第三十六章 拓扑 36.1度量空间和赋范向量空间 本章回顾了基本拓扑概念。定义了第一个度量空间。定义下一个赋范向量空间。定义了闭集和开集，并阐述了它们的基本性质。定义了拓扑空间的一般概念。定义了子集的闭包和内部。定义了子空间拓扑和产品拓扑。定义了连续映射和同态。定义了序列的极限。简单地定义和研究了连续线性映射和多线性映射。本章以赋范仿射空间的定义为结尾。 本书中考虑的大多数空间都有一个由度量或范数给出的拓扑结构，我们首先回顾这些概念。我们从度量空间开始。回想一下R+=X∈R X≥0。 定义36.1.称为度量空间或距离度量空间，将非负实数赋给任意两点：e×e→r+，x，y∈e和函数d（x，y）dt的集合e，并满足所有x，y，z∈e的下列条件： （d1）d（x，y）=d（y，x）。（对称） （d2）d（x，y）≥0，d（x，y）=0 iff x=y（正性） （d3）d（x，z）≤d（x，y）+d（y，z）。（三角形不等式） 几何上，条件（d3）表示这样一个事实，即在顶点为x、y、z的三角形中，任何边的长度都是由其他两条边的长度之和所限定的。从 （d3），我们立刻得到 | d（x，y）−d（y，z）≤d（x，z）。 让我们给出一些度量空间的例子。回想一下，实数x∈ar+的绝对值x的定义如下：ib，由x=√a2+b 2x.=x，如果x≥0，x=−x，如果x<0，以及对于复数x= 一千二百二十一 例36.1。
- 设e=r，d（x，y）=x−y，x−y的绝对值。这是r上所谓的自然度量。
- 设e=rn（或e=cn）。我们有欧几里得度量 ， 点（x1，…，xn）和（y1，…，yn）之间的距离。
- 对于每个集合e，我们可以定义离散度量，定义为d（x，y）=1 iff x 6=y，d（x，x）=0。
- 对于任何a，b∈r这样a
- 在e=r中，距离为x−y_时，中心A和半径为ρ的开球是开球间隔（a−ρ，a+ρ）。
- 在e=r2的欧几里得度量中，圆心a和半径ρ的开球是圆心a和半径ρ圆盘内的一组点，不包括圆上的边界点。
- 在e=r3的欧几里得度量中，圆心a和半径ρ的开球是圆心a和半径ρ球体内的一组点，不包括球体上的边界点。 人们应该意识到，在形成一个闭合（或打开）球的几何图像时，直觉可能会产生误导。例如，如果d是离散度量，则圆心a和半径ρ<1的闭球只包含其圆心a，而圆心a和半径ρ≥1的闭球则包含整个空间！ 如果e=[a，b]和d（x，y）=x−a，ay，如例36.1所示，开放球+ρ），其在左侧闭合。b0（a，ρ），其中ρ<b−a，实际上是间隔[ 我们现在考虑度量空间的一个非常重要的特殊情况，赋范向量空间。赋范向量空间已经在第8章（定义8.1）中定义，但为了方便读者，我们重复定义。 定义36.3.设e是一个向量空间，在一个域k上，k是一个域r的实数，或者是复数的域c。范数一e是一个函数k k:e→r+，将所有x，y，z∈e:kuk的非负实数赋给任意向量u∈，并满足以下条件 （n1）kxk≥0，kxk=0 iff x=0。（正性） （n2）kλxk=λkxk.（缩放） （n3）kx+yk≤kxk+kyk（三角形不等式） 向量空间e与范数kk一起称为范数向量空间。从（n3）我们很容易得到 | KXK−KYK≤KX−YK。 给定一个赋范向量空间e，如果我们将d定义为 d（x，y）=kx−yk， 很容易看出，d是一个度量。因此，每个赋范向量空间都是度量空间。注意，与范数相关联的度量在翻译时是不变的，也就是说， d（x+u，y+u）=d（x，y）。 因此，我们可以限制自己打开或关闭中心0的球。 例8.1给出了赋范向量空间的例子。我们重复最重要的例子。 例36.3。设e=rn（或e=cn）。有三个标准规范。对于每个（x1，…，xn）∈e，我们有规范kxk1，定义如下： KXK1=x1+········xn， 我们有欧几里得标准kxk2，定义如下： ， sup-norm kxk∞定义如下： Kxk＝max＝{Xi}{ 1 } i＝n}。 更一般地说，我们定义“p-norm”（对于p≥1）的方法是 kxkp=（x1 p+······xn p）1/p. 我们在命题8.1中证明了p-规范确实是规范。闭合单元球位于（图36.1和36.2中的0）中心。图36.3和36.4说明了kk1、kkk2和kk∞中的情况，以及安全壳关系，如图3所示。 K1K1 甲 一 网络错误
网络错误 网络错误 网络错误 网络错误
K1 K1 C 图36.1：图（a）显示了与k k1相关的菱形闭合球。图（b）显示了与k k2相关的闭合单元盘，图（c）显示了与k k∞相关的闭合单元球。
图36.2：以（0,0）为中心的闭合单元球之间的关系。
乙
C 图36.3：图（a）显示了与kk1相关的八面体形状的闭合球。图形 （b）显示了与k k2相关的闭合球面，而图（c）显示了与k k∞相关的闭合单位球。 在赋范向量空间中，我们将半径为ρ的闭球或开球定义为中心为0的闭球或开球。我们可以使用符号b（ρ）和b0（ρ）。 现在我们将定义开集和闭集以及拓扑空间的重要概念。
图36.4：以（0,0,0）为中心的闭合单元球之间的关系。 定义36.4.设（e，d）为度量空间。子集u e是e中的开集，如果u=∅，或者对于每个a∈u，都有一些开球b0（a，ρ），这样，b0（a，ρ）u。如果其补集e−f在e中是开的，那么子集f e是e中的闭集。见图36.5。
图36.5：标准欧几里得度量下e=r2中的开集u。桃子U中的任何一个点都被一个小的覆盆子开放集所包围。
集合e本身是开放的，因为对于每个a∈e，中心a的每个开放球都包含在
e.在e=rn中，给定n个区间[ai，bi]，当ai
定义36.8.开集公理满足，我们还称（ua和ua拓扑空间（b这样，a∈e，uao，b）e，∈是aou）bhausdorff空间，并称满足ua ub=a。当6=b固有频率分离时，对于任意两个不同的点，存在两个t2分离公理（或t2分离公理）。 ②γ 如36.1命题所示，任何度量空间都是拓扑豪斯道夫空间，开集族实际上是开球任意联合的族。同样，任何赋范向量空间都是拓扑豪斯多夫空间，开集族是任意开球联合的族。由e的所有子集组成的拓扑o称为离散拓扑。 注：分析中使用的大多数（如果不是全部）空间都是豪斯道夫空间。直觉上，豪斯多夫分离公理说有足够的“小”开集。如果没有这个公理，可能会出现一些反直觉的行为。例如，一个序列可能有多个极限点（或者一个紧凑的集合可能不会被关闭）。然而，非豪斯多夫拓扑空间在代数几何中自然产生。但即使在那里，也使用了一些分离的替代品。 拓扑空间之所以重要的原因之一是拓扑的定义只涉及某个族的度量或规范。例如，不同的度量或不同的规范可以定义集合的sameo，而不是如何从开放集合的集合中生成此类集合。许多拓扑性质只依赖于O族，而不依赖于特定的度量或范数。但是，从度量或规范定义拓扑是很重要的，因为它通常意味着空间的良好属性。我们所有的例子都是拓扑由度量或规范定义的空间。 定义36.9.拓扑O.拓扑空间（e，o）可度量，如果e上有距离定义 注意，在度量空间（e，d）中，度量d是显式给出的。然而，通常情况下，可度量空间（e，o）的拓扑不是由显式给定的度量指定的，而是存在一些定义拓扑o的度量。显然，可度量拓扑空间必须是豪斯道夫。实际上，一个更强大的分离性质持有，一个可度量空间是正常的；见定义36.30。 注：通过对其进行补充，我们可以说明与定义36.7的闭集对偶的性质。因此，∅和E为闭集，闭集在有限活接头和任意交点下闭合。 同时值得注意的是，豪斯多夫分离公理意味着每一个a都是封闭的。实际上，如果a∈ua，uxx∈containingux，and x∈uxae包含在ux a=中，那么∅。见图36.6。因此，对于每一个6=ea−，因此存在开放的setsa，由（o3）显示x∈eeua−−−a∈andea，， UX使得有一个打开的集合是打开的，因此集合A是关闭的。
e 图36.6：Hausdorff分离特性示意图 给定一个拓扑空间（e，o），给定e的任何子集a，由于e∈o和e是一个闭集，包含a的闭集的家族ca=f a f是非空的，并且由于闭集的任意交集是一个闭集，因此家族c中集合的交集tcaa是包含a的最小闭集。通过类似的推理，a中包含的所有开子集的并集是a中包含的最大开集。 定义36.10.给定一个拓扑空间（e，o），给定e的任何子集a，最小的
包含a的闭集用a表示，称为a的闭包或依附。参见
图36.7.如果a=e，e的a子集在e中密集。a中包含的最大开集
用a_表示，称为a的内部。见图36.8。fra=a e−a集称为a的边界（或边界）。我们还表示a的边界a。见图36.9。
图36.7：拓扑空间（e，o）为R2，拓扑由欧几里得度量导出。子集A是第1和第4象限中由线y=x和y=-x约束的截面b0（1）。通过a与闭合单元球的交点获得a的闭合。
图36.8：拓扑空间（e，o）为R2，拓扑由欧几里得度量导出。子集A是第1和第4象限中由线y=x和y=-x约束的截面b0（1）。A的内部通过用小的开球覆盖A获得。
图36.9：拓扑空间（e，o）为R2，拓扑由欧几里得度量导出。子集A是在第一个和第四个象限中由
线y=x和y=−x。a的边界是a−a。
备注：表示e的a子集结束的符号a有点不幸，
由于a通常用于表示e中a的集合补码，因此我们更喜欢它而不是更繁琐的符号，如clo（a），并且我们用e−a（有时也指ac）表示e中a的补码。 根据定义，很明显，e的A子集是封闭的iff。有理数的集合q在r中是稠密的，很容易证明，a a=∅。另一个有用的
a的特征由以下命题给出。 提案36.4.给定一个拓扑空间（e，o），给定任意子集合acontaingof e，闭包x，则ua ofaa6=是所有点的集合∅。见图36.10。x∈e，对于每个开放集
图36.10：拓扑空间（e，o）为R2，拓扑由欧几里得度量导出。紫色子集A用三个红色点表示，每个红色点都在其闭合处，因为以每个点为中心的开球与A有非平凡的交点。 证据。如果a=∅，sincex∈∅ais闭合，则命题成立。因此，假设。如果u a=∅，sincea=6u∅为，则u为任意开集。 首先假设
开，那么任何闭子集包含−a u，我们必须有一个闭集包含x∈e−u，这是不可能的。相反，假设a，sinceu containinga是所有closedx的交集，那么u af=6是一个开集∅。设f为包含 这样x∈e就是这样一个点，对于每一个开放的集合x∈u，u a=a，如果∅是一个矛盾。因此，我们有x/∈f，因为f是闭的，那么ux∈=fe对于每个闭集−
包含a，即x∈a。 通常需要考虑拓扑空间E的子集A，并将子集A视为拓扑空间。下面的命题说明了如何在子集上定义拓扑。 36.5号提案。给定一个拓扑空间（e，o），给定e的任何子集a，让 U=U A U∈O 是作为o中任何开集与a的交集获得的a的所有子集的族。 以下属性保持不变。 (1) 空间（a，u）是一个拓扑空间。 (2) 如果e是带有公制d的公制空间，那么公制d到a的限制da:a×a→r+定义了公制空间。此外，由度量da引起的拓扑与由u定义的拓扑一致，如上所述。 证据。留作练习。 36.5号提案提出了以下定义。 定义36.11.由给定的拓扑空间（o是定义为e，o的开集族u）引起的拓扑，给定e的任何子集a，子空间 U=U A U∈O 是我们所说的（da:a，uof，metric）的所有子集的族，其子空间拓扑被称为任何开放集的交集。如果（子空间度量，d）是度量空间，则限制为a。 A×A→R+ 例如，如果e=rn，d是欧几里得度量，我们得到封闭n-立方体上的子空间拓扑。 {（x1，…，xn）eεAi不满足XiωBi，1πi n} n}。 见图36.11， 家族成员应认识到，每个开放的集合，buta=[a，bu可以包含不在中的开放集合]，则形式u∈o[a，c完全包含在中的集合，a<c<bo。例如，如果属于UA，但它们也是ine=r _X−Y，R在_X−Y下。但在以下情况下，双方达成一致。不是用于的打开集 36.6号提案。给定一个拓扑空间（e，o），给定e的任何子集a，如果u是子空间拓扑，那么以下属性成立。 (1) 如果a是一个开集a∈o，那么每个开集u∈u都是一个开集u∈o。 (2) 如果a是e中的闭集，那么每个闭集w.r.t。子空间拓扑是闭集w.r.t.o。 证据。留作练习。 产品拓扑的概念也很有用。我们有以下建议。 36.7号提案。给定n个拓扑空间（ei，oi），设b为e1×······×en的子集族，定义如下： B=U1×····×Un Ui∈Oi，1≤i≤n， 设P为任意集合联合的族，包括∅。那么p是上的拓扑
xFigure36.11：子空间拓扑中开集的一个示例，用于≤1、−1≤y≤1、−1≤bz0≤（（11，…）。开集为角区域abcd（得到x，y，zand）∈r3−1≤由立方体1,1），1）。 证据。留作练习。 定义36.12.给定n个拓扑空间（ei，oi），e1×····×en上的积拓扑是e1×······×en子集的p族，定义如下： B=U1×····×Un Ui∈Oi，1≤i≤n， 则P是由B中任意集合的并集组成的族，包括∅。见图36.12。 如果每个（ei，dei）都是度量空间，那么有三个自然度量可以定义在 e e ，
