有 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图55$ 函数 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图56$ 满足 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图57$ , 利用三角不等式即得结论
对任意点 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图58$ ,分 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图59$ 两种情况讨论,注意利用范数等于1

为什么 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图60$ 函数可以由紧支集连续函数按范数逼近？事实上可以由紧支集无穷次可微函数逼近,这是卷积的一个应用,参见Brezis的泛函分析第四章.

是否按算子范数连续？不是,至少能够证明 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图61$ .

Remark 对于 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图62$ , $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图63$ 是酉算子.事实上,直接计算即可知道 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图64$ .

这些平移算子和 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图65$ 上的平移算子什么关系？

强连续线性算子半群

定义设 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图66$ 是一个线性算子半群,且 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图67$ . 若对每个 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图68$ , 都有

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图69$

则称 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图70$ 是一个强连续线性算子半群.

Remark 强连续算子半群,在零处的强连续性等价于在任意点处的强连续性.

充分性显然,需证明必要性.
必要性的证明中,关键是左连续性.事实上可以证明更强的结论, $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图71$
上述那个更强的结论,事实上可以得到强连续算子半群的范数是小于指数增长的

这个指数递增是算子半群范数最好的估计吗？能不能证明？不，不是最好的估计。一般的强连续线性算子半群有个名为群的特征的概念。

Remark 正如之前证明的, $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图72$ %7D%7Bdt%7D%20%3D%20Ax(t)#card=math&code=%5Cfrac%7Bdx%28t%29%7D%7Bdt%7D%20%3D%20Ax%28t%29&height=42&width=107)诱导出强连续线性算子半群.

群的特征

命 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图73$ , 则 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图74$ #card=math&code=%5Comega_0%20%5Cin%20%5B-%5Cinfty%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=117). 于是 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图75$ 被称为群的特征。

从定义来看，特征就是满足 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图76$ ，其中 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图77$ 与 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图78$ 有关，的最小的 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图79$ . 从之前指数递增的估计，可知至少可以找到一个有限的 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图80$ 使得上式成立。所以强连续算子半群的特征必然是小于正无穷的数。

特征为负无穷的例子

考虑集合 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图81$ %3D0%2Cx’(0)%3D0%20%7D#card=math&code=X%3D%7Bx%5Cin%20C%5B0%2C1%5D%3B%20x%280%29%3D0%2Cx%27%280%29%3D0%20%7D&height=21&width=257), 在上确界范数下形成的Banach空间。考虑右平移算子 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图82$ (s)%3Dx(s-t)#card=math&code=T_t%28x%29%28s%29%3Dx%28s-t%29&height=20&width=139), 其中将 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图83$ 的部分补充定义为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图84$ . 于是这族平移算子构成强连续算子半群，这个算子半群的无穷小生成元 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图85$ 为求导算子的相反数。由常微分方程解的存在性，可以证明对于任意复数 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图86$ , $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图87$ #card=math&code=%28A-%5CLambda%20I%29&height=20&width=66)是有界可逆的，于是无穷小生成元没有谱，也就是说，它的特征是 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图88$ . 这里的论述需要用到Hille-Yosida定理，将在之后的文章中细说。

可积性

之后的证明会用到形如 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图89$ %20dt#card=math&code=%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bs%7D%20T_t%28x%29%20dt&height=42&width=81)这样的积分式,所以有必要说明这样的向量值积分是有意义的,挥着用之前提到的概念, $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图90$ 是Bochner可积的.

夏道行的书上有算子半群强连续等价于强可测的证明.

由Bochner积分的性质,我们只需要验证

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图91$ #card=math&code=T_t%20%28x%29&height=20&width=38)是强可测的
$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图92$ %5C%7C#card=math&code=%5C%7C%20T_t%20%28x%29%5C%7C&height=20&width=55)是可积的

需要完善强连续可以推出强可测的证明.

