第三章 向量空间、基、线性映射

3.1向量空间

对于每n≥1，设rn为n-元组x=（x1，…，xn）的集合。添加可扩展到RN，如下所示：

（x1，…，xn）+（y1，…，yn）=（x1+y1，…，xn+yn）。

我们还可以定义一个操作·：r×rn→rn如下：λ·（x1，…，xn）=（λx1，…，λxn）。

由此得到的代数结构具有一些有趣的性质，即向量空间的性质。向量空间定义如下。

定义3.1.给定一个字段k（加+和乘），向量空间超过

k（或k-向量空间）是一个集合e（向量的）加上两个运算+：e×e→e（称为向量加成），和·：k×e→e（称为标量乘），满足以下条件：所有α，β∈k和所有u，v∈e；

（v0）e是一个Abel群w.r.t.+，单位元素为0；

（v1）α·（u+v）=（α·u）+（α·v）；

（v2）（α+β）·u=（α·u）+（β·u）；

（v3）（αβ）·u=α·（β·u）；

（v4）1·u=u。

$x = ( x { 1 } , \ldots , x { n } )$

$( x { 1 } , \ldots , x { n } ) + ( y { 1 } , \ldots , y { n } ) = ( x { 1 } + y { 1 } , \ldots , x { n } + y { n } )$

$\because R \times R ^ { n } \rightarrow R ^ { n }$

$\lambda \cdot ( x { 1 } , \ldots , x { n } ) = ( \lambda x { 1 } , \ldots , \lambda x { n } )$

$+ : E \times E \rightarrow E$

$\because K \times E \rightarrow E$

$\alpha , \beta \in K$

$u , v \in E$

$\alpha \cdot ( u + v ) = ( \alpha \cdot u ) + ( \alpha \cdot v )$

$( \alpha + \beta ) \cdot u = ( \alpha \cdot u ) + ( \beta \cdot u )$

$( \alpha * \beta ) \cdot u = \alpha \cdot ( \beta \cdot u )$

$1 \cdot u = u$

$\alpha \in K$

$v \in E$

$\alpha \cdot v i$

$\alpha \cdot 0 = 0$

$\alpha \cdot ( - v ) = - ( \alpha \cdot v )$

$0 \cdot v = 0$

$( - \alpha ) \cdot v = - ( \alpha \cdot v )$

$u \in E$

$\lambda \in K , \text { if } \lambda \neq 0 \text { and } \lambda \cdot u = 0 , \text { then } u = 0$

$\lambda ^ { - 1 } \cdot ( \lambda \cdot u ) = \lambda ^ { - 1 } \cdot 0$

$\lambda ^ { - 1 } \cdot 0 = 0$

$\lambda ^ { - 1 } \cdot ( \lambda \cdot u ) = ( \lambda ^ { - 1 } \lambda ) \cdot u = 1 \cdot u = u$

$u = 0$

$E = R ^ { n }$

$\because R \times R ^ { n } \rightarrow R ^ { n }$

$\lambda \cdot ( x { 1 } , \ldots , x { n } ) = ( 0 , \ldots , 0 )$

$( x { 1 } , \ldots , x { n } ) \in R ^ { n }$

$\lambda \in R$

$C ( ] a , b [ )$

$f : ] a , b [ \rightarrow R$

在（v3）中，表示K字段中的乘法。

四十五

给定α∈K和V∈E，元素α·V也用αV表示，K场常称为标量场。

除非另有规定，或者除非我们处理几个不同的字段，在本章的其余部分中，我们假设所有k向量空间都是相对于固定字段k定义的。因此，我们将k向量空间简单地称为向量空间。在大多数情况下，字段k是reals的字段r。

从（v0），向量空间总是包含空向量0，因此是非空的。（从（v1），我们得到−α）·v=−（α·v），α·0=0，α·（−v）=−（α·v）。从（v2），我们得到0·v=0，并且

公理的另一个重要结论是：对于任何一个λ∈k，如果λ6=0和λ·u=0，则u=0.u∈e和

实际上，由于λ6=0，它有一个乘法逆λ−1，因此从λ·u=0，我们得到

λ−1·（λ·u）=λ−1·0。

然而，我们只是观察到λ−1·0=0，从（v3）和（v4），我们已经

λ−1·（λ·u）=（λ−1λ）·u=1·u=u，

我们推断u=0。

备注：您可能会怀疑是否真的需要AXIOM（v4）。它能从其他公理推导出来吗？答案是否定的。例如，可以取e=rn并定义

·R×RN→RN by

λ·（x1，…，xn）=（0，…，0）

对于所有（x1，…，xn）∈rn和所有λ∈r，公理（v0）–（v3）都满足，但（v4）失败。使用尚未定义的基的概念可以给出一些不那么简单的例子。

字段k本身可以看作是一个向量空间，向量的加法是字段中的加法，标量的乘法是字段中的乘法。

例3.1。

\1. r和c是r上的向量空间。

\2. Rn和Cn是R上的向量空间，Cn是C上的向量空间。

\3. 多项式的环r[x]是r上的向量空间，c[x]是r和c上的向量空间，n×n矩阵的环mn（r）是r上的向量空间。

\4. 连续函数f:]a，b[→r的环c（]a，b[）是r上的向量空间。

设e为向量空间。我们要定义线性组合和线性独立的重要概念。

在定义这些概念之前，我们需要讨论一个战略选择，它取决于如何解决，在处理诸如线性组合和线性依赖（或独立性）等概念时可能会减少或增加负担。这个问题与使用向量集和向量序列有关。

3.2索引族；和符号pi∈i ai

我们的经验告诉我们，最好使用向量序列；更好的是，索引向量族。（我们不是唯一一个选择序列超过集合的人，而且我们有很好的伙伴关系，例如，Artin[7]、Axler[10]和Lang[106]使用序列。然而，一些著名的作者，如LAX[110]使用套装。我们把它留给读者对这个问题进行调查。）

在给定集合A的情况下，回想一个序列是一个有序的n-元组（a1，…，an）∈a中元素的a，对于某个自然数n。序列的元素不必是不同的，顺序是重要的。例如，（a1，a2，a1）和（a2，a1，a1）是a3中两个不同的序列。它们的基础集是a1，a2。

我们刚刚定义的是有限序列，也可以看作是从1,2，…，n到集合A的函数；序列的第i个元素（a1，…，an）是函数下i的图像。这个观点是卓有成效的，因为它允许我们将（可数）无限序列定义为函数s:n→a。但是，为什么要将我们自己限制为有序集，如1，…，n或n作为索引集？

索引集的主要作用是唯一地标记每个元素，标记的顺序虽然方便，但并不重要。因此，很自然地将一个i-索引族的元素定义为函数a:i→a，其中i是任何被视为索引集的集合。因为函数A是由它的图决定的

（i，a（i））i∈i，

A族可以看作是成对的A=（I，A（I））I∈I。为了表示简单，我们写a i而不是a（i），并用（ai）i∈i∈i表示家族a=（i，a（i））i∈i，例如，如果i=r，g，b，y和a=n，对的集合

A=（R，2），（G，3），（B，2），（Y，11）

是一个索引族。元素2在族中出现两次，分别带有两个不同的标记r和b。

当索引集i完全有序时，一个族（ai）i∈i通常称为i序列。有趣的是，集合可以看作是家庭的特殊情况。实际上，一个集合a可以被看作是与同一函数对应的a-索引族（a，a）a∈i。

备注：索引族不应与多重集混淆。对于任何集合A，多集都与集合相似，只是集合的元素可能出现多次。例如，如果a=a、b、c、d，则a、a、b、c、c、d、d是多集。每个元素都以一定的多重性出现，但元素的顺序并不重要。例如，a具有多重性3。形式上，多集是一个函数s:a→n，或等价于一组对（a，i）a∈a。因此，多重集是n个元素的a-索引族，而不是n-索引族，因为不同的元素可能具有相同的多重性（如上例中的c和d）。索引族是序列的泛化，而多重集是集合的泛化。

我们还需要注意一个恼人的技术性，即定义形式pi∈i a i的和，其中i是任何有限的索引集，（ai）i∈i是某个集合a中的一个元素族，该集合a装备有一个二元运算+：a×a→a，它是结合的（公理（g1））和交换的。当我们定义线性组合时，就会出现这种情况。

问题是，二元运算+只告诉我们如何计算a的两个元素的a1+a2，但它不告诉我们三个以上元素之和是什么。例如，应该如何定义A1+A2+A3？

我们要做的是用一系列步骤来定义a1+a2+a3，每个步骤都涉及两个元素，有两种可能的方法可以做到这一点：a1+（a2+a3）和（a1+a2）+a3。如果我们的操作+不是关联的，那么它们是不同的值。如果它是关联的，那么a1+（a2+a3）=（a1+a2）+a3，但是指数1、2、3还有六个可能的排列，如果+不是交换的，这些值通常是不同的。如果我们的操作是交换的，那么所有六个置换都有相同的值。因此，如果+是关联的和交换的，那么可以直观地看出形式pi∈i a i的和不依赖于用于计算它的操作的顺序。

确实如此，但严格的证据需要归纳，令人惊讶的是，这样的证据牵涉其中。读者可以不加证明地接受这样一个事实，即形式pi∈i ai的和确实定义得很好，并直接跳到定义3.2。对于那些想看到血淋淋细节的人，我们开始吧。

首先，我们定义和pi∈i a i，其中i是不同自然数的有限序列，比如i=（i1，…，im）。如果i=（i1，…，i m）m≥2，我们用i−i1表示序列（i2，…，im）。我们根据I的尺寸M进行归纳，让

.

