树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由 n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

  • 每个节点有零个或多个子节点；
  • 没有父节点的节点称为根节点；
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点；
  • 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
  • 树里面没有环路（Cycle）

术语定义

  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
  • 叶节点或终端节点：度为零的节点；
  • 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
  • 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
  • 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  • 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
  • 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
  • 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
  • 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
  • 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
  • 森林：由 m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

  • 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
  • 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
    • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树
      • 二叉搜索树
      • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为 d（d>1）。除了第 d 层外，其它各层的节点数目均达最大值，且第 d 层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；
      • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
      • 平衡二叉树（AVL树，AVL Tree）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于 1 的二叉树；
      • 排序二叉树（二叉查找树，Binary Search Tree）：也称二叉搜索树、有序二叉树；
      • 红黑树 Red-Black Tree
      • 线段树 Segment Tree
      • 芬威克树 Fenwick Tree
    • 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
    • B 树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个子树。

树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。

基本操作

  • 搜索：搜索一棵树中的元素
  • 插入：插入元素到一棵树中
  • 前序遍历：遍历树前序方法 Pre-Order 根节点=>左子树=>右子树 根左右
  • 中序遍历：遍历树在序方法 In-Order 左子树=>根节点=>右子树 左根右
  • 后序遍历：遍历树的后序方法 Post-Order 左子树=>右子树=>根节点 左右根

常见应用场景

  • XML、HTML 等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
  • 路由协议就是使用了树的算法
  • MySQL 数据库索引
  • 文件系统的目录结构
  • 所以很多经典的 AI 算法其实都是树搜索，此外机器学习中的 decision tree 也是树结构