第三十七章

关于分形的绕道

37.1迭代函数系统和分形

Hausdorff距离和不动点定理的一个令人愉快的应用是定义一类“自相似”分形的方法。为此，我们可以使用迭代函数系统。

定义37.1.给定一个度量空间（x，d），迭代函数系统，简而言之，是一个有限的函数序列（f1，…，fn），其中每个fi:x→x是一个收缩映射。x的非空紧子集k是ifs（f1，…，fn）的不变集（或吸引子），如果

k=f1（k）···fn（k）。

国际单项体育联合会的主要成果如下：

定理37.1。如果（x，d）是一个非空完全度量空间，那么每个迭代函数系统（f1，…，fn）都有一个唯一的不变集a，它是x的非空紧子集。此外，对于x的每个非空紧子集a0，这个不变集a，如果序列的极限（am），其中am+1=f1（上午）···fn（上午）。

证据。由于x是完整的，根据定理36.55，空间（k（x），d）是一个完整的度量空间。如果我们能证明这张图，

f:k（x）→k（x），定义如下：

f（k）=f1（k）····fn（k），

对于每个非空压缩集，k是一个收缩映射。假设a，b是x的任意两个非空紧子集，并考虑任何η≥d（a，b）。因为每个fi:x→x都是收缩映射，所以有一些λi，其中0≤λi<1，这样

d（fi（a），fi（b））≤λid（a，b），

一千三百零一

对于所有a，b∈x。让λ=maxλ1，…，λn。我们声称

d（f（a），f（b））≤λd（a，b）。

对于任何x∈f（a）=f1（a）·····fn（a），有一些ai∈ai，这样x=fi（ai），由于η≥d（a，b），有一些bi∈b，这样

d（ai，bi）≤η，

因此，d（x，fi（bi））=d（fi（ai），fi（bi））≤λid（ai，bi）≤λη。

这表明

f（a）vλη（f（b））。

同样，我们可以证明

f（b）vλη（f（a）），

由于这对所有的η≥d（a，b）都成立，我们证明

d（f（a），f（b））≤λd（a，b）

式中，λ=最大λ1，…，λn。由于0≤λi<1，我们得到0≤λ<1，f实际上是一个收缩映射。

定理37.1证明了许多熟悉的“自相似”分形的存在。最著名的分形之一是Sierpinski垫圈。

例37.1。考虑一个顶点为a、b、c的等边三角形，让f1、f2、f3是中心a、b、c和比率1/2的扩张。Sierpinski垫圈是IFS（F1、F2、F3）的不变集。膨胀f1，f2，f3可以明确定义如下，假设

A=−1/2,0），B=（1/2,0），C=（0，√3/2）。收缩f1、f2、f3由

，

和

.

图37.1：Sierpinski垫圈

我们编写了一个Mathematica程序，它在由点、线段和多边形（及其内部点）组合而成的任何输入图形上迭代任何有限数量的仿射映射。从三角形A、B、C的边缘开始，经过6次迭代，我们得到如图37.1所示的图片。

有趣的是，无论初始的非空紧致图形是什么，都能得到相同的分形。有趣的是，如果我们从一个实心三角形开始（内部有点），会发生什么。6次迭代后的结果如图37.2所示。向Sierpinski垫圈的收敛速度非常快。顺便说一下，还有许多其他的方法来定义Sierpinski垫圈。

Sierpinski垫圈主题的一个很好的变化是Sierpinski Dragon。

例37.2。Sierpinski Dragon由以下三个收缩指定：

，

图37.2：Sierpinski垫圈，版本2

从直线段（−1,0），（1,0））开始的7次迭代结果如图所示。

37.3。该曲线收敛到Sierpinski垫片的边界。

另一种分形是海威龙。

例37.3。海道龙有以下两种收缩：

.

可以证明，对于任何迭代次数，多边形都不会交叉自身。这意味着没有任何边被两次遍历，如果一个点被两次遍历，那么这个点就是某个边的端点。从直线段（（0,0），（0,1））开始的13次迭代的结果如图37.4所示。

海威龙最终填补了一个封闭和有界的集合。也可以看出，飞机上可以贴上高威龙的复制品。

另一个众所周知的例子是科赫曲线。

图37.3：锡尔宾斯基龙

图37.4：高威龙图37.5：科赫曲线

例37.4。Koch曲线由以下四种收缩规定：

，

科赫曲线是连续曲线的一个例子，它是不可微的（因为它“摆动”太多）。它是一条无限长的曲线。图37.5显示了从测线段（−1,0）、（1,0））开始的6次迭代的结果。

将三条Kock曲线放在一个等边三角形的边上得到的曲线称为雪花曲线（由于明显的原因，见下文！）.

图37.6：雪花曲线

例37.5。5次迭代后得到的雪花曲线如图37.6所示。

雪花曲线是一个无限长的封闭曲线的例子，它限定了一个有限的区域。

我们用另一个著名的例子，希尔伯特曲线的变种来总结。

例37.6。希尔伯特曲线的这个版本由以下四种收缩定义：

.

图37.7：希尔伯特曲线

这个连续曲线是一个空间填充曲线，从它的图像是整个单位平方的意义上说。图37.7显示了6次迭代的结果，从两个线段（−1,0）、（0,1））和（（0,1）、（1,0））开始。

有关迭代函数系统和分形的更多信息，我们推荐Edgar[56]。