强连续可推出强可测 只证明了 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图93$ #card=math&code=%5B0%2C%2B%5Cinfty%29&height=20&width=57)上定义的向量值函数强连续可推出强可测. 证明的思路是经典的,所以记录在此.

先对 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图94$ 上证明, 若 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图95$ #card=math&code=x%28s%29&height=20&width=30)是强连续的, $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图96$ , 可找到有限值函数 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图97$ #card=math&code=x_n%28s%29&height=20&width=39)使得 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图98$ %20-%20x_n%20(s)%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D#card=math&code=%5Cforall%20s%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%2C%20%5C%7C%20x%28s%29%20-%20x_n%20%28s%29%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D&height=37&width=225).

事实上,紧集上强连续的函数一定是一致强连续的,即 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图99$ , $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图100$ 使 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图101$ 成立 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图102$ -x(t_1)%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D#card=math&code=%5C%7Cx%28t%29-x%28t_1%29%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D&height=37&width=141). 于是取 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图103$ 充分大,使得 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图104$ , 于是 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图105$ #card=math&code=%5Cforall%20s%20%5Cin%20%5B%5Cfrac%7Bi%7D%7BN_n%7D%2C%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7BN_n%7D%29&height=41&width=125),成立 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图106$ %20-%20x(%5Cfrac%7Bi%7D%7BN_n%7D%20%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D#card=math&code=%5C%7C%20x%28s%29%20-%20x%28%5Cfrac%7Bi%7D%7BN_n%7D%20%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D&height=41&width=151). 于是命

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图107$ %3D%20%5Csum%7Bi%3D0%7D%5E%7BN_n-1%7D%20x(%5Cfrac%7Bi%7D%7BN_n%7D)%20%5Cchi%7B%5B%5Cfrac%7Bi%7D%7BNn%7D%2C%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7BN_n%7D)%7D%20%0A#card=math&code=x_n%28s%29%3D%20%5Csum%7Bi%3D0%7D%5E%7BNn-1%7D%20x%28%5Cfrac%7Bi%7D%7BN_n%7D%29%20%5Cchi%7B%5B%5Cfrac%7Bi%7D%7BN_n%7D%2C%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7BN_n%7D%29%7D%20%0A&height=53&width=213)

对 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图108$ 那个点可以补充定义为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图109$ #card=math&code=x%281%29&height=20&width=31). 于是这样的 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图110$ 满足要求.

对于 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图111$ #card=math&code=%5B0%2C%5Cinfty%29&height=20&width=44), 由于 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图112$ %3D%20%5Cbigcup%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5B0%2Cn%5D#card=math&code=%5B0%2C%5Cinfty%29%3D%20%5Cbigcup%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5B0%2Cn%5D&height=49&width=123). 利用1. 对每个 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图113$ , 都可以找到有限值函数 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图114$ 使得 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图115$ , $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图116$ %20-%20x_n(s)%20%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D#card=math&code=%5C%7C%20x%28s%29%20-%20x_n%28s%29%20%5C%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D&height=37&width=146). 于是找到了所需要的有限值函数强收敛到 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图117$ #card=math&code=x%28s%29&height=20&width=30)

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图118$ 可积 这由 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图119$ 的函数是小于指数增长的,而指数函数在有限区间上是可积的,所以 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图120$ x#card=math&code=T%28t%29x&height=20&width=41)在有限区间上是可积的.

无穷小生成元

之后为了方便,记 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图121$ %20%5Ctriangleq%20T_t#card=math&code=T%28t%29%20%5Ctriangleq%20T_t&height=21&width=69)

定义

设 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图122$ 是Banach空间, $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图123$ %7C%20t%5Cgeq%200%5C%7D#card=math&code=%5C%7BT%28t%29%7C%20t%5Cgeq%200%5C%7D&height=20&width=89)是其上的强连续线性算子半群.

