一、例题：

给定两个长度分别为 NN 和 MM 的字符串 AA 和 BB，求既是 AA 的子序列又是 BB 的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式

第一行包含两个整数 NN 和 MM。
第二行包含一个长度为 NN 的字符串，表示字符串 AA。
第三行包含一个长度为 MM 的字符串，表示字符串 BB。
字符串均由小写字母构成。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N,M≤10001≤N,M≤1000

输入样例：

4 5 acbd abedc

输出样例：

3

二、思路

f[i][j]表示a的前i个字母，和b的前j个字母的最长公共子序列长度，可以用四类情况表示

  1. 00 表示既不包含a[i]也不包含b[j]
  2. 01表示不包含a[i]包含b[j]
  3. 10表示包含a[i]不包含b[j]
  4. 11表示包含a[i]也包含b[j]，并且a[i]、b[j]分别是a的前i个字母，和b的前j个字母的两个子序列的最后一个值，所以一定是这两个子序列的公共序列的最后一个值，故a[i]一定等于b[j]

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怎么表示？

问题来了，第一类和第四类很好描述，但第二类和第三类怎么描述呢？
图中的f[i-1][j]和f[i][j-1]并没有精确描述，以第二类为例
第二类01表示不包含a[i]包含b[j]，一定是没有a[i]但一定有b[j]的
但f[i-1][j]描述的是a的前i-1个字母，和b的前j个字母的最长公共子序列长度，可能是没有b[j]的
但第二类情况是包含在f[i-1][j]的表示范围中的，换句话说f[i-1][j]一定有01的情况，只是会出现重复，但因为此题是求集合的最大值的属性，所以重复无所谓（一般dp问题求集合的最大值、最小值和数量，在求最大最小的时候重复无所谓，但求数量的时候不能重复）
上述为第二类情况，第三类同理，但第二类和第三类的两种表示f[i-1][j]和f[i][j-1]一定是包含了f[i-1][j-1]的，所以第一类情况是可以不写的，一般代码中只需要体现二三四类代码即可。

三、代码（时间复杂O(n2 )）

  1. import java.util.Scanner;
  3. public class Main {
  4.     public static void main(String[] args) {
  5.         Scanner in = new Scanner(System.in);
  6.         int n = in.nextInt();
  7.         int m = in.nextInt();
  8.         char[] a = new char[n + 10];
  9.         char[] b = new char[m + 10];
  10.         String a_s = in.next();
  11.         String b_s = in.next();
  12.         int[][] f = new int[1005][1005];
  13.         for (int i = 1; i <= a_s.length(); i++) a[i] = a_s.charAt(i-1);
  14.         for (int i = 1; i <= b_s.length(); i++) b[i] = b_s.charAt(i-1);
  16.         for (int i = 1; i <= n; i++) {
  17.             for (int j = 1; j <= m; j++) {
  18.                 f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
  19.                 if (a[i] == b[j]) {
  20.                     f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
  21.                 }
  22.             }
  23.         }
  24.         System.out.println(f[n][m]);
  25.     }
  26. }