如何建立数学模型估算日活用户数？

新增、留存、日活是APP产品的通用指标。如果某一天，被问到以下的问题，你会怎样分析：

• 按照现有的趋势，下季度我们的日活能达到多少？
• 下季度的日活目标是xxxx万，为了达到它，我们的新增用户计划是每天xxxx万，你觉得这个计划合理吗？

下面会介绍，我们如何通过新增和留存，对未来的日活进行估算。

日活是『堆积』起来的

堆积过程

我们都知道：

• 任意一天的活跃用户，是由历史每日的新增用户堆积而成的。
• 新增用户从获取的第2天起，活跃的数量逐渐衰减；越早的新增用户，仍然活跃的比例越小。

下图：以模拟数据表示日活的堆积过程，横轴为日期序列，纵轴为活跃用户数。选取任意一天，如图中红色垂线；垂线被分割的每一段，代表历史某日的新增用户到达当天的活跃数量，越靠近横轴的部分表示越早期的新增，最上面的一段表示当日新增：

堆积表达式

为避免啰嗦，约定符号如下：

• 假设我们处在产品历史的第 天，需要估算历史第 天的日活
• 表示第 天的日活
• 表示第 天的新增
• 表示第 天的新增在获取第 天的留存率；对任意的 ，获取当日的留存率为100%，即

于是，估算的目标表示如下：

观察以上等式右侧，我们需要以下输入数据：

1. ，每天新增用户数。对于 ，对应历史每日的新增用户数，是已知项；对于 ，对应未来新增用户的计划，是直接输入项。因此这一项不需要额外计算。
2. ，每天的新增用户，到达第 天时的留存率，是未知项。

于是，我们只需要搞定 ，也就是留存率的衰减规律。

糟糕，历史数据一直在变

看起来，似乎大功告成了，留存率 从DB里拉出来不就行了吗？但是关于留存率还有两个问题：

• 历史的留存率有变化：未来的日活与历史每天有关，英语流利说已有3年的历史，期间的各种变化，不能用平均值这种粗糙的方式处理
• 需要更远期的留存率：虽然有了3年的数据，还需要更远期的留存率数据；例如：为了估算半年后的日活，就需要新增用户3年半以后的留存率

下面来解决这两个问题。

解决历史留存率的变化

变化的原因

首先分析为什么变化，以及初步的解决思路：

• 短期：由渠道拓展、运营活动引起的留存率变化。对于这种情况，是可以用平均值处理的
• 长期：由产品迭代、用户习惯养成引起的留存率变化。对于这种情况，直接的方法是，对历史每天的新增用户维护留存率序列，例如第1天新增用户次日、3日……N日留存，第2天……第N-1天新增用户的次日留存。这种方案的问题是：
  • 计算复杂：每次估算都要追溯整个历史
  • 早期的留存率并不能对后期有绝对影响：用户在经历多个版本的产品升级后，体验发生变化，即使对每天的新增用户维护留存率序列，未来的留存率衰减速度不一定完全延续历史趋势

    变化的解决方案

    以当前日作为划分，估算表达式右侧拆分成2项：

考虑等式右侧第一项：其中 为历史第 天的新增在今天的留存率，就是在今天的留存人数。其中每日留存率依赖历史第 日的情况；而 是从当前日 到第 日的留存率衰减比例，从业务逻辑上，仅与当前和以后版本的产品使用有关，受历史当时的影响较小。
因此我们放弃维护不同 应的 ，定义 为第 日的日活中，历史第 日新增贡献的人数，于是：

表达式改写为：

其中 是对当前日 的日活分解，可以直接计算作为输入。
也就是说，对任意 ，不再看当时获得了多少新增、经过了怎样额衰减；而只看目前还『剩下』多少活跃用户。而对『剩下』的用户，从今往后的衰减规律，取决于当前和以后的产品形态，受历史版本影响较小。
改写后的表达式中，所有与 相关的项，受历史影响较小，因此可以进一步简化：忽略 ，使用近期 (例如1年) 的留存率概括值作为输入

解决更远期的留存率

就差搞定 了！我们采用了曲线拟合，获得更远期的留存，顺便对近期留存做一个概括。
通常情况下，拟合并不是严谨的方法，从统计模型的角度，属于偏差最大、泛化能力较弱的一种。此处使用拟合方法，隐含了对留存率衰减趋势的经验假设。
函数那么多，应该用哪一种？为此，用相邻日的留存率相除 (前 / 后)，定义为留存率衰减比例，对近期样本作图如下。可见：在大约某天后，留存率的衰减比例接近恒定，可以理解为用户进入『稳定期』；此后每一天的留存率，等于前一天留存率乘以一个相对稳定的系数，由此想到了指数函数。

然而指数函数对衰减稳定之前的阶段并不适用，可以将指数项改成天数 的幂函数：

对衰减稳定前、稳定后的样本，用以上函数分段拟合。将等式两边做对数变换，成为线性函数

求解参数的方法：参数 采用最小二乘法计算；并以最大化 Adjusted R-squared 为目标，对参数 进行 Grid Search。分段拟合的结果 是一个分段函数，曲线如下，其中灰色半透明点表示留存率样本，红蓝曲线为分段拟合结果：

至此，解决了所有的输入问题。

总结

最终，模型的输出为 ，实际输入为：

• ，当前日 的日活中，属于历史第 天新增用户的数量；为了更加稳定，可以用最近几日的均值
• ，明日起，直到第 日的每日的计划新增用户数，可以是一个变化的序列
• ，近一段时间 (例如1年) 的每日留存率序列样本

在建立估算模型之前，业务部门更倾向使用一些经验估算方法，例如：利用日活 / 新增比例。经验方法的优点是简单；缺点是：依赖的假设条件可能发生变化，而由于方法过于简单，我们并不能解释这些变化，甚至不知道变化的幅度可能有多大。例如，我们并不知道日活 / 新增以后会变成什么样，但我们对于留存率是有预期的。
相比之下，模型的优点是：使得每一项输入尽可能在控制范围内，并对历史的变动不那么敏感。