特征：每个物品的个数有限
集合划分跟完全背包一样，只不过k有上限s[i]

一、暴力解法

import java.util.Scanner;
public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int N = in.nextInt();
        int V = in.nextInt();
        int[] v = new int[105];
        int[] w = new int[105];
        int[] s = new int[105];
        int[][] f = new int[105][105];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            v[i] = in.nextInt();
            w[i] = in.nextInt();
            s[i] = in.nextInt();
        }
        // 时间复杂度为NVS
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 0; j <= V; j++) {
                for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) {
                    f[i][j]=Math.max(f[i][j],f[i - 1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(f[N][V]);
    }
}

二、与完全背包优化的区别

完全背包是求前缀的最大值，而多重背包是求固定长度的窗口内的最大值

// 完全背包中 k 无上限
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w, f[i-1][j-2*v]+2*w,...f[i-1][j-k*v]+k*w)
         f[i][j-v] = max(f[i-1][j-v],   f[i-1][j-2*v]+w, f[i-1][j-3*v]+2*w,...f[i-1][j-k*v]+k*w)

k无上限所以直接用f[i][j-v]替代 f[i][j] 后面的部分
但多重背包问题中每个物品的上限为s[i]

// 多重背包问题中每个物品的上限为s[i],用s表示
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w, f[i-1][j-2*v]+2*w,...f[i-1][j-s*v]+s*w)
         f[i][j-v] = max(f[i-1][j-v],   f[i-1][j-2*v]+w,...f[i-1][j-s*v]+(s-1)*w + f[i-1][j-(s+1)*v]+s*w)

可以看出f[i][j-v]比f[i][j]多了一项f[i-1][j-(s+1)*v]+s*w，这一项无法去除，故无法用完全背包的优化思路

三、二进制优化思路

1 、需要明白一个前提

我们知道任意一个实数可以由二进制数来表示，也就是2^0~2^k其中一项或几项的和。
这个前提其实就是二进制转化成十进制的方法，1110 (2) => 23+22+21+0*20=14
反过来就是 14 可以用 23、22、21这三个数字组成

2、针对题目

所以每个物品的s[i]可以用若干堆2的幂次方个数来表示，以此可优化为01背包问题
但与二进制表示数不同的是此题中的优化必须是按顺序来的，即：20+21+22+23...2k
二进制表示中是不按顺序的

比如：
10 在二进制可以表示为 23+21
此题中如果10个物品则只能表达为 20 + 21 + 22 + 3
堆数为log210的上取整=4堆

即如果s不是正好可以分为每个组都是2的幂个的
那么就可以划分成20+21+22+23...2k +c = 2k+1-1 +c = s``c < 2k+1
下图为转化过程

原为 3个物品，每个物品个数为s 的多重背包问题，二进制优化后转换成了 有log2SA+log2SB+log2SC（均为上取整）个物品，每个物品个数为1的01背包问题。
因为优化物品数量发生变化，所以 v[]、w[] 数组开辟的空间也需要发生改变，之前是v[N]，现在是v[log2SA+log2SB+log2SC（均为上取整）]

例如：

优化前开辟v[1005] w[1005] s[1005]，优化后开辟N*log si ，log2000上取整是11，故应开辟1000*11+5(+5防越界)，故开辟v[11005]

四、优化后代码

时间复杂度由NVS变为Nlog2S *V=NVlogS

import java.util.Scanner;
public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int N = in.nextInt();
        int V = in.nextInt();
        int[] v = new int[11005];
        int[] w = new int[11005];
        int[] f = new int[11005];
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            int a,b,s;
            a = in.nextInt();
            b = in.nextInt();
            s = in.nextInt();
            int k = 1;
            while (k <= s) {
                cnt ++;
                v[cnt] = a * k;
                w[cnt] = b * k;
                s -= k;
                k *= 2;
            }
            if (s > 0) {
                cnt++;
                v[cnt] = a * s;
                w[cnt] = b * s;
            }
        }
        N = cnt;
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j],f[j -v[i]] + w[i]);
            }
        }
        System.out.println(f[V]);
    }
}

算法--ACWing