图36.12：欧几里得度量引入的r2和r3产品拓扑中的开放集示例。 这很容易证明 d∞（（x1，…，xn），（y1，…，yn））≤d2（（x1，…，xn），（y1，…，yn））≤d1（（x1，…，xn），（y1，…，yn）） ≤nd∞（（x1，…，xn），（y1，…，yn））， 所以这些距离定义了相同的拓扑，也就是产品拓扑。 如果每个（ei，k kei）都是一个赋范向量空间，那么在e1×·······×en上可以定义三个自然范数： ， 很容易看出k（x1，…，xn）k∞≤k（x1，…，xn）k2≤k（x1，…，xn）k1≤nk（x1，…，xn）k∞， 所以这些规范定义了相同的拓扑，也就是产品拓扑。也可以证明，当ei=r时，当标准拓扑由x−y诱导时，RN上的拓扑积是欧几里得范数诱导的标准拓扑。 定义36.13.如果空间e上的两个度量d和d0在e上引入相同的拓扑o（即，它们定义了开放集的相同族o），则它们是等效的。同样，如果空间e上的两个规范k k和k k0在e上诱导相同的拓扑O，则它们是等效的。 给定一个拓扑空间（e，o），用e的子集的子族b来定义拓扑o通常是有用的，如36.7命题。 定义36.14.b我们说，O的子集的家族bu可以作为某种联合获得（可能是拓扑o的基础，如果是O的子集，并且如果每个开放集 无限）的集合（同意空联合是空集合）。 2.开放区间构成基础，而开放盘构成基础 打开的矩形也构成了示例if df的基础，给定标准拓扑的任何度量空间（=k k e，dr2）。见图36.13，a∈e，ρ>0。尤其是R2。 立即证实，如果族b=（ui）i∈i是（e，o）拓扑的基础，则族ye=sbi∈（iagain，同意空联合为空集合）。反之，一个族，与任意两个集合的交集ui，uj∈b是其中一些集合的并集。 具有这些性质的B集是通过形成B的任意联合而得到的拓扑的基础。 定义36.15.在e的子集中，子基forso中集合的所有有限交集（包括一个族本身，如果是空交集），使得B族作为o的基础。见图36.13。 甲
图36.13：图（i）显示无限开放区间组形成R的子基。图（ii）显示无限开放条带形成R2的子基。 下面的命题给出了确定开放子集族是否是拓扑空间的基础的有用标准。 36.8号提案。给定拓扑空间（e，o）和o中开子集的族b，以下属性成立： (1) B族是拓扑学的基础，每个开放集和B U都有X∈o b iff，见图36.14.U∈O和每个X∈U，其中 (2) B族是iff拓扑的基础。 (a) 对于每一个x∈e，都有一些b∈b，使得x∈b。
(b) 对于任意两个开放子集b1，b2 b，对于每个x e，如果x b1 b2，则存在一些b3 b，使得x b3和b3 b1 b2。见图36.15。
图36.14：给定r2和x∈u的开子集u，存在一个含x的开球b和b u，也存在一个含x的开矩形b1和b1 u。
图36.15：提案36.8中条件（b）的示意图。 我们现在考虑连续性的基本性质。 36.3连续功能、限值 定义36.16.设（e，oe）和（f，of）为拓扑空间，设f:e→f为函数。对于每一个a∈e，我们说f在a处是连续的，如果对于每一个包含f（a）的开集v∈，有一个包含a的开集u∈oe，这样，f（u）v。见图36.16。我们说f是连续的，如果它在每一个a∈e上是连续的。 将a∈e的一个邻域定义为e的任何子集n，其中包含一些开集o∈o，这样a∈o。如果f在a上是连续的，n是f（a）的任何邻域，则有一些开集v n包含f（a），由于f在a上是连续的，所以有一些开集u包含a，这样f（u）五。由于v n，开放集u是f−1（n）的子集。
图36.16：定义36.16的示意图。 包含a且f−1（n）是a的邻域。相反，如果f−1（n）是a的邻域，当n是f（a）的任何邻域时，f立即在a处连续。见图36.17。
EF 图36.17：邻近条件示意图。 很容易看出36.16的定义等同于以下陈述。 36.9号提案。设（e，oe）和（f，of）为拓扑空间，设f:e→f为函数。对于每一个a∈e，函数f在a∈e iff上是连续的，对于f（a）∈f的每一个邻域n，则f−1（n）是a的一个邻域。函数f在e iff f−1（v）上是连续的，对于每个开集v∈of，函数f在oe中是一个开集。 如果e和f是由度量de和df定义的度量空间，我们可以很容易地证明f在iff上是连续的。 对于每个>0，有一些η>0，这样，对于每个x∈e， 如果de（a，x）≤η，则 同样，如果e和f是规范k ke和k kf定义的赋范向量空间，我们可以很容易地证明f在iff上是连续的。 对于每个>0，有一些η>0，这样，对于每个x∈e， 如果kx−ake≤η，则 值得注意的是，连续性是一个拓扑概念，在这个意义上，等价度量（或等价规范）定义了完全相同的连续性概念。 定义36.17。如果（e，oe）和（f，of）是拓扑空间，而f:e→f是一个函数，对于e的每一个非空子集a e，我们说f在a上是连续的，如果f对a的限制是连续的，关于（a，u）和（f，of），其中u是由a上的oe诱导的子空间拓扑。 给定拓扑空间中的乘积E1×××En，与往常一样，我们让πi：E1y-××En×Ei是投影函数，使得πi（x1，…，xn）＝Xi。立即验证每个πi是连续的。 在给定拓扑空间（e，o）的情况下，如果a是o中的开集，则点a∈e是孤立的。如果（e，oe）和（f，of）是拓扑空间，则任何函数f:e→f在每个孤立点a∈e处都是连续的。在离散拓扑中，每个点都是孤立的。 在非平凡赋范向量空间（e，k k）（e=6 0）中，没有孤立点。为了证明这一点，我们证明了每个开球b0（u，ρ，）都包含一些不同于u的向量，事实上，由于e是非平凡的，所以有一些v∈e使得v=06，因此λ=kvk>0（by（n1））。让
既然v=06且ρ>0，我们得到w=6 u，那么，
这表明，对于w=6 u，kw−uk<ρ。 下面的建议很容易展示出来。 提案36.10。给定拓扑空间（e，oe），（f，of），和（g，og），以及两个函数f:e→f和g:f→g，如果f在a∈e处连续，g在f（a）∈f处连续，则g f:e→g在a∈e处连续。给定n个拓扑空间（fi，oi），对于每个函数f:e→f1×····×fn，那么f在a∈e处是连续的，如果每个fi:e→fi在a处是连续的，其中fi=πi_f。 在度量空间（e，d）中，距离d:e×e→r是连续的，其中e×e具有积拓扑。根据三角形不等式，我们有 D（X，Y）≤D（X，X0）+D（X0，Y0）+D（Y0，Y）=D（X0，Y0）+D（X0，X）+D（Y0，Y） d（x0，y0）≤d（x0，x）+d（x，y）+d（y，y0）=d（x，y）+d（x0，x）+d（y0，y）。 因此， | D（X，Y）−D（X0，Y0）≤D（X0，X）+D（Y0，Y）、 证明d在（X0，Y0）处是连续的。事实上，这表明d是均匀连续的；见定义36.36。 根据36.2号提案，对于e的任何非空子集a，图x 7→d（x，a）是连续的（事实上，是一致连续的）。 同样，对于赋范向量空间（e，k k），赋范k:e→r是（一致）连续的。 给定函数f:e1×······×en→f，我们可以确定参数n-1，比如 a1，…，ai−1，ai+1，…，an，and view f作为剩余参数的函数， Xi＝7 f（A1，…，AI，1，Xi，Ai+ 1，…，an）， Ei在哪里。如果f是连续的，那么很明显每个fi都是连续的。 倒是要小心，倒是假的！例如，考虑函数f:r×r→r，定义如下： 如果（x，y）=（06，0），并且f（0，0）=0。 函数f在r×r−（0,0）上是连续的，但在y=m x上，m=06时，我们得到=0，因此在这条线上，当（x，y）接近（0,0）时，f（x，y）不接近0。见图36.18。
图36.18:for（x，y）=（06，0）的图。该图的底部显示沿Y=−X线的方法，Z值不为0。 下面的命题有助于证明实值函数是连续的。 提案36.11.如果e是一个拓扑空间，并且（r，x−y）标准拓扑下的实数，对于任意两个函数f:e→r和g:e→r，对于任意a∈e，对于任意λ∈r，如果f和g在a处是连续的，那么f+g，λf，f·g在a处是连续的，并且f/g在a if g（a）=06处是连续的。 证据。留作练习。 利用36.11，我们可以很容易地证明每一个实多项式函数都是连续的。 拓扑空间同构的概念定义如下。 定义36.18。设（e，oe）和（f，of）为拓扑空间，设f:e→f为函数。我们说，如果f是双射的，f是e和f之间的同胚，并且f:e→f和f−1:f→e都是连续的。 注意，双射连续函数f:e→f不一定是同胚。例如，如果离散拓扑为e=r，标准拓扑为f=r，则标识不是同胚。下面给出了另一个涉及参数曲线的有趣例子。设l:r→r2为函数，定义如下： ， 如果我们把（x（t），y（t））=（l1（t），l2（t））看作是r2中的一个几何点，通过让t在r中从−∞变为+∞得到的点集（x（t），y（t））定义了一条形状为“图8”的曲线，在原点处有自交，称为“伯努利柠檬酸盐”。见图第36.19条。图L是连续的，实际上是双射的，但其逆L−1不是连续的。实际上，当我们接近左上象限中曲线分支上的原点（即，x≤0，y≥0）时，t转到−∞，当我们接近右下象限中曲线分支上的原点（即，x≥0，y≤0）时，t转到到+∞。
图36.19：伯努利柠檬酸盐。 我们还回顾了序列极限的概念。给定任意集合e，序列是任意函数x:n→e，通常用（xn）n∈n，或（xn）n≥0，甚至用（xn）表示。 定义36.19。在给定拓扑空间（e，o）的情况下，我们假设一个序列（xn）n∈n收敛到某个a∈e，如果对于每个包含a的开集u，有一些n0≥0，这样，xn∈u，对于所有n≥n0。我们还说a是（xn）n∈n的极限。见图36.20。
e 图36.20：定义36.19的示意图。 当e是公制d的公制空间时，很容易证明这相当于，对于每>0，都有一些n0≥0，因此，对于所有n≥n0。 当e是范数kk的赋范向量空间时，很容易证明这相当于，对于每>0，都有一些n0≥0，这样，对于所有n≥n0。 下面的命题说明了豪斯多夫分离公理的重要性。 提案36.12。给定一个拓扑空间（e，o），如果豪斯多夫分离公理成立，那么每个序列至多有一个极限。 证据。留作练习。 值得注意的是，极限的概念是拓扑的，从一个序列收敛到一个极限b的意义上说，如果它收敛到任何等价度量中的同一个极限b（同样适用于等价规范）。 如果e是一个度量空间，如果a是e的一个子集，那么有一种方便的方法来显示
点x∈e在序列上属于a的闭包a。 36.13号提案。给定任意度量空间（e，d），对于e的任意子集a和任意点
x∈e，我们有x∈a iff，有一个点的序列（an），a∈a收敛到x。 证据。如果点a∈a的序列（a n）收敛到x，那么对于每个包含x的e的开子集u，有一些n0，使得所有n≥n0都有一个∈u，因此u a 6=∅，而命题36.4暗示x∈a。 相反，假设x∈a，那么对于每n≥1，考虑开球b0（x，1/n）。根据36.4号命题，我们得到b0（x，1/n）a=6∅，因此我们可以选取一些a∈b0（x，1/n）a。这样，我们定义了a中点的序列（an），并且通过构造d（x，an）<1/n（对于所有n≥1），所以序列（an）收敛到x。 我们仍然需要一个函数极限的概念。 定义36.20。让（e，oe）和（f，of）是拓扑空间，让a是一些非空的
e的子集，让f:a→f是一个函数。对于任意a∈a和任意b∈f，我们认为f（x）接近b，当x接近a时，如果对于包含b的每个开集v∈中的值，有一些开集u∈oe包含a，这样，f（u a）v。见图36.21。这表示为 lim f（x）=b.x→a，x∈a
图36.21：定义36.20的示意图。
首先，请注意，根据36.4，由于a∈a，对于每一个包含a的开集u，我们有u a=6∅，并且定义是非平凡的。而且，即使a∈a，f（a）在a处的值在这个定义中也不起作用。当e和f是具有度量de和df的度量空间时，可以很容易地表明定义如下：对于每个>0，有一些η>0，这样，对于每个x∈a， 如果de（x，a）≤η，则 当e和f是范数k ke和k kf的赋范向量空间时，可以很容易地看出其定义如下： 对于每个>0，有一些η>0，这样，对于每个x∈a， 如果kx−ake≤η，则 我们得到了以下关于某一点的连续性的结果和前面的概念。 提案36.14.设（e，oe）和（f，of）为两个拓扑空间，设f:e→f为函数。对于任意a∈e，当x接近a时，函数f在iff f（x）接近f（a）时是连续的（值在e中）。 证据。剩下的只是一个小小的练习。 另一个关于序列收敛概念到连续性的重要命题是无证据地陈述的。 36.15号提案。设（e，oe）和（f，of）为两个拓扑空间，设f:e→f为函数。 (1) 如果f是连续的，那么对于e中的每个序列（xn）n∈n，如果（xn）收敛到a，那么（f（xn））收敛到f（a）。 (2) 如果e是度量空间，并且（f（xn））在（xn）收敛到a时收敛到f（a），对于e中的每个序列（xn）n∈n，则f是连续的。 当e和f是（非平凡的）范数k ke和k kf的赋范向量空间时，将使用定义36.20的特殊情况。设u为e的任意非空开子集，我们在前面已经证明e没有孤立点，并且每个集合v都是闭的，对于每个v∈e，由于e是非平凡的，对于每个v∈u，u中包含一个非平凡的开球（一个不降到中心的开球）。那么，对于每一个v∈u，a=u−v是开放的且非空的，
显然，对于任何v∈u，如果f（x）接近b，当x接近v，值在a=u−v时，我们说f（x）接近b，当x接近v，值在u中为6=v时，这表示为 lim f（x）=b.x→v，x∈u，x6=v 注：上述情况的变化出现在以下情况中：e=r，f是一些任意的拓扑空间。让a是r的一些非空子集，让f:a→f是一些函数。对于任何a∈a，我们说f在a if的右边是连续的。 极限F（x）=F（a）。 x→a，x∈a[a，+∞） 我们可以用类似的方式在a的左边定义连续性。 让我们考虑另一个变化。让a是r的一些非空子集，让f:a→f是一些函数。对于任何a∈a，我们说f在a if处有第一类不连续性。 x→a，x∈lima（−∞，a）f（x）=f（a−）