例如，如果我=（1,2,3,4），我们有

.

如果操作+不是关联的，则术语的分组很重要。例如，一般来说

A1+（A2+（A3+A4））=（6 A1+A2）+（A3+A4）。

但是，如果操作+是关联的，那么和pi∈i ai不应该依赖于i中元素的分组，只要它们的顺序保持不变。例如，如果i=（1,2,3,4,5），

j1=（1,2）和j2=（3,4,5），我们期望

.

这是事实，因为我们有以下的主张。

提案3.1.给定任意一个非空集a，装备有一个结合二元运算+：a×a→a，对于任意非空有限序列i的不同自然数，以及对于i到p的任何分区，非空序列i k1，…，i kp，对于某些非空序列k=（k1，…，kp），这样ki<kj意味着α<β对于所有α∈iki和所有β∈ikj，对于a中元素的每个序列（ai）i∈i，我们有

.

证据。我们根据i的大小n进行归纳。

如果n=1，那么我们必须有p=1和ik1=i，所以这个命题无关紧要。

接下来，假设n>1。如果p=1，那么ik1=i，公式很简单，所以假设p=2，然后写j=（k2，…，kp）。有两种情况。

案例1。序列ik1有一个单一元素，比如β，它是i的第一个元素。在这种情况下，通过删除i的第一个元素β，为从i获得的序列写c。通过

定义，

和

.

由于c=n−1，根据诱导假设，我们有

，

这就产生了我们的身份。

案例2。序列ik1至少有两个元素。在这种情况下，让β是i的第一个元素（因此是i k1的第一个元素），让I0是从i中通过删除第一个元素β获得的序列，让I0是从ik1中通过删除第一个元素β获得的序列，让I=2，…，p。回想一下j=（k2，…，kp）和k=（k1，…，kp）。序列I0有n-1个元素，因此通过应用诱导假设，我们得到

.

如果我们把左手边加在Aβ上，根据定义我们得到

X

α。

我一世

如果我们用关联性和一个索引和的定义把右手边加到β上，我们得到

如要求。

如果i=（1，…，n），我们也写而不是pi∈i ai。由于+是关联的，命题3.1表明总和独立于其元素的分组，这证明了符号a1+·····+an（没有任何括号）的使用是合理的。

如果我们也假设A上的结合二元运算是交换的，那么我们可以证明和pi∈i ai不依赖于索引集i的次序。

提案3.2.对于任意两个不同自然数的非空有限序列i和j，如果任意一个非空集a配备有结合和交换二元运算+：a×a→a，那么j是i的置换（换句话说，i和j的非空集是相同的），对于每个序列（ai）。A中元素的i∈i，我们有

十倍

aα=aα。α∈iα∈j

证据。我们通过归纳i中元素的数量p来进行，如果p=1，我们就得到i=j，这个命题就无关紧要了。

如果p>1，为了简化表示法，假设i=（1，…，p）并且j是i的置换（i1，…，ip）。首先，假设2≤i1≤p−1，让j0是通过删除i1从j获得的序列，i0是通过删除i1从i获得的序列，让p=（1,2，…，i1−1）和q=（i1+1，…，p-1，p）。观察到序列I0是序列P和Q的串联。通过应用于j0和i0的诱导假设，然后通过应用于i0及其分区（p，q）的命题3.1，我们得到

.

如果我们将左手边添加到ai1，根据定义，我们得到

X

α。J·J

如果我们把右手边加在ai1上，我们得到

.

利用关联性，我们得到

，

然后使用结合性和交换性数次（更严格地说，在I1-1上使用归纳法），我们得到

如要求。

I1=1或I1=P的情况同样处理，但处理方式更简单，因为P=（或Q=）（其中（）表示空序列）。

做了所有这些之后，我们现在可以理解形式pi∈i a i的和，对于a中的任何有限索引集i和任何族a=（ai）i∈i，其中a是一个具有结合性和交换性的二元运算+的集。

事实上，由于i是有限的，它与集合1，…，n是双射的，对于一些n∈n，并且任何全序都对应一个置换（在这里我们用它的图像识别一个置换）。对于所有订单，我们都会定义

.

那么，对于其他的全部订货，我们有

，

既然我和是1，…，n的不同排列，根据命题3.2，我们有

.

因此，sum不依赖于i的总排序，我们将和pi∈i ai定义为所有总排序的公共值。

3.3线性独立性，子空间

向量空间的一个最有用的性质是有基。这意味着在每一个向量空间中，e，都有一组向量，e1，…，en，这样每一个向量，v∈e，都可以写成一个线性组合，

V=λ1e1+····+λnen，

对于ei，对于某些标量，λ1，…，λn∈k。此外，n-元组（λ1，…，λn），如上所述是唯一的。

当e有一个有限的基础，e1，…，en时，这种描述是很好的，但情况并非总是如此！例如，实多项式的向量空间r[x]没有有限基，而是有无限基，即

1，x，x2，…，xn，…

人们可能会想，一个向量空间是否可能有不同大小的基，甚至可能有一个有限的基和一个无限的基。稍后我们将看到这是不可能的；一个向量空间的所有基都有相同数量的元素（基数），这称为空间的维数。然而，我们有以下问题：如果一个向量空间有一个无限的基，e1，e2，…，，我们如何定义线性组合？我们允许线性组合吗

λ1e1+λ2e2+···

3.3。线性独立性，子空间

有无穷多非零系数？

如果我们允许具有无穷多非零系数的线性组合，那么我们必须理解这些和，并且只有当我们将这些和定义为具有s1=λ1e1和

sn+1=sn+λn+1en+1。

但是，我们如何定义这些限制呢？好吧，我们必须通过一个规范、一个度量或其他机制，在我们的空间上定义一些拓扑。这确实可以做到，这就是Banach空间和Hilbert空间的全部内容，但这似乎需要大量的机器。

避免极限的一种方法是将我们的注意力限制在只涉及有限多个向量的线性组合上。我们可能有无穷多的向量，但我们只形成包含有限多个非零系数的线性组合。从技术上讲，这可以通过引入有限支撑族来实现。这使我们能够操作由某个固定的无限集索引的标量族，但仍将这些族视为有限的。

考虑到这些动机，给定一个集合a，回想一下，i-索引族（ai）i∈i的元素（简而言之，一个族）是一个函数a:i→a，或等价于一组对（i，ai）i∈i。我们同意，当i=？，（ai）i∈i=？。族（a i）i∈i是有限的，如果我是有限的。

备注：在考虑家族（a i）i∈i时，没有理由假定我是有序的。关键的一点是，族中的每个元素都是由i元素唯一索引的。因此，除非另有规定，否则我们不假定索引集的元素是有序的。

如果a是恒等式为0的阿贝尔群（通常，当a是一个环或向量空间时），我们称一个族（a i）i∈i具有有限支持，如果ai=0表示所有i∈i−j，其中j是i（族的支持）的有限子集。

给定两个不相交集i和j，两族（ui）i∈i和（vj）j∈j的并集，表示为

（ui）i （v j）j（vj）j（i（j）定义如下：wk=Uk，如果k（wi）i；（ui）i；（vj）j j）定义如下：wk（wk）k天在k/∈i.给定一个族（ui）i∈i时，（ui）i∈i的一个子族是一个族（uj）j∈j，其中j是i的任何子集。

在本章中，除非另有规定，否则假定所有scalar族都有有限的支撑。

定义3.2.设e为向量空间。向量v∈e是e元素的族（ui）i∈i的线性组合，如果k中存在标量的族（λi）i∈i，则

.

