例题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
00输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

思路

此题为经典01背包问题，只要是动规问题皆可化为集合问题，f[i][j]为从前 i 个物品（故 i 是从1开始循环）中选则不大于体积 j 的物品总和的价值w；故可看作是所有选法代表的w的集合，而让求的结果为这个集合的其中一个属性为最大值属性。
因为01背包问题对第 i 种商品只有两种选择，要么包含1个，要么不包含，故可将集合分为两个部分。如下图所示，故最后的最大值为max1和max2的最大值。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int n,V,f[N][N];
int main() {
    cin>>n>>V;
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=V;j++)
        {
            // 需注意初始化j<v[i]的情况
            if(j<v[i]) f[i][j] = f[i-1][j];
            else
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout<<f[n][V];
    return 0;
}

从原始代码中可以看出对 i 只用了 i - 1 和 i ，故可将二维变为一维，去掉[i]的维度，并且if (j >= v[i])这句代码可将 j 变为从 v[i] 开始循环即可省去。故

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=V;j++)
    {
        // 需注意初始化j<v[i]的情况
        if(j<v[i]) f[i][j] = f[i-1][j];
        else
            f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

这段核心代码变为

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=V;j>=v[i];j--)
    {
        f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

可以看出
f[j] = Math.max([j], f[j - v[i]] + w[i]);
这句代码等价于
f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
而并不与之前等价，max函数中的 f[ j ] 在每次循环时都是取自i - 1层循环的值，与f[i - 1][j]是等价的，所以应该看的是f[j - v[i]] + w[i]。
如果j从小到大循环，那么每次f[j - v[i]] + w[i]都是已被更新的状态，所以可以改变j的循环状态，从大到小循环，这样子f[j - v[i]] + w[i]就是未被更新过的状态，即等价于f[i - 1][j - v[i]] + w[i];
故代码为

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int n,V,f[N];
int main() {
    cin>>n>>V;
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
        {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout<<f[V];
    return 0;
}