和 lim f（x）=f（a+） x→a，x∈a（a，+∞） 两者都存在，并且f（a-）=6 f（a），或f（a+）=6 f（a）。 请注意，F（a−）=F（a+）是可能的，但如果此公共值与F（a）不同，则F在a处仍然是不连续的。在R的非空子集上定义的连续函数，除了第一类的一些不连续点外，在分析中起着重要作用。 我们现在讨论拓扑空间的连通性。 36.4连接装置 拓扑空间的连通性在理解曲面拓扑中起着非常重要的作用。本节收集了充分理解紧致曲面（有边界）分类定理所需的事实。主要参考文献是Ahlfors和Sario[2]和Massey[118、119]。对于拓扑、几何和代数拓扑的一般背景，我们还强烈推荐Bredon[30]和Fulton[68]。 定义36.21。拓扑空间（e，o）是连通的，如果e中唯一的既开放又封闭的子集是空集，e本身也是连通的。等价地，（e，o）是连通的，如果e不能写成两个不相交的非空开集u，v的联合e=u v，或者如果e不能写成两个不相交的非空闭集的联合e=u v。如果一个子集在（e，o）诱导的S上的子空间拓扑中连接，则S e连接。见图36.22。连接的开放集称为区域，如果其内部是连接（开放）集，则封闭集称为封闭区域。 连通性的定义是为了捕捉一个连通空间S是“整体”的事实。考虑到度量空间（rn，k k2），连通空间的典型例子是b0（a，ρ）和b（a，ρ）。特别是，以下描述R关联子集的标准命题可以在大多数拓扑文本中找到（例如，Munkres[127]，Schwartz[146]）。为了完整起见，我们提供了一个证据。 36.16号提案。实线的一个子集r是连通的，如果它是一个区间，即形式[a，b]，（a，b），其中a=-∞是可能的，[a，b），其中b=+∞是可能的，或（a，b），其中a=-∞或b=+∞是可能的。 证据。假设a是r的连通非空子集，当a=∅或a由单点组成时，情况很简单。否则，我们证明，当a，b∈a，a<b时，整个区间[a，b]是a的一个子集。实际上，如果不是这样的话，会有一些c∈（a，b）这样c/∈a，然后我们可以写a=（-∞，c）（（c，+∞）a），其中（-∞，c）a和（c，+∞）a都是无的。空的和不相交的a的开放子集，与a是连通的这一事实相矛盾。很容易得出，a必须是一个区间。
图36.22：图（i）显示了R2中两个不相交磁盘的并集是一个断开的集合，因为每个圆都可以由开半区域分隔。图（ii）是R2的一个连接子集的示例，因为两个磁盘不能由开放集分隔。 相反，我们证明了一个区间i必须是连通的。设a为i中开闭的i的任意非空子集。我们证明i=a。固定任意x∈a，并考虑所有y的集合rx，使得[x，y]a。如果集合rx是无界的，则rx=[x，+∞）。否则，如果这个集合是有界的，那么B是它的最小上界。我们声称b是区间i的右边界，因为a在i中是封闭的，除非i在右边是开放的，b是它的右边界，我们必须有b∈a，在第一种情况下，a[x，b）=i[x，b）=x，b）。在第二种情况下，由于a在i中也是开的，除非b是区间i的右边界（右闭），a中包含一些开集（b-η，b+η），这意味着[x，b+η/2]a，与b是集rx的最小上界这一事实相矛盾。因此，b必须是区间i的右边界（右闭）。类似的论点也适用于所有x的集合ly，这样[x，y]a和ly都是无界的，或者它的最大下界a是i的左边界（左开或闭）。在所有情况下，我们都表明a=i，并且间隔必须是连接的。 直观地说，如果一个空间没有连接，就可以定义一个连续函数， 在不相交的“连接组件”上是常量，并且在不相交的组件上可能具有不同的值。这可以用局部常数函数的概念来表示。 定义36.22.在给定两个拓扑空间x，y的情况下，函数f:x→y是局部常数，如果对于每个x∈x，都有一个开集u x，使得x∈u和f在u上是常数。 我们声称局部常数函数是连续的。事实上，我们将证明f−1（v）对于每个子集都是开放的，v y（而不仅仅是开放集v）。足以证明f−1（y）对每一个y∈y都是开放的，因为对于每一个子集v y， F−1（v）=[F−1（y）， YⅤ 开放集在任意联合下是封闭的。然而，如果y∈y−f（x）或f在u=f−1（y）上是常数，如果y∈f（x）（带值y），则f−1（y）=∅1（y），并且由于f是局部常数，对于每个x∈u，都有一些开放集w x，这样x∈w和f在w上是常数，这意味着f（w）=y对于所有w∈w，因此w u，表示u是开集的联合，因此是开的。下面的命题表明一个空间是连通的，如果每个局部常数函数都是常数： 36.17号提案。拓扑空间是连通的，如果每个局部常数函数都是常数。见图36.23。
图36.23：由两个实心球的不相交联合组成的不相交集上的局部常数（但不是常数）实值函数f的示例。在粉红球上，F为0，而在紫色球上，F为1。 证据。首先，假设x是连通的。设f:x→y为某个空间y的局部常数函数，并假定f不是常数。选取任意y∈f（x）。因为f不是常数，所以u1=f−1（y）=6 x，当然，u1=6∅。我们在命题之前就证明了 36.17对于每个子集v y，f−1（v）都是打开的，因此u1=f−1（y）=f−1（y）和u2=f−1（y−y）都是打开的、非空的，并且显然x=u1 u2和u1和u2是分离的。这与x是连通的，f必须是常数这一事实相矛盾。 假设每个局部常数函数f:x→y都是常数。如果x没有连接，我们可以写x=u1 u2，其中u1和u2都是开放的、分离的和非空的。我们可以定义函数f:x→r，这样在u1上f（x）=1，在u2上f（x）=0。由于u1和u2是开的，函数f是局部常数，但不是常数，这是一个矛盾。 对RN的连通子集进行刻画是困难的，需要有弧连通性的概念。连通集的一个最重要的性质是由连续映射保持。 36.18号提案。对于任何连续映射，f:e→f，如果a e连接，则f（a）连接。 证据。如果f（a）没有连接，那么f中存在一些非空开集u，v，这样f（a）u和f（a）v是非空的和不相交的，并且 F（A）=（F（A）U）（F（A）V）。 那么，f−1（u）和f−1（v）是非空的，并且是打开的，因为f是连续的，并且 A=（A F−1（U））（A F−1（V））， a f−1（u）和f−1（v）非空、不相交且在a中打开，这与a连接的事实相矛盾。 36.18命题的一个重要推论是，对于每一个连续函数，f:e→r，其中e是一个连通空间，f（e）是一个区间。事实上，这源于36.16号提案。因此，如果f取a和b值，其中a<b，则f取所有值c∈[a，b]。这是一个非常重要的性质，叫做中值定理。 即使一个拓扑空间不连通，也证明了它是极大连通子集的不相交并，并且这些连通分量在E中是闭合的，为了得到这个结果，我们需要几个引理。 外膜的连接的子集36.19。给定一个拓扑空间，e，如果a i a j=6∅对于allei，j，对于任何族，∈i，那么联合，（ai）i∈i，of（nonempty）con-a=si∈i，of 家庭，（ai）i∈i，也有联系。 证据。假设si∈i ai没有连接。存在e的两个非空开子集u和v，这样a u和a v是不相交和非空的，并且 A=（A U）（A V）。 现在，对于每一个我∈我，我们可以写 ai=（ai u）（ai v）、 其中，ai u和ai v是不相交的，因为ai a和a u和a v是不相交的。自从 AAI已连接，即为V。然而，根据假设，ai u=∅或aai i va=j 6=∅。这意味着，对于所有的i，j∈i，因此，要么是泊头a u，要么是 我 Ai A U和Aj A U，或Ai A V和Aj A V都是不相交的，因为A U和A V是不相交的。因此，我们得出结论，要么所有i∈i的ai a_u，要么所有i∈i的ai a_v，但这证明
或
A U和A V是不相交和非空的，这与Bothbe连接的事实相矛盾。因此，必须
特别地，当一个族（a i）i∈i中的连接集有一个共同点时，上述引理适用。 引理36.20。如果a是拓扑空间的连通子集，e，那么对于每个子集，
b，使得a b a，其中a是e中a的闭合，集合b连接。 证据。如果b未连接，则有两个非空开放子集，u，v，of e，使得b u和b v是分离的和非空的，并且 B=（B U）（B V）。 由于a b，上述内容意味着 A=（A U）（A V）、 这与va的子空间拓扑相连，要么为∅，这意味着b和sincea u a=b∅，要么为aa b a and u va a=b is closed in∅。在不丧失一般性的情况下，假设，这意味着u。但是，e，b ubbis在v ab=in，abu关闭 W.R.T.B的子空间拓扑清晰 （因为闭包是包含给定集合的最小闭集）。因此，矛盾。 特别地，lemma 36.20表明，如果a是一个连接的子集，那么它的闭包a也是连接的。我们现在准备介绍空间中连接的组件。 定义36.23。给定一个拓扑空间，（e，o），这样，我们就说，如果存在e的某个连通子集，a，b，aa，b，e的两个点是连通的。 立即证明“A和B在E中连接”是等效关系。只有传递性并不明显，但它紧接着是引理36.19的一个特例。因此，上述等价关系定义了将e划分为非空不相交的连接组件。使用引理36.19和引理36.20很容易证明以下命题： 命题36.21.包含a是最大的连通集，包含给定的任何拓扑空间，e，对于anya。a∈e的连接分量，连接分量为 关闭。 局部连通空间的概念也很有用。 每个社区，定义36.24。拓扑空间（v，of a，there is a connected neighborhood，e，o），是局部连通的，对于每一个拓扑空间，a∈ue，for v。 见图36.24。
图36.24：拓扑空间e同构于一个环，局部连接，因为每个点被e中包含的一个小圆盘包围。 如我们稍后将看到的，它相当于要求e有一个连通开集的基。 存在非本地连接的连接空间，也存在非本地连接的本地连接空间。这两个属性是独立的。例如，r2 s=（x，sin（1/x）），x>0（0，ys）的−r1（由[0≤y≤1组成）的子空间是连接的，但不是，1][2，3]的子空间是本地连接的。见图36.25。子空间已连接但未连接。
图36.25：设为f（x）=sin（1/x）的图，将y轴在−1和1之间结合。此空间已连接，但未本地连接。 36.22号提案。拓扑空间e是局部连通的iff，对于e的每个开子集a，e，a的连通分量都是开的。 证据。假设e是本地连接的。设a为e的任意开子集，c为a的连通分量之一，对于a∈c a，存在a的连通邻域u，因此u a，由于c是a的连通分量，我们必须有u c，这表明对于每个a c，都有一些开包含在c中的a的子集，所以c是开放的。 相反，假设对于每个打开的子集（a，of e），a的连接组件是打开的。然后，对于每一个a∈e和每一个邻域，u，of a，因为u包含了一个包含a的开放集，内部，是一个包含a的开放集，并且其连接的组件是开放的。特别地，包含A的连接组件C是包含A的连接开放集，并且包含在U中。 命题36.22表明，在局部连通空间中，连通开集构成了拓扑的基础。很容易看出RN是本地连接的。表面的另一个非常重要的特性，更一般地说是流形，是弧连接的。直觉是任何两点都可以由连续的曲线弧连接。具体形式如下。 定义36.25。给定拓扑空间（e，o），弧（或路径）是一个连续的图，γ：【a，b】→e，其中【a，b】是实线的闭合区间，r。点γ（a）是弧的起始点，点γ（b）是弧的终点。我们说γ是连接γ（a）和γ（b）的弧。见图36.26。如果γ（a）=γ（b），则弧为闭合曲线。集合γ（[a，b]）是弧γ的轨迹。
图36.26：假设e为子空间拓扑结构的环面，由带有红色弧γ（[a，b]）的r3导出。环面既有弧连接又有局部弧连接。 通常，a=0，b=1。 不应将弧γ[a，b]→e与其轨迹混淆。例如，γ可以是常数，因此它的迹线减少到一个点。 如果γ在其迹线上是同态，则弧就是约旦弧。如果γ（a）=γ（b）且γ在[a，b]上是内射的，则弧γ[a，b]→e是乔丹曲线。由于[a，b]是连通的，根据36.18号命题，一个弧的迹γ（[a，b]）是e的连通子集。 给定两条弧γ：【0,1】→e和δ：【0,1】→e使得γ（1）=δ（0），我们可以形成一条新的弧，定义如下： 定义36.26。给定两个弧，γ：【0,1】→e和δ：【0,1】→e，这样γ（1）=δ（0），我们可以形成它们的组成（或积），γδ，，定义如下： ）如果0 t 1/2；如果1/2≤t≤1，则为δ（2t−1）。 （）=≤≤ 弧的倒数γ−1定义为γ−1（t）=γ（1−t），所有t∈[0,1]。 一般来说，36.26的定义可以产生连续的弧。 定义36.27。拓扑空间e是弧连通的，如果对于任意两点，a，b∈e，有一条弧，γ：【0,1】→e，连接a和b，即γ（0）=a和γ（1）=b。拓扑空间e是局部弧连通的，如果对于a的每个邻域，v，有一条弧连通的。连接的邻里，u，的一个这样的u v。见图36.26。 空间RN是局部弧连接的，因为对于任何开放球，球中的任何两点都由一个直线段连接。流形和表面也局部呈弧形连接。命题36.18也适用于弧连接（这是一个简单的练习）。以下定理对流形和曲面理论至关重要： 定理36.23。如果一个拓扑空间E是弧连通的，那么它就是连通的。如果一个拓扑空间，e，是连通的，局部是弧连通的，那么e就是弧连通的。 证据。首先，假设e是弧连通的。选取任意一点，a，在e中，由于e是弧连接的，对于每一个b∈e，都有一条路径，γb:[0,1]→e，从a到b，依此类推， E=[γb（[0,1]） 贝娥 连接所有包含a.的连接子集的联合，由引理36.19，e连接。 现在假设e是连通的，并且是局部弧连通的。对于任意点a∈e，设fa为所有点b的集合，这样有一个弧，γb:[0,1]→e，从a到b。显然，fa包含a。我们表明fa既开放又封闭。对于任何b∈fa，由于e是局部弧连通的，因此存在一个包含b的弧连通邻域u（因为e是b的邻域）。因此，B可以用一条弧连接到每一点c∈u，由于根据fa的定义，有一条从a到b的弧，这两条弧的组合产生一条从a到c的弧，这表明c∈fa。但接着是u fa，因此fa是开放的。见图36.27（i.）。现在假设b是fa的补码。与前一种情况一样，存在一些含有b的弧连通邻域u，因此，每个点c∈u都可以通过一条弧与b相连。如果有一条弧连接A到C，我们将得到一条从A到B的弧，这与B是fa的补码这一事实相矛盾。因此，每一点c∈u都在fa的补码中，这表明u包含在fa的补码中，因此fa的补码是开放的。见图36.27（ii）。因此，我们已经证明fa是开的和闭的，并且由于它是非空的，所以我们必须有e=fa，这表明e是弧连通的。 如果e是局部弧连通的，上述参数表明e的连通分量是弧连通的。 连接的空间是弧形连接的，这是不正确的。例如，由函数图形组成的空间 f（x）=sin（1/x） 其中x>0与y轴的一部分（其中−1≤y≤1）相连，但没有弧连接。见图36.25。