当我=时，我们规定v=0。（根据命题3.2，形式pi∈iλi ui的和被很好地定义）我们说，如果对于k中的每个族（λi）i∈i，那么一个族（ui）i∈i是线性独立的，

X

λiui=0表示所有i∈i的λi=0。

我爱我

等价地，如果K中有标量的某个族（λi）i∈i，则该族（ui）i∈i是线性相关的，因此

X

一些j∈i的λiui=0和λj=06。

我爱我

我们同意当我为∅时，族∅是线性独立的。

注意，定义向量族的线性组合而不是向量集的线性组合的优点是被组合的向量不必是不同的。例如，对于i=1,2,3和族（u，v，u）和（λ1，λ2，λ1），线性组合

有道理。在线性组合的定义中使用一组向量不允许这样的线性组合；这太限制了。

解开定义3.2，一个族（ui）i∈i是线性相关的，如果该族中的一些uj可以表示为该族中其他向量的线性组合。事实上，K中有一个标量家族（λi）i∈i，这样

X

一些j∈i的λiui=0和λj=06，

我想我

这意味着

.

注意，定义向量族而不是向量集的线性依赖性的原因之一是，我们的定义允许一个向量多次出现。这很重要，因为矩阵可能包含相同的列，我们想说这些列是线性相关的。集合的线性依赖性的定义不允许我们这样做。

上述结果还表明，一个族（ui）i∈i是线性独立的iff，或者i=∅，或者i由单个元素i和ui=06组成，或者i≥2，并且族中没有向量uj可以表示为族中其他向量的线性组合。

当i非空时，如果族（ui）i∈i是线性独立的，注意ui=06表示所有i∈i。否则，如果ui=0表示某些i∈i，则我们通过选取任何非零的λi并让λk=0表示所有k∈i，得到一个非平凡的线性依赖性pi∈iλiui=0，因为

3.3。线性独立性，子空间

λi0=0.如果i≥2，我们也必须有ui=6 uj代表所有i，j∈i代表i=6 j，因为否则我们通过选取任何非零λ的λi=λ和λj=−λ得到一个非平凡的线性依赖性，并且让λk=0代表所有k∈i代表k=6 i，j。

因此，线性独立的定义意味着一个非平凡的线性独立族实际上是一个集合。这解释了为什么某些作者选择定义向量集的线性独立性。这种方法的问题是线性依赖，即线性独立性的逻辑否定，然后只定义为一组向量。然而，正如我们前面所指出的，对于允许同一向量多次出现的族，定义线性相关性是非常可取的。

例3.2。

\1. 任何两个不同的标量λ，μ=06在k中都是线性相关的。

\2. 在r3中，向量（1,0,0）、（0,1,0）和（0,0,1）是线性无关的。

\3. 在R4中，向量（1,1,1,1）、（0,1,1,1）、（0,0,1,1）和（0,0,0,1）是线性无关的。

\4. 在r2中，向量u=（1,1），v=（0,1）和w=（2,3）是线性相关的，因为

W=2U+V。

一个族（i的j）即使当ni∈i是线性独立的iff（i=∅）时，每个有限子注。实际上，当nupj）j i∈jiλ为线性无关时，k中标量的族（λi）i∈i具有有限的支持，因此pλiui=0实际上意味着p j∈jλjuj=0 i∈i

对于i的有限子集j，当i是有限的时，我们通常假设它是集i=1,2，…，n。在这种情况下，我们将族（ui）i∈i表示为（u1，…，un）。

向量空间的子空间的概念定义如下。

定义3.3.在给定向量空间e的情况下，如果f是非空的，则e的子集f是e的线性子空间（或子空间），对于所有u，v∈f，以及所有λ，μ∈k，则λu+μv∈f。

很容易看出，e的子空间f确实是一个向量空间，因为·：e×e→e到f×f的约束实际上是一个函数·：f×f→f，而·：k×e→e到k×f的约束实际上是一个函数·：k×f→f。

很容易看出，子空间的任何交叉点都是子空间。因为f是非空的，如果我们选取任意向量u∈f，如果我们让λ=礹=0，那么λu+礹U=0u+0u=0，那么每个子空间都包含向量0。对于任意一个非空的有限指数集i，通过对i的基数的归纳，可以看出，如果（ui）i∈i是向量的任意族ui∈f，（λi）i∈i是标量的任意族，那么pi∈iλiui∈f。

子空间0将用（0）表示，甚至用0表示（略带滥用符号）。

例3.3.

\1. 在r2中，向量u=（x，y）的集合如下：

X+Y=0

是子空间。

\2. 在r3中，一组向量u=（x，y，z），使得

X+Y+Z=0

是子空间。

\3. 对于任意n≥0，次数的多项式f（x）∈r[x]集至多n是r[x]的子空间。

\4. 上三角n×n矩阵集是n×n矩阵空间的一个子空间。

提案3.3.对于任何向量空间e，如果s是e的任何非空子集，则包含s的e的最小子空间hsi（或跨度）是s元素的所有（有限）线性组合的集合。

证据。我们证明了S元素的所有线性组合的集跨度是E的一个子空间，作为练习，验证了包含S的每个子空间也包含跨度。

首先，跨度（pμsjv）j是非空的，因为它包含跨度（s）（非空）中的任意两个线性组合。如果），对于任意两个标量，u=pλ，μi∈i∈λirui，

且v=j∈j

λu+μv=λxλiui+μxμjvj

i∈i j∈j

=xλλiui+x祄祄jvj

i∈i j∈j

=xλi ui+x（λi+祄祄）ui+x祄祄祄jvj，

i∈i−j i∈i j∈j−i

它是指数集i j的线性组合，因此λu+μv∈SPAN（s），证明SPAN（s）是一个子空间。

有人可能会想，如果我们在组成线性组合的系数中添加额外的条件，会发生什么。这里有三个很重要的自然限制（和往常一样，我们假设我们的索引集是有限的）：

(1) 考虑组合pi∈iλiui，其中

X

λi=1.

我爱我

这些被称为仿射组合。我们应该认识到每一个线性组合

pin II∈，如果我们把λiui看作仿射组合。例如，如果j=i k，uk=0，且λk=1−pi∈iλi，那么pj∈jkλ是一个指数，notjuj是一个仿射组合，并且

十倍

λiui=λjuj.

i∈i j∈j

然而，我们得到了新的空间。例如，在r3中，三个向量e1=（1,0,0）、e2=（0,1,0）和e3=（0,0,1）的所有仿射组合的集合是通过这三个点的平面。因为它不包含0=（0,0,0），所以它不是线性子空间。

(2) 考虑组合pi∈iλiui，其中

λi≥0，对于所有i∈i。

这些被称为正（或圆锥）组合。事实证明，向量族的正组合是圆锥。它们在凸优化中表现得很自然。（3）考虑我们需要（1）和（2）的组合pi∈iλiui，即

，且所有i∈i的λi≥0。

这些被称为凸组合。对于任何有限的向量族，这些向量的所有凸组合的集合都是凸多面体。凸多面体在凸优化中起着非常重要的作用。

3.4向量空间的基

给定一个向量空间e，给定一个族（v i）i∈i，由零向量0和（vi）i∈i的所有线性组合组成的e的子集v很容易被看作是e的一个子空间。如果不是多余的话。具有这样一个“高效”生成族（称为基）的子空间起着重要作用，并激发了以下定义。

定义3.4.在给定向量空间e和e的子空间v的情况下，向量v i∈v的族（vi）i∈i跨越v或生成v，如果对于每一个v∈v，在k中有一些标量的族（λi）i∈i，这样

.

我们还说，（v i）i∈i的元素是v的生成元，v的范围是（vi）i∈i，或者由（vi）i∈i生成。如果e的子空间v是由有限族（vi）i∈i生成的，我们说v是有限生成的。跨越V且线性无关的族（ui）i∈i称为V的基。

例3.4.

