介绍
教材推荐
《Nonlinear Dynamics and Chaos》
软件
画相位图的话，可以用 MATLAB，参考
- matlab如何画相图？ - Longson的回答。
- http://matlab.cheme.cmu.edu/2011/08/09/phase-portraits-of-a-system-of-odes/
更推荐使用 dfield and pplane，有 online 版本的，但稍微缺少一点功能：
也有 MATLAB 版本的，但只适配 2018 版本，最新的 2020 是不支持的。
最好下载 Java 版本的，直接运行即可：
直线上的流
Fixed Points and Stability
Linear Stability Analysis
分岔 (bifurcations)
Saddle-Node Bifurcation
Graphical Conventions
对于不同的 r 有不同的向量场图
我们将其用 x-r 图像来描述
此处 r 为自变量，因此进行翻转：
Normal Forms
Saddle-Node Bifurcation 的结构都形如 
，因此对于一般的函数也可以通过泰勒展开转成标准型：
跨临界分岔 (Transcritical Bifurcation)
随着 r 从负变到正，不动点的稳定性也发生了变换，r =0 时左边的不稳定点与 x=0 的稳定点融合，变成了半稳定点。当 r >0 时，两个不动点的稳定性发生了交换。
叉式分岔 (Pitchfork Bifurcation)
Supercritical Pitchfork Bifurcation
随着 r 的增大，不动点 x=0 的稳定性消失了！但增加了两个稳定点。
Subcritical Pitchfork Bifurcation
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Imperfect Bifurcations and Catastrophes
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在超临界分岔的基础上加了个小常数项，会发生什么变化呢？
这是用 Mathematica 绘制出来的图像，这个不是函数图像，是 r-x 和 h-x 组合的立体化，从 h 轴的横截面来看，就是上面提到过的 r-x 图像。
ContourPlot3D[r*x - x^3 + h == 0, {r, -2, 2}, {h, -2, 2}, {x, -2, 2}, Mesh -> None, AxesLabel -> {r, h, x}, ContourStyle -> Directive[Orange, Opacity[0.8], Specularity[White, 30]]]
书中也对这个进行了说明，当点从 r-h 平面上运动时，对应的系统状态可能会从上表面突然滑落到下表面。
我对这个的理解也不大深刻，大概是这样，如果系统状态对应的是最大的那个不动点，但随着参数 (r,h) 的变化，一开始不动点也是慢慢随之变化，但到了一个临界点处，系统中原来的两个不动点都消失了，只剩下了一个下表面上的不动点，系统状态也就在此处发生了一个突变。
与之对应的，还有个不完全(不完美)跨临界分岔，也是在之前的跨临界分岔上加了个常数项。
ContourPlot3D[r*x - x^2 + h == 0, {r, -2, 2}, {h, -2, 2}, {x, -2, 2}, Mesh -> None, AxesLabel -> {r, h, x}, ContourStyle -> Directive[Orange, Opacity[0.8], Specularity[White, 30]]]
最后推荐一个小讲义，写得还算清晰明了DynSysLecture2.pdf
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