解题框架

每天的三种选择：buy、sell、rest
状态转换：

参照条件：

交易天数
交易最大次数

当前持有状态（0表示未持有，1表示持有）

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为最多交易数

比如说 dp[3][2][1] 的含义就是：今天是第三天，我现在手上持有着股票，至今最多进行 2 次交易。
状态转移方程：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
            max(   选择 rest  ,    选择 sell      )
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
            max(   选择 rest  ,    选择 buy       )

base case：

dp[-1][k][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。

开始解题

121. 买卖股票的最佳时机

题目描述

给定一个数组prices，它的第i个元素prices[i]表示一支给定股票第i天的价格。
你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 105

0 <= prices[i] <= 104

解法

交易次数为1次，即k=1

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
      int n = prices.length;
      int[][] dp = new int[n][2];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
          // 边界i=0时的优化
          if (i - 1 == -1) {
              /**
               * dp[i][0]
               * = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i])
               * = max(0, -infinity + prices[i])
               * = 0
               */
              dp[i][0] = 0;
              /**
               * dp[i][1]
               * = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
               * = max(-infinity, 0 - prices[i])
               * = -prices[i]
               */
              dp[i][1] = -prices[i];
              continue;
          }
          dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
          // 由于k=1，故dp[i-1][k-1][0]-prices[i] 写成 -prices[i]
          dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
      }
      return dp[n - 1][0];
  }
}

当然，以上题解提交成功，但是空间复杂度太高，可以优化。

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
      int n = prices.length;
      int dp0 = 0, dp1 = Integer.MIN_VALUE;
      for (int i = 0; i < n; i++) {
          dp0 = Math.max(dp0, dp1 + prices[i]);
          dp1 = Math.max(dp1, -prices[i]);
      }
      return dp0;
  }
}

122. 买卖股票的最佳时机 II

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2：

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
   注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
   因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

解法

class Solution {
  // k = +infinity,故将交易次数去掉
  public int maxProfit(int[] prices) {
      int n = prices.length;
      int[][] dp = new int[n][2];
      for(int i=0;i<n;i++){
          if(i==0){
              dp[0][0]=0;
              dp[0][1]=-prices[0];
              continue;
          }
          dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
          dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
      }
      return dp[n-1][0];
  }
}

优化版：

class Solution {
  // k = +infinity,故将交易次数去掉
  public int maxProfit(int[] prices) {
      int n = prices.length;
      int dp0=0,dp1=Integer.MIN_VALUE;
      for(int i=0;i<n;i++){
          dp0 = Math.max(dp0, dp1 + prices[i]);
          dp1 = Math.max(dp1, dp0 - prices[i]);
      }
      return dp0;
  }
}

123. 买卖股票的最佳时机 III

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
   随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
   注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
   因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解法

class Solution {
  // k = 2
  public int maxProfit(int[] prices) {
      int n = prices.length;
      int max_k = 2;
      // 交易天数、交易次数、交易状态
      int[][][] dp = new int[n][max_k+1][2];
      for(int i=0;i<n;i++){
          for(int k=max_k;k>0;k--){
              if(i==0){
                  dp[0][2][0]=0;
                  dp[0][2][1]=-prices[i];
                  dp[0][1][0]=0;
                  dp[0][1][1]=-prices[i];
                  continue;
              }
              dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i]);
              dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i]);
          }
      }
      return dp[n-1][max_k][0];
  }
}

优化版：

class Solution {
  // k = 2
  public int maxProfit(int[] prices) {
      int n = prices.length;
      int dp_i10 = 0, dp_i11 = Integer.MIN_VALUE;
      int dp_i20 = 0, dp_i21 = Integer.MIN_VALUE;
      for(int i=0;i<n;i++){
          dp_i20 = Math.max(dp_i20, dp_i21 + prices[i]);
          dp_i21 = Math.max(dp_i21, dp_i10 - prices[i]);
          dp_i10 = Math.max(dp_i10, dp_i11 + prices[i]);
          dp_i11 = Math.max(dp_i11, -prices[i]);
      }
      return dp_i20;
  }
}

秋招算法准备

股票买卖

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