\1. 在r3中，向量（1,0,0）、（0,1,0）和（0,0,1）构成基。

\2. 矢量（1，1，1，1），（1，1，−1，−1），（1，−1，0，0），（0，0，1，−1）构成了称为HAAR基的R4的基。这一基础及其对维数2n的推广在小波理论中是至关重要的。

\3. 在次数最多为n的r[x]多项式的子空间中，多项式1、x、x2、…、xn构成一个基。

\4. 伯恩斯坦多项式也构成了这个空间的基础。这些多项式在样条曲线理论中起着重要作用。

线性代数的第一个关键结果，即每个向量空间e都有一个基。我们从一个重要的引理开始，它使逐步构建基础的机制正式化。

引理3.4。给定一个向量空间E元素的线性独立族（ui）i∈i，如果v∈e不是（ui）i∈i的线性组合，则将v添加到族（ui）i∈i中得到的族（ui）i∈i∮k（v）是线性独立的（其中k/∈i）。

证明：对于任何族（λi）i∈ivof scalars in−p（祏k−1），μ具有一个逆（因为μv+pki∈iis a场），因此我们得到λiui=0。如果λi）uμi，显示=06，则

我爱我

V是（ui）i∈i的线性组合，与假设相矛盾。因此，μ=0。但是，我们有π∈iλi ui=0，由于族（ui）i∈i是线性独立的，所以我们有λi=0表示所有i∈i。

下一个定理一般成立，但对于没有有限生成集的向量空间，证明更为复杂。因此，在本章中，我们只证明有限生成向量空间的定理。

定理3.5。给定任意有限族s=（ui）i∈i生成向量空间e和任意线性无关子族l=（uj）j∈j（其中j i），e有一个基b，使得l b s。

证据。考虑线性无关族B的集合，使L B S。由于该集合是非空的和有限的，它有一些极大的元素，（即，具有最大基数的H I的S的子族B=（uh）H∈H），说B=（uh）H∈H。我们声称B生成E。实际上，如果B不生成E。当e为e时，则存在一些上∈s，它不是b中向量的线性组合（因为s生成e），带有p/∈h，然后，通过引理3.4，族b0=（uh）h∈h p是线性独立的，由于l b b0 s，这与b的最大性相矛盾，因此，b是e的基础，这样t帽子L B S.

注：定理3.5也适用于非有限生成的向量空间。在这种情况下，问题是要保证最大线性独立族B的存在，这样L B S。这种最大族的存在可以用Zorn引理表示，见附录B和此处给出的参考文献。

需要定理3.5的完全一般性的情况是向量的情况。

系数q上的空间r。数字1和√2是线性无关的。

在q上，所以根据定理3.5，线性独立族L=（1，√2）可以扩展到r的基b。因为r不可数，q可数，所以这样的基必须不可数！

基的概念也可以用极大线性独立族和极小生成族的概念来定义。

定义3.5.假设（vi）i∈i是向量空间e中的向量族，我们说（vi）i∈i是e的最大线性独立族，如果它是线性独立的，并且如果对于任何向量w∈e，通过将w添加到族（vi）i∈i得到的族（vi）i∈i∮k w是线性相关的。我们认为（vi）i∈i是e的极小生成族，如果它跨越e，并且对于任何指数p∈i，通过从族（vi）i∈i中删除vp得到的族（vi）i∈i−p不跨越e。

下面给出了表征基的有用性质的命题是引理3.4的直接结果。

提案3.6.给定一个向量空间e，对于e的向量的任何族b=（vi）i∈i，下列性质是等价的：

(1) B是E的基础。

(2) B是E的最大线性独立族。

(3) B是E的最小生成族。

证据。假设（1）。因为B是基，所以它是一个线性独立的族。我们认为B是一个最大线性独立族。如果b不是最大线性无关族，则存在一个向量w∈e，使得通过将w加到b得到的b0族是线性无关的。然而，由于b是e的基础，向量w可以表示为b中向量的线性组合，这与b0是线性无关的事实相矛盾。

相反，假设（2）。我们认为b跨e，如果b不跨e，那么在b中有一个向量w∈e，它不是向量的线性组合，根据引理3.4，把w加到b得到的b0族是线性无关的。由于b是b0的一个合适的亚科，这与b是最大线性独立族的假设相矛盾。因此，b必须跨越e，因为b也是线性无关的，所以它是e的基础。

再次假设（1）。因为B是基，所以它是E的生成族，我们认为B是最小生成族。如果b不是最小生成族，那么b的一个合适的子族b0跨越e，那么每个w∈b−b0都可以表示为b0的向量的线性组合，这与b是线性独立的这一事实相矛盾。

相反，假设（3）。我们声称b是线性无关的。如果b不是线性独立的，那么一些向量w∈b可以表示为b0=b−w中向量的线性组合。由于b产生e，b0族也产生e，但b0是b的一个适当的亚科，与b的最小值相矛盾，因为b跨越e，是线性独立的，所以它是e的基础。

线性代数的第二个关键结果是，对于向量空间e的任意两个基（ui）i∈i和（vj）j∈j，索引集i和j具有相同的基数。特别地，如果e有n个元素的有限基，e的每个基都有n个元素，整数n称为向量空间e的维数。

为了证明第二个关键结果，我们可以使用下面的因steinitz而替换的引理。这一结果显示了向量空间有限线性独立族和有限生成族之间的关系。我们从引理的一个版本开始，它有点非正式，但比命题3.8中给出的更精确和更正式的公式更容易理解。技术上的困难与一些指数需要重新命名的事实有关。

提案3.7.（替换引理，版本1）给定向量空间e，让（u1，…，um）是e中的任何有限线性独立族，让（v1，…，vn）是任何有限族，这样每个ui都是（v1，…，vn）的线性组合。然后，我们必须使m≤n，并且用（u1，…，um）替换向量vj的m，这样在重命名vj的一些索引之后，族（u1，…，um，vm+1，…，vn）和（v1，…，vn）生成e的相同子空间。

证据。我们对m进行归纳，当m=0时，这个家族（u1，…，um）是空的，这个命题的意义很小。对于诱导步骤，我们有一个线性独立的家族（U1，…，Um，Um+1）。考虑线性独立族（u1，…，um）。根据诱导假设，m≤n，向量vj的m替换为（u1，…，um），这样在重命名了vs的一些指数后，家族（u1，…，um，vm+1，…，vn）和（v1，…，vn）生成了e的相同子空间。向量um+1也可以表示为一个线性组合。（v1，…，vn）和（u1，…，um，vm+1，…，vn）的组合产生了相同的子空间，因此，可以将um+1表示为（u1，…，um，vm+1，…，vn）的线性组合，例如

.

我们认为，对于一些m+1≤j≤n的j，λj=06，这意味着m+1≤n。否则，我们将

，

用户界面的一种非平凡线性依赖关系，这是不可能的，因为（u1，…，um+1）是线性无关的。

因此m+1≤n，在必要时对指数进行重命名后，我们可以假定λm+1=06，因此我们得到

.

观察族（u1，…，um，vm+1，…，vn）和（u1，…，um+1，vm+2，…，vn）生成相同的子空间，因为um+1是（u1，…，um，vm+1，…，vn）的线性组合，vm+1是（u1，…，um+1，vm+2，…，vn）的线性组合。由于（u1，…，um，vm+1，…，vn）和（v1，…，vn）生成了相同的子空间，我们得出（u1，…，um+1，vm+2，…，vn）和（v1，…，vn）生成了相同的子空间，从而得出了诱导假设的结论。

下面是一个例子，说明了替代引理。考虑序列（u1、u2、u3）和（v1、v2、v3、v4、v5），其中（u1、u2、u3）是线性独立的族，uis用vjs表示如下：

U1=v4+v5 u2=v3+v4−v5 u3=v1+v2+v3。

从我们得到的第一个方程

v4=u1−v5，

通过代入第二个方程

u2=v3+v4−v5=v3+u1−v5−v5=u1+v3−2v5。

从上面的方程我们得到

v3=−u1+u2+2v5，

如此

u3=v1+v2+v3=v1+v2−u1+u2+2v5。

最后，我们得到

v1=u1−u2+u3−v2−2v5

所以我们有

v1=u1−u2+u3−v2−2v5 v3=−u1+u2+2v5 v4=u1−v5，

这表明（u1、u2、u3、v2、v5）与（v1、v2、v3、v4、v5）跨越相同的子空间。向量（v1、v3、v4）已被（u1、u2、u3）替换，剩余的向量为（v2、v5）。我们可以重命名它们（v4、v5）。

为了完整性起见，这里是替换引理（及其证明）的更正式的声明。

提案3.8.（替换引理，第2版）给定一个向量空间e，让（ui）i∈i是e中的任意有限线性独立族，其中i=m，让（vj）j∈j是任意有限族，这样每个ui都是（vj）j∈j的线性组合，其中j=n。那么，存在一个集合l和一个注入ρ：l→j。（一个重新标号函数）使得l i，l=n−m，并且族（ui）i i（vρ（l））l l和（v j）j j生成e的相同子空间，特别是m≤n。