受到一开始提到的 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图124$ %7D%7Bdt%7D%20%3D%20Ax(t)#card=math&code=%5Cfrac%7Bdx%28t%29%7D%7Bdt%7D%20%3D%20Ax%28t%29&height=42&width=107)诱导的强连续算子半群 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图125$ 的启发,对一般的强连续算子半群 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图126$ #card=math&code=T%28t%29&height=20&width=31),我们想找到一个线性算子 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图127$ 使得 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图128$ %3De%5E%7BAt%7D#card=math&code=T%28t%29%3De%5E%7BAt%7D&height=23&width=76).

同样由于形式上 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图129$ x0%7D%7Bdt%7D%20%5Cbigg%20%7C%7Bt%3D0%7D%20%3D%20%5Clim%5Climits%7Bt%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7BT(t)-I%7D%7Bt%7D%20x_0%20%3D%20Ax_0#card=math&code=%5Cfrac%7BdT%28t%29x_0%7D%7Bdt%7D%20%5Cbigg%20%7C%7Bt%3D0%7D%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bt%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7BT%28t%29-I%7D%7Bt%7D%20x_0%20%3D%20Ax_0&height=43&width=273), 我们可以设算子 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图130$ 为

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图131$ -I)%20%2C%20%5Cforall%20t%3E0%0A#card=math&code=A_%7Bt%7D%3Dt%5E%7B-1%7D%28T%28t%29-I%29%20%2C%20%5Cforall%20t%3E0%0A&height=23&width=190)

并定义算子 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图132$ 为

定义

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图133$ %20%5Ctriangleq%20%5C%7B%20x%20%5Cin%20X%20%7C%20%5Cexists%20x%5E%20%5Cin%20X%2C%20%5Clim%5Climits_%7Bt%5Crightarrow%200%5E%2B%7D%20A_t%20x%3Dx%5E%5C%7D%20%0A#card=math&code=D%28A%29%20%5Ctriangleq%20%5C%7B%20x%20%5Cin%20X%20%7C%20%5Cexists%20x%5E%2A%20%5Cin%20X%2C%20%5Clim%5Climits_%7Bt%5Crightarrow%200%5E%2B%7D%20A_t%20x%3Dx%5E%2A%5C%7D%20%0A&height=32&width=298)

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图134$

这样的算子 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图135$ 成为强连续算子半群 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图136$ %7C%20t%5Cgeq%200%5C%7D#card=math&code=%5C%7BT%28t%29%7C%20t%5Cgeq%200%5C%7D&height=20&width=89)的无穷小生成元.

为什么不直接定义算子的极限？可以举出反例吗？

简单的性质

1. $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图137$ 是线性的

由 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图138$ 是线性的,以及 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图139$ 是 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图140$ 的极限立刻知道.

2. $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图141$ #card=math&code=T%28t%29&height=20&width=31)将 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图142$ #card=math&code=D%28A%29&height=20&width=39)映为自身

由 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图143$ x%3D%20s%5E%7B-1%7D%20(T(t%2Bs)-T(t))x%20%3D%20T(t)As%20x#card=math&code=A_s%20T%28t%29x%3D%20s%5E%7B-1%7D%20%28T%28t%2Bs%29-T%28t%29%29x%20%3D%20T%28t%29A_s%20x&height=23&width=324), 以及 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图144$ %2C%5Clim%5Climits%7Bs%5Crightarrow%200%5E%2B%7D%20As%20x%20%3D%20Ax#card=math&code=x%5Cin%20D%28A%29%2C%5Clim%5Climits%7Bs%5Crightarrow%200%5E%2B%7D%20As%20x%20%3D%20Ax&height=31&width=186).可知![](https://g.yuque.com/gr/latex?%5Clim%5Climits%7Bs%5Crightarrow%200%5E%2B%7D%20As%20T(t)%20x#card=math&code=%5Clim%5Climits%7Bs%5Crightarrow%200%5E%2B%7D%20A_s%20T%28t%29%20x&height=31&width=95)存在,且为 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图145$ A%20x#card=math&code=T%28t%29A%20x&height=20&width=53). 故 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图146$ x%5Cin%20D(A)#card=math&code=T%28t%29x%5Cin%20D%28A%29&height=20&width=100)