图36.27：显示FA是打开和关闭的证明技术的示意图。 定理36.23证明的一个小小的修改表明，在赋范向量空间e中，连通的开集是由多边形线（即由线段组成的弧）沿弧连接的。这是因为在每一个开放球，任何两点都是由一个直线段连接的。此外，如果e是有限维的，这些多边形线可以被强制平行于基向量。 我们现在考虑紧度。 36.5紧凑集和局部紧凑空间 在拓扑分析中，紧性的性质是非常重要的。我们提供了一个针对流形研究的快速回顾，有关详细信息，我们请读者参考Munkres[127]，Schwartz[146]。在本节中，我们需要假设拓扑空间是豪斯道夫空间。这不是一种奢侈，因为很多结果都是错误的。 本节首先提供紧致性的定义，并用r描述紧致空间的集合。定义紧致性有各种等价的方法。 为了我们的目的，最方便的方法涉及到开放式封面的概念。
定义36.28。给定拓扑空间e，用于任何子集的用户界面。打开子面板，打开（ui）i∈i的打开盖 a是e的开子集的族，因此a的i∈i覆盖（ui）i∈i是a的开覆盖的任意子族（uj）j∈j，其中j i是a的开覆盖。a的开覆盖（ui）i∈i是有限的，如果i是有限的。见图36.28。拓扑空间e是紧的，如果它是豪斯道夫，对于e的每一个开盖（ui）i∈i，都有一个有限的开子超（uj）j∈j，给定e的任何子集a，我们称a是紧的，如果它是紧的。
关于子空间拓扑。我们说A是相对紧凑的，如果它的闭包A是紧凑的。
U1 U2
图36.28：使用由r3的欧几里得拓扑诱导的两个开集的s2的开盖。 直接证明了在子空间拓扑中，e的子集a相对于e的开子集i∈i的iff是紧的，对于a的每个开子集，都有一个有限的开子覆盖（uj）j∈j，每个开子覆盖包含一个有限的开子覆盖的性质通常称为hein。E-borel-lebesgue地产。考虑到互补性，豪斯道夫空间对于闭集的每个族（fi）i∈i都是紧致的iff，如果ti∈i fi=∅，那么对于i的一些有限子集j，tj∈j fj=∅。 定义36.28要求紧凑空间为Hausdorff。有些书不一定要求有一个紧凑的空间作为豪斯道夫。跟在施瓦茨后面，我们更喜欢 称这种空间为准紧空间。 对于具有有限交集性质的族，还可以给出另一个等效和有用的特征。 定义36.29。对于i的每一个有限子集j，如果tj∈j fj=6∅则集的族（fi）i∈i具有有限交集性质。 36.24号提案。拓扑豪斯道夫空间e是每个家族的紧凑iff，fi=6∅。（fi）具有有限交集性质的闭集的i∈i，则i∈i 属性，然后是证据。如果e是紧的并且（ti∈i fi不能是空的，否则我们会有fi）i∈i是一个闭集族，对于i的某个有限子集j，具有有限相交tj∈j fj=∅，这是一个矛盾。反之亦然。 压实度的另一个有用结果如下。对于任何一个族（∈t fi=？，那么fi=？，对于某些fi i∈）i∈ii。实际上，对于所有的i j-of i，都必须有一些有限的子Tfi+1-fi，如果i∈i-tj∈j-fj=∅，并且由于fi+1 fi对于所有的i∈i，我们必须有fj=∅对于（fj）j∈j中最小的fj，利用这个事实，我们注意到r不是紧的。实际上，闭集族（[n，+∞））n≥0正在减少，并且有一个空的交集。 立即证明了紧致子集的每一个有限联合都是紧致的。类似地，相对紧凑子集的每个有限联合都相对紧凑（使用以下事实
A B=A B）。 给定一个度量空间，如果我们将一个有界子集定义为一个可以被封闭在某个封闭球（有限半径）中的子集，那么度量空间的任何非有界子集都是不紧的。然而，实线的闭合区间[a，b]是紧凑的。 36.25号提案。实线的每个闭合区间[a，b]都是紧凑的。 证据。我们自相矛盾。设（ui）i∈i为[a，b]的任意开盖，并假定不存在有限开子超。设c=（a+b）/2。如果[A，C]和[C，B]都有一些有限的开子覆盖，那么[A，B]也会有，因此[A，C]没有任何有限的开子覆盖，或者[C，B]没有任何有限的开子覆盖。让[a1，b1]成为如此糟糕的子区间。同样的论点也适用，我们把[a1，b1]分成两个相等的子区间，其中一个子区间一定是坏的。因此，将长度为（b−a）/2n的[an，bn]定义为没有有限开子覆盖的区间，将[an，bn]分成两个相等的区间，我们知道其中至少有一个没有有限开子覆盖，并且我们用[an+1，bn+1]表示这样一个坏区间。见图36.29。序列（an）是不递减的，并且从上面以b为界，因此，根据实线的基本性质，它收敛到它的最小上界α。同样地，序列（bn）是不递增的，并由a从下限定，因此它收敛到它的最大下限β。因为[an，bn]有长度（b−a）/2n，我们必须有α=β。然而，（a）和（bn）序列的共同极限α=β必须属于开放盖的一些开放集ui，并且由于ui是开放的，它必须包含一些含有α的区间[c，d]。然后，因为α是序列（a n）和（bn）的共同极限，所以有一些n使得区间[an，bn]都包含在区间[c，d]中，对于所有n≥n，这与区间[an，bn]中没有一个具有有限开子超的事实相矛盾。因此，[a，b]确实是紧凑的。
A、B
A1 C1 B1 B
A2 C2 B2 B1 B
A2 A3 C3 B3 B
a2 a4 b4 b3 b1乙 图36.29：36.25命题证明中使用的嵌套区间构造的前四个阶段。 36.25号提案的论点可以被改编为在rm中，每一个闭集[a1，b1]×······×[am，bm]都是紧凑的。在每一个阶段，我们都需要分为2百万个子部分而不是2百万子部分。 接下来我们讨论紧空间的一些重要性质。我们从两个分离公理开始，这两个公理只适用于豪斯道夫空间： 36.26号提案。给定一个拓扑豪斯道夫空间，e，对于每个紧子集，a，和每个点，b，而不是a，存在不相交的开集，u和v，这样a u和b∈v。见图36.30。因此，每个紧子集都是闭合的。
图36.30:r2，a的紧凑集被其补码中的任何点分隔开。 证据。由于e是hausdorff，对于每一个a∈a，都有一些不相交的开集，即ua和va， 是一个包含containinga的开放集是紧凑的，有一个有限的开放子覆盖，（A和B分别）。因此，家族（一个与开放的集合相分离）j∈uj，of a）ta∈j∈aaj，形成了一个开放的封面，其中vj包含j a，然后b。这表明了这一点。sincej∈j uj A补码中的每一点b都属于这个补码中的某个开集，因此补码是开的，即A是闭的。见图36.31。
图36.31：对于粉红紧凑型集合A，U是覆盖A的七个磁盘的联合，而V是包含B的七个开放集的交集。 事实上，36.26号提案的证明可用于显示以下有用性质： 36.27号提案。给定拓扑豪斯道夫空间E，对于每对紧不相交子集A和B，都存在不相交的开集U和V，因此A U和B V。 证据。我们重复36.26命题的论点，其中b扮演b的角色，并利用36.26命题找出含有a∈a的不相交的开集ua和含有b的va。 下面的命题表明，在紧拓扑空间中，每个闭集都是紧的： 36.28号提案。给定一个紧拓扑空间e，每个闭集都是紧的。 证据。由于a是封闭的，e−a是开放的，并且从a的任何开盖（ui）i∈i，我们可以通过将e−a添加到（ui）i∈i来形成e的开盖，并且，由于e是紧凑的，可以提取e的有限子包，（uj）j∈j e−a，使（uj）j∈j是a的有限子包。参见图36.32。 注：36.28命题也适用于拟紧空间，即不需要豪斯道夫分离性质。
图36.32：36.28提案证明的图解。e和a在r2中都是闭合的正方形。请注意，A的开口盖，即绿色圆圈，与黄色方形环空E−A组合时，覆盖所有黄色方形E。 把36.27和36.28放在一起，我们注意到，如果x是紧的，那么对于每对不相交的闭集a和b，存在不相交的开集u和v，这样a u和b v。 定义36.30。一个拓扑空间E是正态的，如果每一个点集都是闭的，对于每一对不相交的闭集A和B，存在不相交的开集U和V，使得A U和B V。拓扑空间E是规则的，如果每一个点集都是闭的，对于每一个点a∈e和e的每一个闭子集b，如果a/∈b，则存在不相交的开集u和v，使得a∈u和b v。 很明显，正态空间是规则的，正态空间是豪斯道夫。有一些不规则的豪斯道夫空间和不正常的规则空间的例子。 我们只是观察到一个紧凑的空间是正常的。可度量空间的一个重要性质是它们是正规的。 36.29号提案。每个可度量空间e都是正常的。 证据。假设E的拓扑结构由公制d给出。因为b是闭合的，而a b0是这样的∅， 对于每一个a∈a，因为a/∈b=b，有一些开球）的半径。同样地，因为A是闭合的，A B=∅表示每一个。设b∈b有一个半径为0的开球）。 . 然后a和b是开集，这样a u和b v，并且我们声称u v=∅。 如果不是，那么有一些z∈u v，这意味着对于一些a∈a和一些b∈b，我们有 . 接下来是 . 如果，那么），这与事实相矛盾。如果，那么），这与事实相矛盾。 紧凑空间还具有以下特性。 36.30号提案。给定一个紧拓扑空间，e，对于每一个a∈e，对于a的每一个邻域，v，存在一个紧邻域，u，对于这样的u v。见图36.33。
图36.33：设e为r2的桃方形。E的每个点都包含在一个紧凑的邻域U中，在这种情况下，是一个封闭的黄色小圆盘。 证据。因为v是a的一个邻域，所以有一些包含a的v的开子集o，那么o的补k=e-o是闭的，因为e是紧的，根据36.28，k是紧的。现在，如果我们考虑形式为k f的所有闭集的族，其中f是a的任何闭邻域，因为a/k，这个族有一个空的交集，因此，a的闭邻域f1，…，fn是有限的，因此k f1·fn=∅。然后，u=f1····fn被关闭，因此根据36.28号提案，O v中包含的a的紧凑邻域。见图36.34。
图36.34：设e为r2的桃方形。a，u的紧邻域是闭集f1，f2，f3的交集，每一个都包含在k的补码中。 结果表明，在有限维的赋范向量空间中，子集是紧致的，如果它是封闭的和有界的。对于RN来说，证明很简单。 在无穷维的赋范向量空间中，存在非紧的闭集和有界集！ 关于度量空间中的紧性可以说得更多，但我们只需要勒贝格数的概念，稍后将讨论这个概念。紧实性的另一个重要特性是它在连续性下保持。 36.31号提案。设e为拓扑空间，设f为拓扑豪斯道夫空间。对于每个紧凑的子集，a，of，e，对于每个连续映射，f:e→f，子空间f（a）是紧凑的。 证据A，很容易检查。sincelet（ui）i∈i是一个开盖的a是紧致的，有一个有限的开子over，（f（a）。我们认为（f−1（ui））i∈i是a的−1（uj））j∈j的开盖，因此，（uj）j∈j是f（a）的开子覆盖。 作为36.31号命题的推论，如果e是紧的，f是豪斯道夫，f:e→f是连续的和双射的，那么f是同胚。事实上，足以证明f-1是连续的，这相当于f将闭集映射到闭集。然而，闭集是紧致的，36.31号命题表明，紧致集映射到紧致集，36.26号命题将紧致集映射到紧致集。 36.31命题的另一个重要推论是以下结果。 36.32号提案。如果e是一个紧的非空拓扑空间，如果f:e→r是一个连续函数，那么有点a，b∈e，这样f（a）是f（e）的最小值，f（b）是f（e）的最大值。 证据。集f（e）是r的一个子集，因此是一个包含其最大下界和最小上界的封闭有界集。 以下属性也保留。 36.33号提案。设（e，d）为度量空间。对于e的任何非空子集a，如果a是紧的，那么对于每个开的子集u，比如a u，都有一些r>0，比如vr（a）u。 证据。函数x 7→d（x，e−u）是连续的，并且d（x，e−u）>0（因为a u）。根据36.32号命题，有一个 d（a，e−u）=inf d（x，e−u）。 X A 但d（a，e−u）=r>0，这意味着vr（a）u。 另一个有用的概念是局部紧度。实际上，流形和表面是局部致密的。 定义36.31。拓扑空间e是局部紧的，如果它是Hausdorff，对于每一个a∈e，都有一个a的紧邻域k，见图36.33。 从36.30号命题出发，每一个紧凑空间都是局部紧凑的，但反过来是错误的。例如，r是局部紧凑的，但不是紧凑的。实际上，有限维的赋范向量空间是局部紧的。 36.34号提案。给定局部紧拓扑空间e，对于a的每一个a∈e，对于a的每一个邻域n，存在a的紧邻域u，使得u n。 证据。对于任何a∈e，都有a的紧邻域v，根据36.30，a相对于v的每个邻域都包含a相对于v的紧邻域u。但是，相对于v的每一个邻域都是相对于e的一个邻域，而a in e的每一个邻域n都产生了a in v的一个邻域v n，因此，对于a的每一个邻域n，都存在一个紧凑的邻域u，其中u n。 当e是度量空间时，定义36.6中定义的子集vr（a）具有以下特性。 36.35号提案。设（e，d）为度量空间。如果e是局部压缩的，那么对于任何