证据。我们从i=m开始归纳，当m=0时，族（ui）i∈i是空的，并且命题与l=j（ρ是同一性）具有平凡的关系。假设i=m+1。考虑线性独立族（ui）i∈（i−p），其中p是i的任何成员。根据归纳假设，存在一个集合l和一个注入ρ：l→j，这样l（i−p）=∅，l=n−m，并且族（ui）i∈（i−p）（vρ（l））l∈l和（vj）j∈j生成相同的e的子空间。如果p∈l，我们可以用（l−p）p0替换l，其中p0不属于i l，用与l−p上的ρ一致的注射剂ρ0替换ρ，从而使ρ0（p0）=ρ（p）。因此，我们可以一直假设l i=∅。由于up是（v j）j∈j与族（ui）i∈（i−p）（vρ（l））l∈l与（vj）j∈j的线性组合生成e的相同子空间，up是（ui）i∈（i−p）（vρ（l））l∈l的线性组合。

上=xλiui+xλlvρ（l）。（1）

I∈（I−P）L∈L

如果所有l∈l的λl=0，我们有

，

与（ui）i∈i是线性无关这一事实相矛盾。因此，对于一些l∈l，λl=06，假设l=q。由于λq=06，我们得到

（2）

我们声称家族（ui）i \123; \\ l，by（1），vρ（q）是（ui）i∈i（vρ（l））l∈（l−q），by（2）的线性组合。因此，族（ui）i（vρ（l））l（l 123; \ \123; \125;，（v j）j ；L−Q=N−（M+1）

其思想是，矢量vj的m可以用线性无关的ui替换，这样就可以生成相同的子空间。函数ρ：l→j的目的是选取j的n−m元素j1，…，jn−m，并将它们重新标记为l1，…，ln−m，这样这些新索引就不会与i中的索引冲突；这样，将“生存”的向量vj1，…，vjn−m重新标记为vl1，…，vln-m，其他m向量vj与j∈j−j1，…，jn−m替换为ui。这个新家族的索引集是I L。

事实上，我们可以证明，当向量空间有限生成时，命题3.8隐含定理3.5。把定理3.5和3.8放在一起，我们得到以下基本定理。

定理3.9.设e为有限生成的向量空间。任何族（ui）i∈i生成e都包含一个作为e基础的子族（uj）j∈j，任何线性独立族（ui）i∈i都可以推广到一个作为e基础的族（uj）j∈j（带有i j）。此外，对于e的每两个基（ui）i∈i和（vj）j∈j，对于某个固定整数n≥0，我们得到了i=j=n。

证据。第一部分紧接着应用定理3.5，其中l=∅和s=

（ui）i∈i.第二部分，考虑族S0=（ui）i∈i（vh）h∈h，其中（vh）h∈h是生成e的任意有限生成族，且具有i h∅。然后，将定理3.5应用于l=（ui）i∈i和S0。对于最后一个陈述，假设（ui）i∈i和（vj）j∈j是e的基，因为（ui）i∈i是线性独立的，（vj）j∈j跨越e，命题3.8意味着i≤j。对称参数产生j≤i。

注：定理3.9也适用于非有限生成的向量空间。如下所示。设（ui）i∈i为e的基，设（vj）j∈j为e的生成族，并假定i为无穷大。对于每个j∈j，设lj i为有限集

.

设l=sj∈j lj。根据定义l i，由于（ui）i∈i是e的基础，我们必须有i=l，否则（ui）i∈l将是e的另一个基础，这将与以下事实相矛盾：

（ui）il∈ij是有限的，是线性独立的。而且，我是有限的。但是，since j必须是无穷大的，否则，因为ei=sj∈j lj与j无穷大和lj有限，根据集论的标准结果，i≤j。如果（vj）j∈j也是一个基础，通过对称论证，我们得到了e的任意两个基（ui）i∈i和（vj）j∈j。

定义3.6.当一个向量空间e不是有限生成时，我们说e是无限维的。有限生成向量空间e的维数是其所有基的公共维数n，用dim（e）表示。

显然，如果把场k本身看作一个向量空间，那么a∈k和a=06的每个族（a）都是基。因此，dim（k）=1。注意dim（0）=0。

定义3.7.如果e是尺寸n≥1的向量空间，对于e的任何子空间u，如果dim（u）=1，则u称为直线；如果dim（u）=2，则u称为平面；如果dim（u）=n-1，则u称为超平面。如果dim（u）=k，那么u有时被称为k平面。

设（ui）i∈i为向量空间e的基，对于任意向量v∈e，由于族（ui）i∈i生成e，在k中有一个标量的族（λi）i∈i，这样

V=xλiui。

我爱我

一个非常重要的事实是家族（λi）i∈i是唯一的。

命题3.10.假设v=给定向量空间pi∈iλiui。那么，家族，让（ui）（iλ∈ii）是一个向量家族，i是一个标量，所以ev。let=pivi∈λieu，i

蛱蛱

是唯一的iff（ui）i∈i是线性独立的。

证据。首先，假设（pμui）i i，那么我们有∈i是线性无关的。如果（μi）i∈i是另一个标量族

在k中，使得v=i∈i

，

由于（ui）i∈i是线性无关的，我们必须使所有i∈i的λi−μi=0，也就是说，所有i∈i的λi=μi。相反的是矛盾。如果（ui）i∈i是线性相关的，则会有一个scalars的族（祆i∈i，而不是全部为空，因此

对于一些j∈i，μj=06，但是，

V=xλi ui+0=xλiui+xμiui=x（λi+μi）ui，

i∈i i∈i i∈i i∈i

自λiu礹i.j=06以来，对于λj=6λj+p礹j，与（λi）i∈i是唯一族的假设相矛盾，使得v=i∈i

定义3.8.如果（i）i i i是向量空间E的一个基，对于任何向量v* e，如果（Xi）i i是R中的唯一标量族，则

V=xxiui，

我爱我

每个XI被称为V的索引I的分量（或坐标）相对于基（UI）i i。

给定一个场k和任意（非空）集i，我们可以形成一个向量空间k（i），在某种意义上，它是维i_的标准向量空间。

3.5。矩阵

定义3.9.给定一个域k和任意（非空）集i，让k（i）是由所有族（λi）i∈i组成的笛卡尔积ki的子集，其中k有有限的标量支持，我们定义了加乘和乘的标量如下：

（λi）i∈i+（μi）i∈i=（λi+μi）i∈i，

而λ·（μi）i∈i=（λμi）i∈i。

立即证明标量的加法和乘法定义良好。因此，k（i）是一个向量空间。此外，由于具有有限支撑的族是向量空间化的基础，因此向量eki的族（ei）i∈i定义为（（i）。当i=1，…，nei）j=0时，我们表示j 6=ikand（（i）byei）ki=1n。式中，是函数：i→k（i），这样，（i）=ei对于每个i∈i，显然是一个注射剂。

当我是有限集时，k（i）=ki，但当我是无限集时，这是错误的。实际上，dim（k（i））=i，但dim（ki）在无穷大的情况下更大。

许多有趣的数学结构是向量空间。一个非常重要的例子是将在下一节中定义的两个向量空间之间的一组线性映射。下面是一个例子，它将为我们准备线性映射的向量空间。

例3.5。设x为任意非空集，设e为向量空间。所有函数f:x→e的集合可以构成一个向量空间，如下所示：给定任意两个函数f:x→e和g:x→e，让（f+g）：x→e定义为：

（f+g）（x）=f（x）+g（x）

对于所有x∈x，并且对于每个λ∈k，让λf:x→e定义为：

（λf）（x）=λf（x）

对于所有的x∈x，向量空间的公理很容易被验证。

3.5矩阵

在第2.1节中，我们非正式地介绍了矩阵的概念。在本节中，我们将精确地定义矩阵，并介绍一些关于矩阵的操作。结果表明，矩阵形成了一个向量空间，该空间配备了一个具有关联性但非交换性的乘法运算。我们将在第4.1节中解释矩阵如何用于表示下一节中定义的线性映射。

定义3.10.如果k=r或k=c，k上的m×n矩阵是一个族（a i j），1 i m，1 j n

在m=1的特殊情况下，我们有一个行向量，用表示

（A11···A1n）

在n=1的特殊情况下，我们有一个列向量，用

.

在最后两种情况下，我们通常省略常量索引1（行的第一个索引，列的第二个索引）。所有m×n矩阵的集合用mm、n（k）或mm、n表示。n×n矩阵称为n维数的平方矩阵。n维数的所有平方矩阵的集合用mn（k）或mn表示。

注：根据定义，矩阵a=（a i j）1≤i≤m，1≤j≤n是一个族，即从1,2，…，m×1,2，…，n到k的函数。因此，没有理由对指数进行排序。因此，通过对行或列采用不同的顺序，矩阵A可以用许多不同的方式表示为一个数组。然而，习惯上（并且通常方便）假定集合1,2，…，m和1,2，…，n的自然顺序，并根据行和列的顺序将表示为数组。

我们在矩阵上定义了一些操作，如下所示。

定义3.11.给定两个m×n矩阵a=（aij）和b=（bij），我们定义它们的和

A+B作为矩阵c=（cij），因此cij=aij+bij；也就是说，

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3.5。矩阵

对于任何矩阵a=（aij），我们让−a作为矩阵（−aij）。给定一个标量λ∈k，我们将矩阵λa定义为矩阵c=（cij），这样cij=λaij；即

.