3. $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图147$ %20x%3DAT(t)x%3DT(t)Ax%2C%20%20%5Cforall%20x%5Cin%20D(A)#card=math&code=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20T%28t%29%20x%3DAT%28t%29x%3DT%28t%29Ax%2C%20%20%5Cforall%20x%5Cin%20D%28A%29&height=40&width=300)

$强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图148$ x%7D%7Bdt%7D%3D%5Clim%5Climits%7Bs%5Crightarrow%200%5E%2B%7Ds%5E%7B-1%7D%20(T(t%2Bs)-T(t))x%3DT(t)Ax%3DAT(t)x#card=math&code=%5Cfrac%7Bd%5E%2BT%28t%29x%7D%7Bdt%7D%3D%5Clim%5Climits%7Bs%5Crightarrow%200%5E%2B%7Ds%5E%7B-1%7D%20%28T%28t%2Bs%29-T%28t%29%29x%3DT%28t%29Ax%3DAT%28t%29x&height=45&width=433), 这些等于是从2.的证明中得到的
只需证明 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图149$ x%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5E-T(t)x%7D%7Bdt%7D#card=math&code=%5Cfrac%7Bd%5E%2BT%28t%29x%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5E-T%28t%29x%7D%7Bdt%7D&height=42&width=155),而这只需注意到 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图150$ , $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图151$ x-T(t-%5Cdelta)x%7D%7B%5Cdelta%7D-%20T(t)Ax%5C%7C%5Cleq%20%5C%7C%20T(t-%5Cdelta)%5C%7C%5C%7C%5Cdelta%5E%7B-1%7D(T(%5Cdelta)-I)x%20-Ax%5C%7C%20%2B%20%5C%7C%20T(t-%5Cdelta)%5C%7C%20%5C%7CAx-T(%5Cdelta)Ax%5C%7C#card=math&code=%5C%7C%5Cfrac%7BT%28t%29x-T%28t-%5Cdelta%29x%7D%7B%5Cdelta%7D-%20T%28t%29Ax%5C%7C%5Cleq%20%5C%7C%20T%28t-%5Cdelta%29%5C%7C%5C%7C%5Cdelta%5E%7B-1%7D%28T%28%5Cdelta%29-I%29x%20-Ax%5C%7C%20%2B%20%5C%7C%20T%28t-%5Cdelta%29%5C%7C%20%5C%7CAx-T%28%5Cdelta%29Ax%5C%7C&height=42&width=704), 以及之前提到的强连续算子半群范数小于指数递增即可.

4. $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图152$ 稠定

证明可以参考张恭庆的泛函分析下

证明的关键是 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图153$ , 设 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图154$ %20x%20dt#card=math&code=xs%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%20%5Cint%7B0%7D%5E%7Bs%7D%20T%28t%29%20x%20dt&height=42&width=140), 并且用 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图155$ %20x%20dt%20-%20x%20%5C%7C%20%5Crightarrow%200#card=math&code=%5C%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Br%7D%20T%28t%29%20x%20dt%20-%20x%20%5C%7C%20%5Crightarrow%200&height=42&width=181)若 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图156$ #card=math&code=%28r%5Crightarrow%200%29&height=20&width=55), 证明 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图157$ #card=math&code=x_s%20%5Cin%20D%28A%29&height=20&width=77)且 $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图158$ .

5. $强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元 - 图159$ 是闭算子

问题

现在的问题在于,满足什么样性质的算子会成为某个强连续线性算子半群的无穷小生成元？这个问题的回答,即是之后将提到的Hille-Yosida定理.

之前提到的平移算子,它们作为强连续线性算子半群,无穷小生成元为动量算子（求导）.试证明一下.