非空压缩e的子集a，有一些r>0，这样vr（a）是压缩的。 证据。由于e是局部紧的，对于每一个x∈a，都有一个内部包含x的紧子集vx，开子集族是一个开覆盖a，由于a是紧的，它有一个有限的子覆盖。则u=vx1···vxn紧凑 （作为紧凑子集的有限联合），它包含一个包含（的联合）的开放子集。在36.33号提案中，有一些r>0，使得vr（a）u，因此
VR（A）U。由于U是紧凑型，而VR（A）是封闭型，所以VR（A）是紧凑型。 处理非紧流形比处理紧流形困难得多。然而，流形是局部紧凑的，因此有多种方法可以将局部紧凑的豪斯道夫空间嵌入到紧凑的豪斯道夫空间中。最经济的建筑就是只增加一点。这种结构，被称为亚历山德罗夫紧实，在技术上是有用的，我们现在描述它，并勾勒出它实现目标的证据。 为了帮助读者的直觉，让我们考虑平面的情况，r2。如果我们把平面r2看作嵌入3-空间的r3，也就是方程z=0的xy平面，我们可以考虑半径为1的球体∑，它以点（0,0,1）的z轴为中心，与原点的xoy平面相切（方程x2+y2+的球体（z-1）2=1）。如果n表示球体上的北极，即坐标点（0,0,2），则穿过北极且不与球体相切（即不平行于xoy平面）的任何线d与唯一点m中的xoy平面和唯一点p中的球体相交，而不是北极，N。这样，我们得到xoy平面和穿透球体∑之间的双射，即删除北极N的球体。这种双射称为赤平投影。见图36.35。 平面的亚历山德罗夫紧致化使北极回到了球体上，这相当于在平面上无穷大∞处增加了一个点。直观地说，当我们从原点o向无穷远移动时（在任何方向！）我们趋向于无穷大∞的理想点。假设我们“弯曲”平面，使其环绕球体，
图36.35:x2+y2+（z-1）2=1在xy平面上的赤平投影。 根据赤平投影。见图36.36。一个简单的例子以一条线为例，得到一个圆作为它的紧化。亚历山德罗夫紧致是这些简单结构的概括。 定义36.32。设（e，o）为局部紧凑空间。设ω为不在e中的任何点，设eω=eω。定义族oω，如下： oω=o（e−k）ωk在e中压缩。 这对（eω，oω）称为（e，o）的亚历山德罗夫紧化（或单点紧化）。见图36.37。 下面的定理表明（eω，oω）确实是一个拓扑空间，并且是紧的。 定理36.36。设e为局部紧拓扑空间。e的亚历山德罗夫紧化eω是一个紧空间，因此e是eω的一个子空间，如果e不紧，
那么e=eω。 证据。证明Oω是一个开放集族并不困难，但有点繁琐。详细信息见Munkres[127]或Schwartz[146]。让我们证明eω是紧致的。 对于eω的每一个开盖，（ui）i∈i，由于ω必须被覆盖，所以形式上有一些ui0 ui0=（e−k0）ω 其中k0在e中是紧的，考虑到族，（vi）i∈i，定义如下： vi=ui，如果ui∈o， vi=e−k，如果ui=（e−k）ω，
36.6。二可数和可分空间
图36.36:xy平面如何围绕以（0,0,1）为中心的单位球体进行包裹的四级图解。完成后，除点（0,0,2）外，所有球体都被覆盖。 其中k在e中是紧的。那么，由于每个k在e中是紧的，因此在e中是闭的（因为e是Hausdorff），e−k是开的，并且每个vi是e的开子集。此外，族（vi）i∈（i−i0）是k0的开盖。由于k0是紧的，所以k0有一个有限的开子超，（vj）j∈j，因此，（uj）j∈j i0是eω的有限开盖。 让我们证明eω是hausdorff。在任意两点上，a，b∈eω，如果a，b∈e都是，因为e是hausdorff，而o中的每一个开集都是oω中的一个开集，存在不相交的开集，u，v（在o中），这样a∈u和b∈v。如果b=ω，因为e是局部紧集，有一个紧集k，包含一个开集u，包含a，然后，u和v=（e−k）ω是不相交的开集（在oω中），这样a∈u和b∈v。 空间e是eω的一个子空间，因为对于每一个开集，u，在oω中，u∈o和e u=u在e中是开的，或者u=（e−k）ω，其中k在e中是紧的，因此u e=e−k在e中是开的，因为k在e中是紧的，因此是闭的（因为e是豪斯道夫）。最后，如果e不是紧致的，对于e的每个紧致子集k，e−k是非空的，因此，对于每个开集，u=（e−k）ω，包含ω，我们得到u e=6∅，
这表明ω∈e，因此，e=eω。 36.6第二可数和可分空格 在研究曲面和流形时，拓扑的一个重要性质是存在可数基础。事实上，除其他外，这种性质保证了流形三角化的存在，以及流形可度量的事实。
图36.37：与xy平面的亚历山德罗夫紧致有关的两种开放集。第一类开放集不包括ω，即北极，而第二类开放集包含ω。 定义36.33。拓扑空间e如果有一个拓扑的可数基，即如果有一个开集的可数族，（ui）i≥0，使得e的每个开集都是开集ui的联合，则称为第二可数空间。 可以很容易地看出，Rn是第二可数的，更普遍地说，有限维的每一个赋范向量空间都是第二可数的。更一般地说，度量空间只有在可分离的情况下才是次可数的，这是一个非常有用的性质，适用于我们在实践中要考虑的所有空间。 定义36.34。拓扑空间e如果包含可数子集，则它是可分离的。
密度为x的s，即s=e。
注意，根据36.4号命题，当且仅当e的每个非空开子集包含s的某些元素时，e的子集s在e中稠密。
（度量）空间r是可分离的，因为q是r的可数密集子集。同样，c是可分离的。通常，qn在rn中是稠密的，所以rn是可分离的，同样，r（或c）上的每个有限维赋范向量空间都是可分离的。对于度量空间，我们有以下有用的结果。
36.37号提案。如果e是一个度量空间，那么e是第二个可数iff e是可分离的。
36.6。二可数和可分空间
证据。如果b=（bn）是e拓扑的可数基础，那么对于通过在bn中选取点sn得到的任何集合s，由于e的每个非空开子集u都是bn的一些的并集，因此交点u s是非空的，因此s在e中是稠密的。
相反，假设e中有一个稠密的可数子集s=（s n），我们认为开球b0（sn，1/m）（m∈n，m>0）的可数族b是e拓扑的基础，对于每个x∈e和每个r>0，都有一些m>0，这样1/m
(1) 紧凑，有一个开子集的序列u u和（u n）n≥e0，这样对于所有的un=sn≥0 un.n∈n，un un+1，un是 N N+1 N≥0 (2) 空间e是e的紧子集的可数族的联合。 (3) 空间e是可分离的。 证据。我们表明（1）意味着（2），（2）意味着（3），（3）意味着（1）。显然，（1）意味着
（2）由于联合国是一个契约。 如果（2）成立，那么对于一些紧凑的子集kn，e=sn≥0 kn。根据36.38命题，每个紧子集kn是可分离的，所以让sn是kn的可数密集子集，然后 s=sn≥0 sn是e的可数密集子集，因为
因此（3）成立。 如果（3）成立，让S=sn是e的可数密集子集。根据命题36.37，空间e有开集的可数基础b。由于e是局部紧的，对于每一个x∈e，都有一个包含x的紧邻域wx，根据36.8，有一些指数n（x），使得x∈on（x）wx。由于wx是一个紧凑的邻域，我们推断（x）是紧凑的。因此，存在一个由开放子集oi组成的b的子族，使得oi是紧凑的，这是e拓扑的可数基础，因此我们可以假设我们将注意力限制在这个基础上。我们通过归纳法定义e的开子集的序列（un）n≥1，如下：设置u1=o1，并让
un+1=on+1 vr（un）
其中，选择r>0，使得vr（un）是紧凑的，这在36.35号提案中是可能的。我们立即检查联合国是否满足36.40号提案（1）。 也可以证明，如果e是具有可数基的局部紧空间，那么eω也具有可数基（实际上是可度量的）。 我们还有以下财产。 36.41号提案。在给定第二可数拓扑空间e的情况下，e的每一个开覆盖（ui）i∈i都包含一些可数子覆盖。 证据。设（on）n≥0为拓扑的可数基础。然后，包含在某些UI中的所有集合可以排列成一个可计数的子序列，（Ωm）m≥0，of（on）n≥0，对于每个Ωm，都有一些这样的uim，即Ωm uim。此外，每一个UI都是若干组的联合，因此，每一个a∈e都属于某一组的联合，这表明（Ωm）m≥0是（ui）i∈i的可数开子覆盖。 作为36.41命题的直接推论，局部连通的第二可数空间具有可数的多个连通分量。
36.7连续压实度 对于一般的拓扑豪斯道夫空间E，紧性的定义依赖于有限覆盖的存在。然而，当e有可数基或是度量空间时，我们可以用序列来定义紧性的概念。为了理解这是如何做到的，我们需要首先定义累积点。 定义36.35。给定拓扑豪斯多夫空间，e，给定e中点的任何序列（xn），如果每个开集u（包含l）包含无穷多n的xn，则点l∈e是序列（xn）的聚集点（或簇点）。见图36.38。
图36.38：空间e是r2的封闭有界粉色子集。序列（Xn）有两个累积点，一个用于子序列（X2n+1），另一个用于（X2n）。 显然，如果l是序列的极限（xn），那么它是一个累积点，因为每个包含a的开放集u都包含所有xn，有限多n除外。 对于第二可数空间，我们可以给出积累点的另一个特征。 36.42号提案。给定第二个可数拓扑豪斯道夫空间，e，a点，l，是序列的一个累积点，（xn），iff l是某些子序列的极限，（xnk），of（xn）。 证据。显然，如果l是（xn）的某个子序列（xnk）的极限，则它是（xn）的累积点。 相反，让（uk）k≥0是包含l的开集序列，其中每个uk都属于e的可数基础，并让vk=u1··uk。对于每k≥1，我们可以找到一些nk>nk−1，这样xnk∈vk，因为l是（xn）的累积点。现在，由于每个包含l的开集都包含一些uk0，并且由于xnk∈uk0对于所有k≥0，序列（xnk）具有极限l。 注：36.42号提案也适用于公制空间。 作为36.42命题的一个例子，让（xn）是序列（1、−1,1、−1，…）。该序列有两个累积点，即1和−1，因为（X2n+1）=（1）和（X2n）=（−1）。 在第二个可数豪斯道夫空间中，紧性可以用累积点来表示（对于度量空间也是如此）。 36.43号提案。第二个可数拓扑豪斯多夫空间e是紧的，如果e的每个序列（xn）在e中都有一些聚集点。 证据。假设每个序列（xn）都有一些累积点。设（ui）i∈i是e的一个开盖，在36.41命题中，有一个可数开子超，（on）n≥0，对于e，如果e不被（on）n≥0的任何有限子超覆盖，我们可以通过归纳法定义一个序列，（xm）： 设X0是任意的，对于每一个m≥1，设Xm是e中的某个点，而不是O1···········om，因为O1·································实际上，对于每一个l∈e，由于（on）n≥0是e的一个开盖，有一些om使得l∈om，并且通过构造，每一个n≥m+1的xn不属于om，这意味着xn∈om仅为有限的多个n和l不是一个累积点。见图36.39。
图36.39：空间E是线Y=-1上方的开口半平面。由于e不紧凑，我们归纳地建立了一个序列（xn），它在e中没有积累点。注意xn的y坐标接近无穷大。 相反，假设e是紧凑的，让（xn）是任意序列。如果l∈e不是序列的聚集点，那么有一些开放集ul，这样l∈ul和xn∈ul仅为有限多n。因此，如果（xn）没有任何聚集点，那么族，（ul）l∈e是e的开盖，并且由于e是紧的，它有一些有限的开子代。Ver，（xn∈ul只表示有限的manyul）l∈j，其中j是n的有限子集，并且由于j是有限的，e。但是everyxn∈sl∈juull只表示有限的manyl∈j，这与（ul）l∈j是e的开盖这一事实相矛盾，因此包含了所有的xn。因此，（xn）有一些积累点。见图36.40。 n 图36.40：空间e——R2的闭合三角形区域。给定e中红色点的序列（xn），如果序列没有累积点，那么1≤i≤8的每个li都不是累积点。但如图所示，l8实际上是（xn）的累积点。 评论：
- 通过结合命题36.42和36.43，我们发现第二个可数豪斯道夫空间E是紧致的，如果每个序列（xn）都有收敛子序列（xnk）。换句话说，我们说第二个可数豪斯多夫空间E是紧的，如果它是顺序紧的。
- 值得注意的是，证明E是紧的，那么每个序列都有一个聚集点，可以容纳任意的紧空间（证明不使用拓扑的可数基）。反过来也适用于度量空间。我们将证明这一逆，因为它是度量空间的一个主要属性。 给定一个度量空间，其中每个序列都有一个积累点，我们首先证明了勒贝格数的存在性。 引理36.44。给定一个度量空间，e，如果每个序列（xn）都有一个聚集点，对于每个开盖，（ui）i∈i，of e，有一些δ>0（a lebesgue number for（ui）i∈i）这样，对于每个开球，半径，有一些开子集，ui，这样。见图36.41
图36.41：空间e——R2的闭合三角形区域。它的开盖是（ui）8i=1。Lebesque数字是标记为1到14的橙色小球的半径。此半径的每个开放球都完全包含在至少一个UI中。例如，球2包含在U1和U2中。 证据。如果没有具有上述性质的δ，那么对于每一个自然数n，都会有一个开球b0（an，1/n），它不包含在开盖的任何开集ui中，（ui）i∈i。但是，序列，（an），有一些聚集点a，并且因为（ui）i∈i是e的开盖，有一些用户界面，比如∈ui。由于ui是开放的，所以ui中包含一些中心A和半径的开放球。现在，由于a是序列的一个累积点，（a n），每个包含a的开集都包含无穷多n的a，因此，有一些n足够大，以便 2和， 这意味着 ， 矛盾。 在前面的评论中，由于36.43命题的证明意味着在紧拓扑空间中，每个序列都有一个积累点，根据引理36.44，在紧度量空间中，每个开盖都有一个勒贝格数。这个事实可以用来证明紧度量空间的另一个重要性质，一致连续性定理。 定义36.36。给定两个度量空间（e，de）和（f，df），函数f:e→f是一致连续的，如果对于每个>0，有一些η>0，这样，对于所有a，b∈e， 如果de（a，b）≤η，则 见图36.42和36.43。