给定m×n矩阵a=（aik）和n×p矩阵b=（bkj），我们将它们的乘积ab定义为m×p矩阵c=（cij），以便

，

对于1≤i≤m和1≤j≤p，产品ab=c如下所示

注意，通过矩阵a和b相乘得到的矩阵ab的索引i和j的条目可以用a的第i行对应的行矩阵与b的j列对应的列矩阵的乘积来标识：

.

定义3.12.在维度n中，对角线上包含1，其他地方包含0的平方矩阵称为单位矩阵。它由表示

定义3.13.给定m×n矩阵a=（a i j），其转置a>=（a>j i）是n×m矩阵，因此a>j i=aij，对于所有i，1≤i≤m，以及所有j，1≤j≤n。

矩阵A的转置有时用at表示，甚至用ta表示。请注意，矩阵A的转置A>具有以下特性：A>的第j行是A的第j列。换句话说，转置交换矩阵的行和列。

下面的观察将在稍后讨论SVD时有用。给定任意m×n矩阵a和任意n×p矩阵b，如果我们用a1，…，an表示a的列，用b1，…，bn表示b的行，那么我们得到

ab=a1b1+·····+anbn。

对于每一个尺寸为n的正方形矩阵a，立即验证ain=ina=a。

定义3.14.对于尺寸n的任何正方形矩阵a，如果存在a b=ba=in的矩阵b，则它是唯一的，称为a的逆矩阵。矩阵b也由a-1表示。可逆矩阵也称为非奇异矩阵，不可逆矩阵称为奇异矩阵。

利用命题3.16和矩阵表示线性映射的事实，可以证明，如果一个正方形矩阵A有一个左逆矩阵，即矩阵B，使得b a=i，或右逆矩阵，即矩阵C，使得a c=i，那么a实际上是可逆的；因此b=a−1和c=a−1。这些事实也来源于5.14号提案。

立即证明m×n矩阵的集合mm，n（k）是矩阵加上和矩阵乘上标量的向量空间。考虑m×n-矩阵Ei，j=（Ehk），定义为Eij=1，Ehk=0，如果h=6 i或k=6 j。很明显，每个矩阵a=（Aij）∈mm，n（k）都可以用一种独特的方式写为

.

因此，族（ei，j）1≤i≤m，1≤j≤n是向量空间mm，n（k）的基础，其尺寸为mn。

注：当k是一个（交换）环而不是场时，定义3.10和3.11也是完全合理的。在这个更一般的设置中，向量空间的框架太窄，但是我们可以考虑交换环a上满足定义3.1的所有公理的结构。这种结构称为模块。模理论比向量空间更为复杂。例如，模块并不总是有基础的，而向量空间的其他属性对于模块来说通常是失败的。当一个模块有基础时，它被称为自由模块。例如，当a是交换环时，结构an是一个模，使得（ei）i=1的矢量ei和（ei）j=0（j=6i）构成a的基。向量空间的许多性质仍然适用于。因此，AN是一个自由模块。例如，当a是交换环时，m m，n（a）是基（ei，j）1≤i≤m，1≤j≤n的自由模。交换环上的多项式也形成无限维的自由模。

虽然有些计算有点繁琐，但3.11号提案中列出的性质很容易得到验证。命题4.1给出了一个更具概念性的证明。

提案3.11.（1）给定任意矩阵a∈mm，n（k），b∈mn，p（k），c∈mp，q（k），我们得到

（ab）c=a（bc）；

也就是说，矩阵乘法是关联的。

（2）给定任意矩阵a，b∈mm，n（k）和c，d∈mn，p（k），对于所有的λ∈k，我们得到

（A+B）C=AC+BC

A（C+D）=AC+AD

（λa）c=λ（ac）

A（λc）=λ（ac）

使矩阵乘法·：mm，n（k）×mn，p（k）→mm，p（k）为双线性。

命题3.11的性质以及所有平方n×n矩阵的a in=in a=a的事实表明，mn（k）是一个单位在（事实上，是一个结合代数）中的环。这是一个具有零除数的非交换环，如下面的示例所示。例3.6.例如，假设a，b是2×2矩阵

然后

，

和

因此a b=6b a，ab=0，即使a，b=0.6

3.6线性图

既然我们了解了向量空间以及如何生成它们，我们希望能够将一个向量空间e转换为另一个向量空间f。保持向量空间结构的两个向量空间之间的函数称为向量空间的同态，或线性映射。线性映射使函数的线性概念形式化。在本节的其余部分中，我们假设所有向量空间都在给定的字段k（比如r）上。

定义3.15.给定两个向量空间e和f，e和f之间的线性映射是满足以下两个条件的函数f:e→f：

f（x+y）=f（x）+f（y）表示所有x，y∈e；f（λx）=λf（x）表示所有λ∈k，x∈e。

在第一个恒等式中设置x=y=0，我们得到f（0）=0。线性映射的基本性质是将线性组合转换为线性组合。给定e中向量的族（ui）i∈i，给定k中标量的任何族（λi）i∈i，我们得到

f（xλiui）=xλif（ui）。

I∈I I∈I

利用定义3.15的性质，通过对族（λiui）i∈i的支持大小的归纳，证明了上述恒等式。

例3.7.

\1. 图f:r2→r2定义如下：

是一个线性映射。读者应通过以下方式检查旋转的构成

π/4，放大率√2。

\2. 对于任何向量空间e，标识映射id:e→e由

id（u）=u表示所有u∈e

是一个线性映射。当我们想要更精确的时候，我们写的是IDE而不是ID。

\3. 地图D:R[X]→R[X]定义如下：

d（f（x））=f0（x），

其中，f0（x）是多项式f（x）的导数，是线性映射。

\4. 地图Φ：c（[a，b]）→r由

其中c（[a，b]）是在区间[a，b]上定义的一组连续函数，是一个线性映射。

\5. 函数h−、−i:c（[a，b]）×c（[a，b]）→r由

在每个变量f，g中都是线性的。它还满足hf，gi=hg，fi和hf的性质，fi=0 iff=0。它是一个内部产品的例子。

定义3.16.对于线性映射f:e→f，我们将其图像（或范围）imf=f（e）定义为集合

imf=y∈f（x∈e）（y=f（x）），

其内核（或空空间）kerf=f−1（0），作为集合

切口=x∈e f（x）=0。

例3.7（3）中的导数映射d:r[x]→r[x]的核是常数多项式，因此kerd=r。如果我们考虑二阶导数d d:r[x]→r[x]，则d d的核由度≤1的所有多项式组成。d:r[x]→r[x]的图像实际上是r[x]本身，因为每个多项式p（x）=a0xn+······+an−1x+an的次数n是n+1的多项式q（x）的导数，由

另一方面，如果我们考虑d对次数≤n的多项式的向量空间r[x]n的限制，则d的核仍然是r，但d的图像是r[x]n-1，次数≤n-1的多项式的向量空间。

提案3.12。给定线性映射f:e→f，集imf是f的子空间，集kerf是e的子空间。线性映射f:e→f是内射iff kerf=（0）（其中（0）是平凡子空间0）。

证据。对于任何x，y∈imf，有一些u，v∈e，这样x=f（u）和y=f（v），并且对于所有的λ，μ∈k，我们有

F（λu+μv）=λf（u）+μf（v）=λx+μy，

因此，λx+μy∈imf，表明imf是f的一个子空间，给定任意x，y∈kerf，我们得到f（x）=0和f（y）=0，因此，

F（λx+μy）=λf（x）+μf（y）=0，

也就是说，λx+μy∈切口，表明切口是e的一个子空间。

首先，假设切口=（0）。我们需要证明f（x）=f（y）意味着x=y。然而，如果f（x）=f（y），那么f（x）−f（y）=0，通过f的线性，我们得到f（x−y）=0。因为切口=（0），我们必须有x-y=0，也就是x=y，所以f是内射的。相反，假设f是内射的。如果x∈切口，即f（x）=0，因为f（0）=0，我们得到f（x）=f（0），通过注入率，x=0，这证明切口=（0）。因此，f是注射剂iff kerf=（0）。

由于命题3.12，线性映射f的图像imf是f的子空间，我们可以将f的秩Rk（f）定义为imf的维数。

定义3.17.对于线性映射f:e→f，f的秩rk（f）是f的图像imf的维数。

向量空间中的基的一个基本性质是，它们允许将线性映射定义为唯一的同态扩展，如下面的命题所示。

提案3.13.给定任意两个向量空间e和f，给定e的任何基（ui）i∈i，给定f中的任何其他向量族（vi）i∈i，存在一个唯一的线性映射f:e→f，使得f（ui）=vi对于所有i∈i。此外，f是内射iff（vi）i∈i是线性独立的，f是外射iff（vi）i∈i生成f。

证据。如果存在这样一个线性映射f:e→f，由于（ui）i∈i是e的基础，因此每个向量x∈e都可以唯一地作为线性组合写入。

x=xxiui，

我爱我

根据线性度，我们必须

.

定义函数f:e→f，方法是

f（x）=xxivi

我爱我

每x=pi∈i xiui。很容易验证f确实是线性的，根据前面的推理它是唯一的，显然，f（ui）=vi。

现在，假设f是内射的。设（λi）i∈i为标量的任何族，并假定

X

λivi=0.

我爱我

因为每个i∈i的vi=f（ui），我们有

f（xλiui）=xλ，如果（ui）=xλivi=0。

i∈i i∈i i∈i

既然f是注射剂iff kerf=（0），我们有

，

由于（ui）i∈i是一个基，我们得到所有i∈i的λi=0，这表明（vi）i∈i是线性无关的。相反，假设（e中，每个向量x∈e是一个线性组合vi）i∈i是线性独立的。因为（x=pi∈iλi ui of（ui）i∈i.如果ui）i∈i是一个基础

，

然后

xxx

λivi=λif（ui）=f（λiui）=0，

i∈i i∈i i∈i

所有i∈i的λi=0，因为（vi）i∈i是线性无关的，这意味着x=0。因此，切口=（0），这意味着f是内射的。其中f是主观性的部分作为一个简单的练习。

在3.13命题的第二部分，一个内射线性映射f:e→f向一个线性独立族（f（ui））发送一个基（ui）i∈i，当f为双射时，它也是一个基。当e和f具有相同的有限维n时，（ui）i∈i是e的基，f:e→f是内射的，（f（ui））i∈i是f的基（由命题3.6）。

现在我们可以证明定义3.9的向量空间k（i）具有一个普适性，等于说k（i）是i自由生成的向量空间。回想一下，：i→k（i），这样，对于每个i∈i，（i）=ei是从i到k（i）的注入。

提案3.14.对于任意向量空间f和任意函数f:i→f，

有一个独特的线性图f:k（i）→f，这样

F=F_，

如下图所示：

我是CCCC/CK！（FI）

f

f

证据。如果存在这样一个线性映射f:k（i）→f，因为f=f_

f（i）=f（（i））=f（ei），

向量信息每一个if∈，并由命题3.13，有一个唯一的线性mapi。然而，家庭（ei）i∈i是k（i）的基础，（ff：（ki））（ii）∈i→是一个家庭关闭这样

f（ei）=f（i）对于每一个i∈i，证明了线性映射f的存在唯一性

这样f=f_。

下面的简单命题也很有用。

提案3.15。给定任意两个向量空间e和f，其中f非平凡，给定e中向量的任意族（ui）i∈i，则以下性质成立：

(1) 族（ui）i∈i在f中为每个向量族（vi）i∈i生成e iff，其中至多有一个线性映射f:e→f，这样f（ui）=vi代表所有i∈i。

(2) 族（ui）i∈i是线性独立的i f f，对于每个向量族（vi）i∈i，在f中有一些线性映射f:e→f，这样f（ui）=vi代表所有i∈i。

证据。（1）如果有任何线性映射f:e→f，使得f（ui）=vi对于所有i∈i，因为（ui）i∈i生成e，每个向量x∈e都可以写成某种线性组合。

x=xxiui，

我爱我

根据线性度，我们必须

f（x）=xxif（ui）=xxivi.

I∈I I∈I

这表明f是唯一的，如果它存在的话。相反，假设（ui）i∈i不生成e，因为f是非平凡的，所以有一些向量y∈f，使得y=06。由于（ui）i∈i不生成e，在（ui）i∈i生成的子空间中有一个不存在的向量w∈e，根据定理3.9，在（ui）i∈i生成相同子空间时有一个线性独立的子族（ui）i∈i0。由于假设w∈e不在（ui）i∈i0，由引理3.4和定理3.9生成的子空间中，又有e的一个基（e j）j∈i0 j，使得ei=ui，对于所有i∈i0和w=e j0，对于一些j0∈j，让（vi）i∈i成为f中的族，这样，vi=0代表所有i∈i，defin当f:e→f为0的常线性映射时，我们有一个线性映射，使f（ui）=0代表所有i∈i。根据命题3.13，有一个唯一的线性映射g:e→f，这样g（w）=y，g（e j）=0代表所有j∈（i0 j）−j0。根据e的基（e j）j i0 j的定义，对于所有i i，我们都有，g（ui）=0，并且由于f 6=g，这与这样一个映射最多存在一个的事实相矛盾。

（2）如果族（ui）i∈i是线性独立的，那么根据定理3.9，（ui）i∈i可以推广到e的基，其结论由命题3.13得出。相反，假设（ui）i∈i是线性相关的。那么，有一个标量（并非全部为零）的族（λi）i∈i，这样

X

λiui=0.

我爱我

假设任意非零向量y∈f，对于每一个i∈i，都有一个线性映射fi:e→f，这样fi（ui）=y，fi（uj）=0，对于j∈i−i。那么，我们就可以

0=fi（xλiui）=xλifi（ui）=λiy，

I∈I I∈I

由于y=06，这意味着λi=0，对于每一个i∈i，因此，（ui）i∈i是线性无关的。

在给定向量空间e、f和g以及线性映射f:e→f和g:f→g的情况下，很容易证明f和g的组合g f:e→g是线性映射。

定义3.18。线性映射f:e→f是同构的，如果存在线性映射g:f→e，那么

G F=IDE和F G=IDF。（）

定义3.18中的地图G是唯一的。这是因为如果g和h都满足g_f=ide、f_g=idf、h_f=ide和f_h=idf，那么

g=g idf=g（f h）=（g f）h=ide h=h。

上面满足（）的图G称为f的倒数，它也用f-1表示。

命题3.13意味着如果e和f是两个向量空间，（ui）i∈i是e的基，f:e→f是同构的线性映射，那么族（f（ui））i∈i是f的基。

我们可以验证，如果f:e→f是一个双射线性映射，那么它的逆f−1:f→e也是一个线性映射，因此f是同构的。

命题3.13的另一个有用推论是：

提案3.16。设e为有限维n≥1的向量空间，设f:e→e为任意线性映射。以下属性保留：

(1) 如果f有一个左逆g，也就是说，如果g是一个线性映射，这样g f=id，那么f是同构的，f−1=g。

(2) 如果f有一个右逆h，也就是说，如果h是一个线性映射，这样f h=id，那么f是同构，f−1=h。

证据。（1）方程g f=id表示f是内射的；这是关于函数的标准结果（如果f（x）=f（y），那么g（f（x））=g（f（y）），这意味着自g f=id以来x=y）。假设（u1，…，un）是e的任何基。根据命题3.13，因为f是内射的，（f（u1），…，f（un））是线性独立的，并且由于e有维n，所以它是e的基（如果（f（u1），…，f（un））不跨越e，那么它可以严格地扩展到维的基大于n，这与OREM 3.9）。然后，F是双射的，根据先前的观察，它的逆是一个线性图。我们也有

G=G ID=G（F F−1）=（G F）F−1=ID F−1=F−1。

（2）方程f h=id表示f是可射的；这是关于函数的标准结果（对于任意y∈e，我们有f（h（y））=y）。假设（u1，…，un）是e的任何基础。根据命题3.13，因为f是主观性的，（f（u1），…，f（un））跨越e，并且因为e有维n，所以它是e的基础（如果（f（u1），…，f（un））不是线性独立的，那么因为它跨越e，它包含的维的基础严格小于n，矛盾ng定理3.9）。然后，F是双射的，根据先前的观察，它的逆是一个线性图。我们也有

H=ID H=（F−1 F）H=F−1（F H）=F−1 ID=F−1。

这就完成了证明。

定义3.19.两个向量空间e和f之间的所有线性映射集都用hom（e，f）或l（e；f）表示（符号l（e；f）通常保留给连续线性映射集，其中e和f是赋范向量空间）。当我们想要更精确地定义向量空间e和f的K域时，我们写homk（e，f）。