图36.42：实值函数f（x）=√x在（0，∞）上均匀连续。修理。如果x值位于玫瑰色的η条内，则y值始终位于桃条内。 正如我们前面看到的，度量空间上的度量是一致连续的，而规范度量空间上的范数是一致连续的。 一致连续性定理可以表述为： 定理36.45。给定两个度量空间（e，de）和（f，df），如果e是紧的，如果f:e→f是连续函数，则f是一致连续的。 证据。考虑任何>0的情况，让（是f的开盖，由半径为/2的开球组成）。因为f是连续的，所以家庭， ， 是e的开盖。由于e是紧的，根据引理36.44，有一个勒贝格数，δ，这样对于每个开球，半径为η≤δ的b0（a，η），那么2）），对于一些y∈f。特别是对于任何a，b∈e，这样de（a，b）≤η=δ/2，我们有a，b∈b0（a，δ），因此，2）），这意味着即f（a），f（b）∈b0（y，/2）。 但是，然后，根据需要。 我们现在证明了另一个引理，需要用积累点来获得度量空间中紧性的特征。
图36.43：实值函数f（x）=1/x在（0，∞）上不是均匀连续的。修理。为了使y值位于桃epsilon条带内，eta条带的宽度减小为x→0。 引理36.46。给定一个度量空间，e，如果每个序列（xn）都有一个聚集点，那么对于每个序列，都有一个有限的开放覆盖，由开放的半径球构成。 证据。设a0为任意点，则证明了引理。否则，假设已经定义了一个序列（a0，a1，…，an），这样 不包括e。那么，有一些a+1不在）和
在这种情况下，证明引理，或者我们得到一个序列（a0，a1，…，an+1），这样 ）不包括E。如果这个过程一直持续下去，我们得到一个 无限序列，（a n），这样对于所有m=6N。因为e中的每个序列都有一个积累点，所以序列（an）有一个积累点，a。那么，对于无穷多n，我们必须有3，因此，对于至少两个不同的自然数p，q，我们必须有3，这意味着d（ap，aq）。小于 3，与M=6 N的情况相矛盾。见图36.44。因此，一定有一些
定义36.37。公制空间e被称为预压缩（或完全有界），如果每大于0，有一个有限的开放覆盖，由开放的半径球。 我们现在获得了Weierstrass–Bolzano地产。
小精灵。完备度量空间与紧性
图36.44：设e为r2的桃区。如果e不被半径为的有限的橙色球集合所覆盖，则序列（an）的点之间至少间隔一段距离。这与a是a的积聚点这一事实相矛盾，如图（ii）中梅花盘的扩大所示。 定理36.47。度量空间e是紧凑的，如果每个序列（xn）都有一个累积点。 证据。我们已经观察到36.43命题的证明表明，对于任何紧空间（不一定是度量空间），每个序列（xn）都有一个累积点。相反，让e是一个度量空间，并假设每个序列（xn）都有一个累积点。对于任何开盖，（ui）i∈i对于e，我们必须用引理找到e的有限开子超。 36.44，有一些δ>0（对于（ui）i∈i）的勒贝格数，这样，对于每个开球， ，对于半径，有一些开放的子集，uj，这样。作者：Lemma 36.46，对于每一个δ>0，有一个有限的开盖，即e的b0（a0，δ）··b0（an，δ），半径为δ的开球。但从前面的陈述来看，每个开球b0（ai，δ）都包含在一些开球uji中，因此，uj1，…，ujn是e的开盖。 36.8完整的度量空间和紧凑性 利用柯西序列得到了紧度量空间的另一个非常有用的特征。这种特征在分形几何（以及其他领域）中非常有用。首先回顾一下柯西序列和完全度量空间的定义。 定义36.38。给定一个度量空间，（e，d），一个序列，（xn）n∈n，在e中是一个柯西序列，如果以下条件成立：对于每个>0，有一些p≥0，这样，对于所有m，n≥p，那么。 如果（e，d）中的每个柯西序列都收敛，我们就说（e，d）是一个完整的度量空间。 首先，让我们展示以下建议： 提案36.48。给定一个度量空间，e，如果一个柯西序列，（xn）有一个积累点，a，那么a是序列的极限，（xn）。 证据。因为（xn）是一个柯西序列，对于每>0，有一些p≥0，这样，对于所有m，n≥p，那么2。因为a是（xn）的累积点，对于无穷多的n，我们有2个，因此，对于至少一些n≥p，我们有，对于所有m≥p，
这表明a是序列的极限（xn）。 我们现在可以证明下面的定理。 定理36.49。度量空间e是紧凑的，如果它是预压缩的和完整的。 证据。让我们紧凑一点。对于每>0，半径的所有开球族都是e的一个开盖，由于e是紧凑的，所以有一个有限的次曲面，）。 e通过半径为的开放球。因此，e是预压缩的。由于e是紧的，根据定理36.47，每个序列（xn）都有一个积累点。因此，每个柯西序列（xn）都有一个积累点，a，根据36.48，a是（xn）的极限。因此，e是完整的。 现在假设e是预压缩的和完整的。我们证明了每个序列（xn）都有一个累积点。根据定理36.47的另一个方向，这表明e是紧的。对于任意序列（xn），我们构造一个（xn）的柯西子序列（yn），如下：由于e是预压缩的，假设=1，存在半径为1的开球对e的有限覆盖，u1。因此，在盖U1中的一些开放球BO0包含序列（XN）中无限多的元素。设y0为bo0中（xn）的任意元素。通过归纳，假设一个开放球序列（，已经被定义，这样每个球都有半径，包含序列（xn）中无限多的元素，并且包含序列（xn）中的一些yi，这样 ， 对于所有i，0≤i≤m−1。见图36.45。然后，因为e是预压缩的，所以有一些e的有限覆盖，um+1，由半径为的开放球，因此，开放球。 小精灵。完备度量空间与紧性 因此，一些开球，在盖子中，um+1，包含了序列（xn）中无限多的元素，我们让ym+1是（，的任意元素。因此，我们通过归纳一个序列（yn），它是（xn）的一个子序列，并且这样 ， 对于所有的i。然而，对于所有的m，n≥1，我们有 ， 因此，（yn）是一个柯西序列，因为e是完整的，序列（yn）有一个极限，并且由于它是（xn）的一个子序列，序列（xn）有一些积累点。
图36.45：柯西序列（yn）构建的前三个阶段，其中e是r2的粉红色正方形区域。最初的序列（XN）用李子色的点表示。图（i.）包括半径为1的球体E，并显示了BO0和Y0的选择。图（ii.）包括半径为1/2的圆球的BO0，并选择黄色圆球作为点Y1的BO1。图（iii.）用半径为1/4的圆球覆盖，选择浅桃圆球作为点Y2。 完备度量空间的另一个有用性质是，如果一个子集是完备的，那么它就是封闭的。这在以下两个命题中显示。 36.50号提案。设（e，d）为度量空间，设a为e的子集。如果a是完整的（这意味着一个柯西元素序列中的每个元素都收敛到a的某个点），则a在e中闭合。
证据。假设x∈a，根据36.13，有一个点的序列（a）收敛到x，因此（a）在e中是一个柯西序列，在a中是一个柯西序列（因为a∈a代表所有n）。由于a是完全的，序列（an）有一个极限a∈a，但由于e是一个度量空间，它是hausdorff，所以a=x，这表明x∈a；也就是说，a是闭合的。 36.51号提案。设（e，d）为度量空间，设a为e的子集。如果e是完全的，如果a在e中闭合，则a是完全的。 证据。设（a n）为a中的一个柯西序列，（an）也是e中的一个柯西序列，由于e是完全的，所以它有一个极限x∈e，但是a∈a代表所有n，因此由命题
36.13我们必须有x∈a，因为a是封闭的，实际上x∈a，证明a是完整的。 任意度量空间（e，d）不一定是完整的，但有一个度量空间（e，e）的构造使得eb是完整的，并且有一个连续（内射）距离保持映射，从而使得_（e）在eb中是密集的。这是用柯西序列从有理数集q构造实数集r的一个推广。这种构造可以立即适应赋范向量空间（e，k k k），将（e，k k）嵌入到完全赋范向量空间（e，b k keb）（banach空间）中。这种结构在积分理论中被大量使用，其中e是一组函数。 36.9公制空间的完成 为了证明度量空间（e，d）的完备（e，b-db）的一种唯一性结果，我们需要关于一致连续函数展开的以下结果。
回想一下，e0在e iff e0=e中是稠密的，因为e是一个度量空间，根据36.13，这意味着对于每一个x∈e，都有一些序列（xn）收敛到x，其中xn∈e0。 定理36.52。设e和f为两个度量空间，设e0为e的稠密子空间，设f0:e0→f为连续函数。如果f0是均匀连续的，如果f是完整的，那么有一个唯一的均匀连续函数f:e→f扩展f0。 证据。我们遵循施瓦兹的证明；见施瓦兹〔145〕（第十一章，第3节，定理1）。 第1步。我们首先构造一个扩展f0的函数f:e→f。由于e0在e中是稠密的，对于每一个x∈e，都有一些序列（xn）收敛到x，其中xn∈e0。那么序列（xn）是e中的柯西序列，我们认为（f0（xn））是f中的柯西序列。 索赔证明。对于每一个>0，由于f0是均匀连续的，所以有一些η>0使得对于所有（y，z）∈e0，如果d（y，z）≤η，那么。由于（xn）是一个带有xn∈e0的柯西序列，存在一个整数p>0，如果m，n≥p，则d（xm，xn）≤η，从而证明（f0（xn））是f中的柯西序列。
因为f是完整的，并且（f0（xn））是f中的柯西序列，所以序列（f0（xn））收敛到f的某个元素；用f（x）表示这个元素。 第2步。现在让我们证明f（x）不依赖于收敛到x的序列（xn）。假设（）和（）是e0中收敛到x的两个元素序列。然后混合序列
也收敛到x。它遵循以下顺序：
是f中的一个柯西序列，由于f是完全的，它收敛到f的某个元素，这意味着序列（））和（））收敛到相同的极限。作为总结，我们定义了一个函数f:e→f f（x）=lim f0（xn）。 N7→∞ 对于收敛到x的任何序列（xn），用xn∈e0。 第3步。函数f扩展f0。因为每个元素x∈e0是所有n≥0的常数序列（xn）的极限，根据定义f（x）是序列（f0（xn））的极限，它是具有f0（x）值的常数序列，所以f（x）=f0（x）；也就是说，f扩展f0。 第4步。我们现在证明f是一致连续的。因为f0是均匀连续的，对于每一个>0，有一些η>0，这样如果a，b∈e0和d（a，b）≤η，那么 . 考虑任意两点x，y∈e，使d（x，y）≤η/2。我们声称 这表明f是均匀连续的。 设（xn）是e0中收敛到x的点的序列，设（yn）是e0中收敛到y的点的序列，通过三角形不等式， d（xn，yn）≤d（xn，x）+d（x，y）+d（y，yn）=d（x，y）+d（xn，x）+d（yn，y）， 由于（x n）收敛到x，（yn）收敛到y，有一个整数p>0，这样对于所有n≥p，我们有d（xn，x）≤η/4和d（yn，y）≤η/4，因此 . 由于我们假设d（x，y）≤η/2，我们得到d（x n，yn）≤η，对于所有n≥p，通过f0的均匀连续性，我们得到
对于所有n≥p，由于f上的距离函数也是连续的，并且由于（f0（xn））收敛到f（x）和（f0（yn））收敛到f（y），我们推断序列（d（f0（xn），f0（yn））收敛到d（f（x），f（y））。这意味着，根据需要。 第5步。它仍然需要证明f是唯一的。由于e0在e中是稠密的，对于每一个x∈e，都有一些序列（xn）收敛到x，其中xn∈e0。既然f扩展了f0，既然f是连续的，我们得到 f（x）=lim f0（xn），n7→∞ 它只依赖于f0和x，表明f是唯一的。 注：如果我们忽略f是完全的假设，或者忽略f0是一致连续的假设，就可以证明这个定理不再成立。 例如，如果e0=6e，如果我们让f=e0和f0为同一函数，很容易看出f0不能从e扩展到e0的连续函数（对于任何x∈e−e0，f0的任何连续扩展f都满足f（x）=x，这是荒谬的，因为x/∈e0）。 如果f0是连续的但不是均匀连续的，则可以使用 E＝r＝r {{ }，成为度量空间，E0= R，F＝R，F0恒等函数；详情见施瓦兹〔145〕（第十一章，第3节，第134页）。 定义36.39。如果（e，de）和（f，df）是两个度量空间，那么函数f:e→f是距离保持，或者是一个等值线，如果 df（f（x），f（y））=de（x，y），对于所有x，y∈e。 观察等距测量必须是内射的，因为如果f（x）=f（y），那么df（f（x），f（y））=0，并且因为df（f（x），f（y））=de（x，y），我们得到de（x，y）=0，但是de（x，y）=0意味着x=y。同样，等距测量是均匀连续的（因为我们可以选择以满足均匀连续性的条件）。然而，等距测量不一定是主观的。 我们现在给出一个度量空间的完备构造。这个构造只是用柯西序列从q到r的经典构造的一个推广。 定理36.53。设（e，d）为任意度量空间。有一个完整的度量空间（e，b db），称为（e，d）的完成，以及一个距离保持（一致连续）映射，：e→eb，使得（e）在eb中密集，并且以下扩展属性保持：对于每个完整的度量空间f和每个一致连续函数f:e→f，有一个独特的均匀连续函数，
如下图所示。 γ E@@@@@@@@@@/eb fb f. 因此，对于任意两个完成物b和，在wen和（e2，d2）之间都有一个独特的双目标等距线。 证据。考虑e中所有柯西序列（xn）的集合e，并定义e上的关系，如下所示： （xn）（yn）iff lim d（xn，yn）=0.N7→∞ 很容易检查是e上的等价关系，并让eb=e/是商集，即等价类模的集。我们的目标是证明我们可以给电子束一个距离，使它成为一个完全的度量空间，满足定理的条件。我们分几个步骤进行。 第1步。首先，让我们构造出函数_：e→eb。对于每一个a∈e，我们都有一个常数序列（a n），使得所有n≥0的a=a，这显然是一个柯西序列。当所有n的n的n=a时，设（a）∈eb为常数序列（an）的等价类[（an）]。根据的定义，等价类（a）也是收敛到a的所有序列的等价类。由于度量空间为Hausdorff，映射A 7→（a）是内射的，因此如果a=6 b，则收敛到a的序列不收敛到b。在eb上定义了距离后，我们将检查a是否为等距测量。 第2步。现在让我们在电子商务上定义一个距离。设α=[（an）]和β=[（bn）]为e中柯西序列的两个等价类，三角形不等式表示d（am，bm）≤d（am，an）+d（an，bn）+d（bn，bm）=d（an，bn）+d（am，an）+d（bm，bn） d（an，bn）≤d（an，am）+d（am，bm）+d（bm，bn）=d（am，bm）+d（am，an）+d（bm，bn）， 这意味着 | d（am，bm）−d（an，bn）≤d（am，an）+d（bm，bn）。 因为（an）和（bn）是柯西序列，所以（d（an，bn））是非负实数的柯西序列。因为r是完整的，所以序列（d（an，bn））有一个极限，我们用db（α，β）表示；也就是说，我们设置 . 第3步。让我们检查一下）不依赖于在等价类α和β中选择的Cauchy序列（an）和（bn）。 如果（）和（），那么lim=0，lim=0，并且 自从