集合hom（e，f）是在节末定义的操作下的向量空间。

2.1，即

（f+g）（x）=f（x）+g（x）

对于所有x∈e，和

（λf）（x）=λf（x）

对于所有x e，值得仔细检查的一点是，λf确实是一个线性映射，它使用了k域中的交换性。事实上，我们有

（λf）（μx）=λf（μx）=λμf（x）=λf（x）=μ（λf）（x）。

当e和f有有限维时，向量空间hom（e，f）也有有限维，稍后我们将看到。

定义3.20。当e=f时，线性映射f:e→e也被称为自同态。空间hom（e，e）也用end（e）表示。

同样重要的是要注意的是，组成赋予了HOM（e，e）一个环结构。实际上，组合是一个操作：hom（e，e）×hom（e，e）→hom（e，e），它是关联的，具有标识ide，并且分布性属性保持：

（g1+g2）f=g1 f+g2 f；g（f1+f2）=g f1+g f2。

环hom（e，e）是非交换环的一个例子。

很容易看出，f:e→e的双射线性映射集是一个组合下的群。

定义3.21。双射线性映射f:e→e也称为自同构。e的自同构群称为一般线性群（e），用gl（e）或aut（e）表示，当e=r n时，用gl（n，r）表示，甚至用gl（n）表示。

虽然在这本书中，我们不会有很多场合使用商空间，但它们是代数的基础。下一节可以省略，直到需要为止。

3.7。商空间

3.7商空间

设e为向量空间，设m为e的任意子空间，子空间m引出一个关系式

_m on e，定义如下：对于所有u，v∈e，u m v iff u−v∈m。

我们有以下简单的建议。

提案3.17。对于任意向量空间e和e的任意子空间m，关系m是与以下两个同余性质的等价关系：

1. 如果U1 M v1和U2 M v2，则U1+U2 M v1+v2，以及

2. 如果u_m v，则λu_mλv.

证据。很明显，m是等价关系。注意，u1 m v1和u2 m v2等于u1−v1=w1和u2−v2=w2，其中w1、w2∈m，因此，

（u1+u2）−（v1+v2）=w1+w2，

而w1+w2∈m，因为m是e的子空间，所以我们得到u1+u2 m v1+v2。如果u−v=w，用w∈m，则λu−λv=λw，

而λw∈m，因为m是e的子空间，因此λu mλv。

命题3.17表明，我们可以在等价关系m的等价类的集合e/m上定义一个标量的加法和乘法。

定义3.22.给定任意向量空间e和e的任意子空间m，在等价关系m的等价类集合e/m上，我们定义了一个标量的加乘运算，如下所示：对于任意两个等价类[u]，[v]∈e/m，我们得到

[U]+[V]=[U+V]，λ[U]=[λU]。

在命题3.17中，上述运算不依赖于等价类[u]、[v]∈e/m中代表的具体选择，直接验证e/m是一个向量空间。函数π：e→e/f，定义为π（u）=[u]对于每个u∈e，是一个称为e对e/f的自然投影的投影的投影线性映射，向量空间e/m被子空间m称为e的商空间。

对于任何线性映射f:e→f，我们知道kerf是e的一个子空间，并立即证明imf与商空间e/kerf同构。

3.8线性形式和对偶空间

我们已经观察到场k本身（k=r或k=c）是一个向量空间（在其自身之上）。从E到K场的线性映射的向量空间hom（e，k），即线性形式，起着特殊的作用。在这一部分中，我们只定义线性形式，并证明每个有限维向量空间都有一个对偶基。第10章给出了对偶空间和对偶性的更高级的表示。

定义3.23。对于向量空间e，从e到场k的线性映射的向量空间hom（e，k）称为e的对偶空间（或对偶空间）。空间hom（e，k）也用e表示，e中的线性映射称为线性形式，或covector。空间e的双空间e称为e的双空间。

记法上，线性形式f:e→k也用星号表示，如u、x等。

如果e是有限维n的向量空间，并且（u1，…，un）是e的基础，对于任何线性形式f∈e，对于每个x=x1u1+······+xnun∈e，通过线性我们得到

当λi=f（ui）k为每i，1≤i≤n时，因此，对于基（u1，…，un），线性形式f由行向量表示。

我们有

，

x坐标的线性组合，我们可以把线性形式f看作一个线性方程。如果我们决定使用系数的列向量

而不是行向量，则线性形式f定义为

f（x）=c>x。

上面的符号通常用于机器学习。

3.8。线性形式与对偶空间

例3.8。给定任意可微函数f:rn→r，根据定义，对于任意x∈rn，f在x处的总导数dfx是线性形式dfx:rn→r，因此对于所有u=（u1，…，un）∈rn，

.

例3.9.设c（[0,1]）为连续函数f[0,1]→r的向量空间，映射i:c（[0,1]）→r由

对于任意f∈c（[0,1]）

是线性形式（积分）。

例3.10。考虑实n×n矩阵的向量空间mn（r）。设tr:mn（r）→r为tr（a）=a11+a22+·····+ann给出的函数，

称为A的迹线。它是一种线性形式。设为：mn（r）→r为

，

其中a=（aij）。立即证明S是线性形式。

给定一个向量空间e和任意基（u i）i∈i for e，我们可以将一个线性形式u i∈e与每个ui关联，并且u i具有一些显著的性质。

定义3.24.给定一个向量空间e和任意基（ui）i∈i for e，通过命题3.13，对于每一个i∈i，都有一个唯一的线性形式，这样

，

对于每个j∈i，线性形式称为索引i w.r.t的坐标形式。基础

（ui）i∈i。

注：对于指数集i，作者通常定义所谓的“克罗内克符号”δij，以便

J J，

对于所有i，j∈i，那么，u i（uj）=δij。

术语坐标形式的原因如下：如果e有有限维，如果（u1，…，un）是e的基础，对于任何向量。

V=λ1u1+····+λnun，

我们有

u i（v）=u i（λ1u1+····+λnun）

=λ1u i（u1）+····+λiu i（ui）+···+λnu i（un）=λi，

因为u i（uj）=δij。因此，u i是一个线性函数，它返回在基上表示的向量的第i个坐标（u1，…，un）。

下面的定理表明，在有限维中，向量空间e的每一个基（u1，…，un）都产生了对偶空间e的基（），称为对偶基。

定理3.18。（双基的存在）设e为维数n的向量空间，其性质如下：对于e的每一个基（u1，…，un），坐标形式族是e的基（称为（u1，…，un）的双基）。证据。（a）如果v∈e是任何线性形式，考虑线性形式

.

因为u i（uj）=δij，

f（ui）=（v（u1）u 1+·····+v（u n）u（ui）

=v（u1）u 1（u i）+····+v（ui）u i（ui）+····+v（u n）u n（ui）

=v（ui）

因此F和V_在基础上（U1，…，Un）达成一致，这意味着

.

因此，（）跨度e。我们声称这些弯曲器是线性独立的。如果不是，我们有一个非平凡的线性依赖

，

如果我们将上述线性形式应用到每个用户界面，使用一个家族计算，我们得到

0=λiu i（ui）=λi，

证明这确实是线性无关的。因此，（）是

E.

特别地，定理3.18给出了一个有限维向量空间，它的对偶E具有相同的维数。

3.9。总结

3.9总结

本章的主要概念和结果如下：

• 组、环和字段。

• 向量空间的概念。

• 病媒家族。

• 矢量的线性组合；一个族的线性依赖性和线性独立性

• 线性子空间。

• 子空间跨度。（或生成）族；生成器，有限生成的子空间；基

• 每个线性独立的族都可以扩展到一个基（定理3.5）。

• 一个向量的最小生成族（命题3.6），b是一个基，iff是一个极大的线性独立族，iff是

• 替代引理（建议3.8）。

• 这是e（定理3.9）有限生成向量空间维中的任意两个基，e具有相同数量的元素；

• 超平面。

• 每一个向量在一个基上都有一个唯一的表示（以坐标表示）。

• 线性映射的概念。

• 线性映射f的图像imf（或范围）。

• 线性映射f的核切口（或空空间）。

• 线性映射f的秩Rk（f）。

• 线性映射的图像和核心是子空间。线性映射是内射的，如果它的核心是平凡空间（0）（命题3.12）。

• 关于基的线性映射的（命题唯一同态扩展属性3.13）。

• 商空间。

• 线性形式（covector）和双空间e。

• 坐标形式。

• 双基的存在（有限维）。