和
我们有
所以我们有了Lim）。因此，d（α，β）确实定义得很好。 第4步。让我们检查一下，确实是一个等距测量。 给定eb中的任意两个元素，因为它们是常数序列（a n）和（bn）的等价类，因此，对于所有n，an=a和bn=b，对于所有n，d（an，bn））和d（an，bn）=d（a，b）的常数序列（d（an，bn））收敛到d（a，b），因此根据定义 b），这表明a是一个等距测量。 第5步。让我们验证一下d是eb上的度量。根据定义，很明显，db（β，α）。如果α和β是两个不同的等价类，那么对于等价类α中的任何柯西序列（an）和等价类β中的任何柯西序列（bn），序列（an）和（bn）是不相等的，这意味着limn7→∞d（an，bn）=06，即db（α，β）=06。显然，db（α，α）=0。 对于任何等价类α=[（an）]、β=[（bn）]和γ=[（cn）]，我们得到三角形不等式d（an，cn）≤d（an，bn）+d（bn，cn）。 因此，通过距离函数的连续性，通过传递到极限，我们得到 ， 这是db的三角形不等式。因此，db是eb上的距离。 第6步。让我们证明（e）在eb中是致密的。对于任何α=[（an）]，设（xn）为常数序列，这样xk=an表示所有k≥0，因此，q5（an）=[（xn）]。然后我们有了 . 因为（a n）是柯西序列，所以supp，q≥n d（ap，aq）趋向于0，因为n趋向于无穷大，所以 lim d（α，ω（an））=0， N7→∞ 这意味着序列（a（an））收敛到α，而a（e）在eb中确实很密集。 第7步。最后，让我们证明度量空间eb是完整的。 设（αn）为电子束中的柯西序列。由于ω（e）在eb中是稠密的，对于每N>0，有一个∈e，这样 . 自从 ， 因为（αm）是柯西序列，所以（a（an）），并且由于a是等距测量，所以序列（an）是e中的柯西序列。让α∈eb是（an）的等价类。自从 db（α，（an））=lim d（am，an）m7→∞ 并且（a n）是一个柯西序列，我们推断序列（η（an））收敛到α，并且由于d（αn，ω（an））≤1/n对于所有n>0，序列（αn）也收敛到α。 第8步。让我们证明扩展属性。设f为任意完备的度量空间，设f:e→f为任意一致连续函数。函数:e→eb是一个等距线，是e与其图像（e）之间的双射，因此其逆−1：（e）→e也是一个等距线，因此是均匀连续的。如果我们让g=f−1，那么g：（e）→f是均匀连续函数，并且）在eb中是稠密的，因此根据定理36.52，有一个唯一的均匀连续函数f:e→f扩展g=f−1；见下图： α1 e ro rrrrrrrfr（rerr）drddrrddrgdrdrd”（f fbeb 这意味着fb （e）=f −1， 这意味着 （fb（e））=f， 如下图所示： γ E@@@@@@@@@@/eb fb f 如果h:eb→f是任何其他均匀连续函数，如f=h，则是一个均匀连续函数，延伸g，根据定理 36.52，我们有h=f，所以f确实是独一无二的。 第9步。完成的唯一性（e，b db）到一个双目标等值线。 让（eb1，db1）和（）是（e，d）的任意两个完成形式。然后我们有两个均匀连续的等轴测图，分别是：:e→e1和:e→eb2，因此，根据唯一的延伸性质，存在唯一的均匀连续的地图b b b，这样，下面的图表就通勤了： 1 E>_/EB1C2@@1@@@@@@/_C1
>
EB2。 因此，我们有以下交换图： EB2 ？1～？ ~~~ ~~ ~（2）2 e c2 e@@1@@@@@@/eb c1 EB2。 但是，id和id是一致连续的函数，使得下面的图表可以通勤 1 E>>1>>>>>>>>/eb id1 eb1？？2？？？？？？？？/同上2 EB1， 因此，根据扩展的唯一性，我们必须 而且。 这证明了标准的相互反比。现在，既然，我们已经 ， 并且，因为−1和_2是等距图，所以也是）。但我们之前看到的是）的均匀连续延伸密集，所以对于任何两个元素）和（bn）都是在（e）中收敛到α和β的序列，我们有 ， 通过达到极限 ， 这表明这是一个等距测量（类似地，是一个等距测量）。 评论：
- 除了步骤8和步骤9之外，定理36.53的证明是施瓦兹[ 145 ]中给出的证明（第十一章，第4节，定理1），Kormogorov和福明〔103〕（第2章，第7节，定理4）。
- 电子束的构造依赖于R的完备性，因此它不能用于从Q构造R。但是，可以修改此构造以从Q构造R。 我们在第36.12节中表明，定理36.53给出了赋范向量空间的完备构造。
第36.10条。收缩映射定理 36.10收缩映射定理 如果（e，d）是一个非空的完全度量空间，则每个图，f:e→e，其中有一些k，使得0≤k<1和 d（f（x），f（y））≤kd（x，y） 对于所有的x，y∈e，都有一个非常重要的性质，即它有一个唯一的不动点，也就是说，有一个唯一的，a∈e，这样f（a）=a。如上所述的映射称为收缩映射。此外，收缩映射的不动点可以计算为快速收敛序列的极限。 利用收缩映射的不动点性质，给出了一些重要的分析定理，如隐函数定理和某些微分方程解的存在性。它还可以用来表示迭代函数系统定义的分形集的存在性。由于证明非常简单，我们证明了收缩映射的不动点性质。首先，观察收缩映射是（一致的）连续的。 36.54号提案。如果（e，d）是一个非空的完整度量空间，那么每个收缩映射f:e→e都有一个唯一的固定点。此外，对于每个X0∈e，定义序列（Xn），使Xn+1=f（Xn），序列（Xn）收敛到f的唯一不动点。 证据。首先，我们证明f至多有一个固定点。实际上，如果f（a）=a和f（b）=b，因为 d（a，b）=d（f（a），f（b））≤kd（a，b） 并且0≤k<1，我们必须有d（a，b）=0，也就是说，a=b。 接下来，我们证明（xn）是一个柯西序列。注意 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 因此，我们
我们得出结论，当n为无穷大时，d（xn+p，xn）收敛到0，这表明（xn）是一个柯西序列。因为e是完整的，所以序列（xn）有一个极限，a。因为f是连续的，所以序列（f（xn））收敛到f（a）。但是xn+1=f（xn）收敛到a，所以f（a）=a，f的唯一固定点。 注意，无论序列（xn）的起点x0是如何选择的，（xn）都收敛到f的唯一不动点。此外，收敛速度很快，因为 . 度量空间的紧子集之间的Hausdorff距离提供了一个非常好的例子，说明了刚刚提出的关于完备度量空间和紧度量空间的一些定理。 定义36.40。给定一个度量空间（x，d），对于任何子集，a x，对于任何0，将a的-hull定义为集合 . 见图36.46。给定任意两个非空有界子集，x的a，b，定义d（a，b），a和b之间的hausdorff距离，由 ）。
图36.46:r2多边形区域a的外壳 注意，由于我们考虑的是非空有界子集，d（a，b）是定义良好的（即，不是无限的）。然而，d不一定是距离函数。如果我们把注意力限制在x的非空紧子集上，这是一个距离函数（实际上，它也是封闭和有界子集上的一个度量）。我们让k（x）表示x的所有非空紧子集的集合。值得注意的事实是d是k（x）上的距离，如果x是完整的或紧的，那么k（x）也是。以下定理摘自埃德加[56]。 第36.10条。收缩映射定理 定理36.55。如果（x，d）是度量空间，那么x的非空紧子集集k（x）上的Hausdorff距离d是距离。如果（x，d）是完整的，那么（k（x），d）是完整的，如果（x，d）是紧凑的，那么（k（x），d）是紧凑的。 证据。因为（非空）紧集是有界的，所以d（a，b）是定义良好的。显然d是对称的。假设d（a，b）=0。每一次），也就是说 对于每一个a∈a，都有一些b∈b，因此，a b。
因为命题36.26意味着b是封闭的，b=b，我们有a b。同样地，b a，因此，a=b。显然，如果a=b，我们有d（a，b）=0。这还需要证明三角形不等式。假设这个和那个。我们必须证明这一点。如果我们能证明这一点，这将是成功的）并且 ）根据）和）的假设和定义。然后 ， 既然三角形不等式的一个基本应用意味着 ， 我们得到 . 见图36.47。
图36.47：假设a是粉红色的小正方形，b是r2中的紫色小三角形。长春花椭圆形C包含在 同样，条件（并意味着 . 因此 ， 因此，三角形不等式如下。 接下来，我们需要证明，如果（x，d）是完整的，那么（k（x），d）也是完整的。首先我们证明，如果（an）是豪斯道夫度量中收敛到非空紧集a的非空紧集序列，那么 a=x∈x有一个序列，（xn），其中xn∈a收敛到x。 实际上，如果（xn）是一个xn∈a收敛到x和（an）收敛到a的序列，那么，对于每个>0，都有一个xn，这样2，并且有一个 即2，因此，表示x∈a。由于a是紧的，所以它是闭的，而x∈a。见图36.48。
图36.48：设（an）为平行四边形的序列，它们会聚成一个大的淡黄色平行四边形。图（ii.）扩展了虚线区域并显示了原因。 相反地，由于（a n）收敛于a，对于每x∈a，对于每n≥1，有一些xn∈an使得d（xn，x）≤1/n，并且序列（xn）收敛于x。 现在让（an）是k（x）中的柯西序列。可以证明（a）收敛于集合 a=x∈x有一个序列，（xn），其中xn∈a收敛到x， 这是一个非空的和紧凑的。为了证明A是紧致的，我们证明了它是完全有界的和完全的。详情见埃德加[56]。
最后，我们需要证明，如果（x，d）是紧的，那么（k（x），d）是紧的。既然我们已经知道（k（x，dx），d）是，这并不难。）是完全的，如果（x，d）是，就足以证明（k（x），d）是完全有界的，如果（ 根据定理36.55和36.54，可以用收缩映射的不动点来定义X的一些非空紧子集。这可以通过迭代函数系统来实现，从而产生大量的分形。然而，我们将省略这个主题，而将读者引向埃德加[56]。 在第37章中，我们用定理36.55和36.54说明了迭代函数系统如何定义某些分形。 在考虑微分之前，我们需要考虑线性映射的连续性。 36.11连续线性和多线性地图 如果e和f是赋范向量空间，我们首先描述线性映射f:e→f是连续的。 命题36.56.f，以下条件是等价的：对于任何线性映射f:e→ (1) 函数f在0处是连续的。 (2) 有一个常数k≥0，这样， kf（u）k≤k，对于每个u∈e，使kuk≤1。 (3) 有一个常数k≥0，这样， kf（u）k≤kkuk，对于每个u∈e。 (4) 函数f在e的每一点上都是连续的。 kkproof.fuk≤（u）k≤η假设（1）。然后是每一个，然后是1。如果kuk≤1，那么。pickkηu=1K≤>，所以有一些ηk0u，有一些k≤η，所以，η>kfη>（ηu0这样，对于每一个）0K≤这样，if1，即，uη∈，thene，如果 kηkk≤f（u）k≤1， 这意味着kf（u）k≤η−1。因此，（2）保持k=η−1。 对于（2）持有的真主来说，这是微不足道的。ifk≥0.如果uu 6=0=0，那么，根据线性，kuk>0，sincef（0）=0，因此kf（0）k≤kkkk ， 我们有 这意味着 因此，（3）成立。 如果（3）成立，那么对于所有u，v∈e，我们有 k f（v）−f（u）k=kf（v−u）k≤k kkv−uk。 如果k=0，则f为零函数，连续性明显。否则，如果k>0，对于每一个，显然（4）意味着（1），那么，它显示了在每一个u∈e的连续性。
除此之外，36.56号提案表明，如果单位（闭合）球的图像是有界的，则线性映射是连续的。由于连续线性映射满足kf（u）k≤kkuk的条件（对于某些k≥0），因此它也是均匀连续的。表示为if e和lf（eare-normed向量空间，所有连续线性映射的集合；f）.f:e→f是 利用36.56，我们可以定义l（e；f）上的范数，使其成为范数向量空间。第8章（定义8.7）已经给出了这个定义，但是为了方便读者，我们在这里重复它。 定义36.41。给定两个赋范向量空间e和f，对于每个连续线性映射f:e→f，我们将f的算子范数k f k定义为kfk=inf k≥0 kf（x）k≤k k kxk，对于所有x∈e=sup kf（x）k kxk≤1。 从定义36.41，对于每一个连续线性映射f∈l（e；f），我们得到 kf（x）k≤kfkkkxk， 对于每一个x∈e，很容易证明l（e；f）是定义36.41范数下的赋范向量空间。此外，如果g:f→g是连续线性映射，我们有e、f、g是赋范向量空间，f:e→f和 kg fk≤kgkkkfk。 我们现在可以证明，当，那么每一个线性映射f:e e→=fris continuous.n或e=cn时，具有任意一个规范k k1、k k2或 K-κ-κ 36.57号提案。如果e=rn或e=cn，其中任意一个范数k k1、k k2或k k∞，f是任意赋范向量空间，则每个线性映射f:e→f是连续的。 证据。设（e1，…，en）为RN的标准依据（类似的证明适用于CN）。从命题8.3来看，足以证明该命题为规范 Kxk＝max＝{Xi}{ 1 } i＝n}。 我们有， ， 所以， . 通过36.56号提案中用来证明（3）意味着（4），f是连续的。 实际上，我们在定理8.5中证明了，如果e是有限维的向量空间，那么任何两个范数都是等价的，因此它们定义了相同的拓扑。这一事实连同36.57号提案证明了以下内容： 定理36.58。如果e是有限维的向量空间（超过r或c），那么所有规范都是等效的（定义相同的拓扑）。此外，对于任何赋范向量空间f，每个线性映射f:e→f都是连续的。 如果e是无穷维的赋范向量空间，则线性映射f:e→f可能不连续。例如，让e是r上所有多项式的无限向量空间。 k p（x）k=最大p（x）。 0≤x≤1 我们离开是为了证明这确实是一种规范。设f=r，设f:e→f为定义的映射，f（p（x））=p（3）。显然f是线性的。考虑多项式序列 . 很明显，序列pn的极限是零多项式。但是，我们有 ， 序列f（pn（x））发散到+∞。因此，根据36.15（1）号提案，f不是连续的。 我们现在考虑多行地图的连续性。我们显式地处理双线性映射，一般情况下是一个直接的扩展。 命题36.59.e→g，以下条件是等价的：给定赋范向量空间e，f和g，对于任何双线性映射f:e× （1）函数f在h0,0i时是连续的。 2) 有一个常数k≥0，这样， kf（u，v）k≤k，对于所有u，v∈e，使kuk，kvk≤1。 3) 有一个常数k≥0，这样， kf（u，v）k≤kkukvk，对于所有u，v∈e。 4) 函数f在e×f的每个点上都是连续的。 证据。它类似于36.56号提案，在证明（3）意味着（4）时有一点微妙，即需要两个不同的非独立的η。 与必须是一致连续的连续线性映射不同，非零连续双线性映射不是一致连续的。设f:e×f→g为连续双线性映射，使得（un）和（vn）（其中n≥f1）（a，bgiven by）=06，对于一些a∈e和一些b∈f，考虑序列 . 显然 ， 所以limn7→∞kvn−unk=0。另一方面 ， 因此lim=0，这表明f不是均匀连续的，因为如果是这样的话，这个极限是零。 如果e、f和g是赋范向量空间，则表示所有连续双线性映射的集合（e，ff:；ge）×使其成为赋范向量空间。f→g×l2（e，f；g）。利用36.59号提案，我们可以在36.42号定义上定义一个规范。给定赋范向量空间e、f和g，对于每个连续双线性映射f:e×f→g，我们将f的范数kfk定义为 kf k=inf k≥0 kf（x，y）k≤kkxkkk，对于所有x，y∈e=sup kf（x，y）k kxk，kyk≤1。 根据36.41的定义，对于每一个连续双线性映射f∈l2（e，f；g），我们得到 KF（x，y）k≤KFKKXKKYK， 对于所有x，y∈e，很容易证明l2（e，f；g）是定义36.42范数下的赋范向量空间。 给出了双线性映射f:e×f→g，对于每一个u∈e，我们得到一个线性映射，表示为fu:f→g，定义为，fu（v）=f（u，v）。此外，因为 KF（x，y）k≤KFKKXKKYK， 因此，很明显，（u）=fufufu是连续的。然后，我们可以考虑任何u∈e或等价的映射，这样，定义了 ⑨（u）（v）=f（u，v）。 定义一个地图，实际上，很容易显示l2（e，f；g）的线性和连续性，以及l（e；l（f；g））。我们也可以从kk=kfkl返回。因此，（e；l（f f；7→g））至l2（e，f；g）。我们将这一切总结在下面的命题中。 命题36.60.2（e，f；g）到l（e；llet（f；ge，f，g）），定义为每三个赋范向量空间。MApf∈l2（e，f；g），f→7，来自 L ⑨（u）（v）=f（u，v） 是向量空间的同构，而且，k_k=kfk。 作为36.60号命题的一个推论，我们得到了下面的命题，当我们定义二阶导数时，它将是有用的。 命题36.61.f，定义为，对于Everylet e，f是赋范向量空间。从f∈l（e；f）到每u∈e，l（e；f）×e app（f，u）=f（u） 是一个连续双线性映射。 注：如果e和f是非平凡的，则可以看出kappk=1。也可以看出组成 ：L（E；F）×L（F；G）→L（E；G）， 是双线性和连续的。 上述命题和定义归纳为任意n-多行映射，n≥2。36.59号提案以明显的方式延伸到了任意f，但条件（3）变为：n-多行图f:e1×····· En 有一个常数k≥0，这样， kf（u1，…，un）k≤kku1k····kunk，对于所有u1∈e1，…，un∈en。 定义36.42也很容易扩展到 Kfk= INF{K 0±kf（x1，…，xn）k＝kkx1k·kxnk，对于所有XiεEi，1±i±n}＝{kf（x1，…，xn）kxkxnk，…，kxnk＝1 }。 36.60命题也很容易推广，得到了ln（e1，…，en；f）中连续n-多线性映射与 l（e1；l（e2；…；l（en；f））） 36.61号提案的一个明显扩展也成立。 定义36.43.距离的空间a normed向量空间（d（u，v）=kv−uk，称为ae，kk）overbanach间隔符（或c），这是一个完整的度量。 下面的定理是Banach空间理论值得证明的一个重要结果。 定理36.62。如果e和f是赋范向量空间，如果f是Banach空间，那么l（e；f）是Banach空间（带有运算符范数）。 证据。设（f）n≥1为连续线性映射的柯西序列fn:e→f。我们分几个步骤进行。 第1步。定义序列（f n）n≥1的逐点极限f:e→f。 因为（f）n≥1是一个柯西序列，对于每>0，有一些n>0，这样对于所有m，n≥n。由于k k是算符范数，我们推断 u∈e，我们有 对于所有m，n≥n， 也就是说， 对于所有m，n≥n.（1） 如果u=0，那么所有m，n的fm（0）=fn（0）=0，那么序列（fn（0））是f中的一个柯西序列，收敛到0。如果u=06，通过替换，我们看到序列（fn（u））是f中的柯西序列。由于f是完整的，序列（fn（u））有一个极限，我们用f（u）表示。这定义了我们的候选极限函数f f（u）=lim fn（u）。 N7→∞ 这仍然需要证明
- F是线性的。
- f是连续的。
- f是（fn）的极限，用于操作规范。 第2步。函数f是线性的。 回想一下，在赋范向量空间中，固定标量的加法和乘法是连续的（因为ku+vk≤ku k+kvk和kλuk≤λkuk）。因此，根据f的定义，由于fn是线性的，我们有 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 同样地， 网络错误 根据f的定义 =limλfn（u）n7→∞ 根据Fn的线性度 通过标量乘法的连续性 =λf（u） 根据F的定义。 因此，f是线性的。 第3步。函数f是连续的。 因为（fn）n≥1是一个柯西序列，对于每>0，有一些n>0，因此对于所有m，n≥n。由于fm=fn+fm−fn，我们得到kfmk≤kfnk+kfm−fnk， 这意味着 对于所有m，n≥n.（2） 使用（2），我们也有 对于所有m，n≥n， 也就是说， 对于所有m，n≥n.（3） 固定n≥n，使m趋于＋∞in（3）。因为规范是连续的，我们得到 ， 这表明f是连续的。 第4步。函数f是运算符范数的（fn）极限。 召回（1）： 对于所有m，n≥n.（1） 保持n≥n不变，但这次让m趋于＋∞in（1）。通过规范的连续性，我们得到 . 根据算符规范的定义， 对于所有n≥n， 证明了对于算子范数，fn收敛到f。 作为定理36.62的一个特例，如果我们让f=r（对于复向量空间，f=c），我们看到e0=l（e；r）（或e0=l（e；c））是完整的（因为r和c是完整的）。e上连续线性形式的空间e0称为e的对偶，它是e的代数对偶e的一个子空间，由e上所有线性形式组成，不一定是连续的。 也可以证明，如果e、f和g是赋范向量空间，如果g是Banach空间，那么l2（e、f；g）是Banach空间。证据基本上是相同的。 36.12赋范向量空间的完成 定理36.53和36.52的一个简单推论是，每个赋范向量空间都可以嵌入到一个完整的赋范向量空间中，即Banach空间。 定理36.63。如果（e，k k）是赋范向量空间，那么它作为度量空间（其中e给出度量d（x，y）=kx−yk）的完成可以给出一个唯一的向量空间结构，扩展e上的向量空间结构，以及一个范数k k e b，因此（e，b k keb）是一个Banach空间，并且度量d b是相关联的。与标准KKeb。此外，等径线_：e→eb为线性等径线。
第36.12条。赋范向量空间的完备 证据。加法运算+：e×e→e是均匀连续的，因为 . 不难证明e×e是一个完整的度量空间，e×e在eb×eb中是稠密的。然后，根据定理36.52，均匀连续函数+有一个唯一的连续扩展+：eb×eb→eb。 映射·：r×e→e不是均匀连续的，但对于任何固定的λ∈r，由lλ（u）=λ·u给出的映射lλ：e→e是均匀连续的，因此根据定理36.52，函数lλ具有唯一的连续扩展lλ：eb→eb，我们用它来定义标量乘法。通过上面的加法和标量乘法可以很容易地看出，e是一个向量空间。 由于e上的范数k k是均匀连续的，它有一个独特的连续扩展k k eb:eb→r+。恒等式ku+vk≤ku k+kvk和kλuk≤λkuk通过连续性扩展到eb。方程式 d（u，v）=ku−vk 还通过连续性和产量扩展到电子商务。 ， 这表明，kkeb确实是一个规范，度量db与之相关。最后，可以很容易地验证图_是线性的。赋范向量空间结构的唯一性来源于定理36.52中连续扩张的唯一性。 定理36.63和36.52将用来证明每个厄米空间都可以嵌入希尔伯特空间。 积分理论需要下一个关于赋范向量空间的定理36.52。 定理36.64。设e和f为两个赋范向量空间，设e0为e的稠密子空间，设f0:e0→f为连续函数。如果f0是均匀连续的，如果f是完整的，那么有一个唯一的均匀连续函数f:e→f扩展f0。此外，如果f0是一个连续线性映射，那么f也是一个线性连续映射，kfk=kf0k。 证据。我们只需要证明第二种说法。给定任意两个向量x，y∈e，由于e0在e上是稠密的，我们可以选取向量xn，yn∈e0的序列（xn）和（yn），这样x=limn7→∞xn和y=limn7→∞yn。因为加法和标量乘法是连续的，所以我们得到 x+y=lim（xn+yn） N7→∞ λx=lim（λxn） N7→∞ 对于任何λ∈r（或λ∈c）。因为f（x）是由 f（x）=lim f0（xn） N7→∞ 与收敛到x的序列（xn）无关，同样，对于f（y）和f（x+y），因为f0是线性的，我们有 f（x+y）=lim f0（xn+yn） n7→∞=lim（f0（xn）+f0（yn））n7→∞ =lim f0（xn）+lim f0（yn）n7→∞n→∞7 =f（x）+f（y）。 同样地， f（λx）=lim f0（λxn） N7→∞ =limλf0（xn）n7→∞ =λlim f0（xn）n7→∞ =λf（x）。 因此，f是线性的。因为规范是连续的，我们有 ， 因为f0是连续的 kf0（xn）k≤kf0kkxnk，所有n≥1， 所以我们得到 lim kf0（xn）k≤lim kf0kkxnk，所有n≥1，n7→∞n7→∞ 也就是说， kf（x）k≤kf0kkxk。 自从 ， 我们推断kfk≤kf0k，但由于e0 e和f与e0上的f0一致，我们也有 kf0 k=sup kf0（x）k=sup 0 kf（x）k≤sup kf（x）k=kfk，kxk=1，x∈e0 kxk=1，x∈e kxk=1，x∈e 因此kfk=kf0k。 最后，我们考虑赋范仿射空间。 第36.13条。赋范仿射空间 36.13赋范仿射空间 对于几何应用，我们需要考虑仿射空间（e，→−e），其中翻译的关联空间→−e是一个带有范数的向量空间。 定义36.44。给定一个仿射空间（e，其中翻译空间→−e是r或c上的向量空间），如果→−e是一个范数k的范数向量空间，我们就说（e，e）是一个范数仿射空间。 给定一个范数仿射空间，在e本身上有一个自然度量，定义如下： D（A，B）=K→−ABK。 注意，这个度量在翻译下是不变的，也就是说， D（A+U，B+U）=D（A，B）。 另外，对于每个固定的a∈e和λ>0，如果我们考虑图h:e→e，定义如下： h（x）=a+λ−ax，→ 然后d（h（x），h（y））=λd（x，y）。 A→7注意地图（A+U来自E×→EA，BTO）E7→。实际上，E×E TOU→−E7的地图→−AB是连续的，同样地，地图→−E到 →a+u是来自 EA。 当然，RN是欧几里得度量下的赋范仿射空间，它也是完整的。 如果一个仿射空间e是一个有限直和（e1，a1）······（em，am），并且每个ei也是一个范数k ki的范数仿射空间，那么我们将（e1，a1）·······（em，am）通过给它范数，使它成为一个范数仿射空间。 k（x1，…，xn）k=最大值（kx1k1，…，kxnkn）。 同样，有限积e1×·······×em在同一范数下被构造成范数仿射空间。 我们现在准备定义两个赋范仿射空间之间的映射的导数（或微分）。这将导致曲线和曲面的相切空间（在赋范仿射空间中）。 36.14进一步阅读 在Munkres[127，126]、Dixmier[52]、Lang[108，109]、Schwartz[146，145]、Bredon[30]和经典的Seifert和Threlfall[150]中可以找到对一般拓扑结构的彻底处理。 ~~~
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