第三十五章

有理规范形和其他规范形

35.1与自同态有关的扭转模块

我们在第6.7节中看到，给出了从k向量空间e到自身的线性映射f:e→e，我们可以定义一个标量乘法·：k[x]×e→e，使e成为k]x]—模块。如果e是有限维的，那么用e f表示的k[x]模是一个扭转模，本章的主要结果是将e直接和分解成f下不变的子空间。

回想一下，给定任意多项式p（x）=a0xn+a1xn−+·····································

p（f）=a0fn+a1fn−1+····+anid，

式中，f k=f·····f，f与其自身的k-折叠组成。注意

p（f）（u）=a0fn（u）+a1fn−1（u）+····+anu，

对于每一个向量u∈e，我们用多项式定义了标量乘·：k[x]×e→e，对于每一个多项式p（x）∈k[x]，对于每一个u∈e，

p（x）·u=p（f）（u）.1

很容易验证该标量乘法是否满足M1、M2、M3、M4公理：

P·（U+V）=P·U+P·V（P+Q）·U=P·U+Q·U

（PQ）·U=P·（Q·U）

1·u=u，

一千一百八十七

对于所有p，q∈k[x]和所有u，v∈e，因此，在这个新的标量乘法中，e是一个用ef表示的k[x]模。

如果p=λ只是k中的一个标量（阶数为0的多项式），那么

λ·u=（λid）（u）=λu，

也就是说，K通过标量乘作用于E。如果p（x）=x（单项x），那么

x·u=f（u）。

因为k是一个字段，所以环k[x]是一个PID。

如果e是有限维，比如说尺寸n，因为k是k[x]的子环，并且e是在k上有限生成的，那么k[x]-模块ef是在k[x]上有限生成的。此外，ef是一个扭转模块。这源于凯莱-汉密尔顿定理（定理6.16），但这也可以用如下的基本形式表示。e的线性映射的空间hom（e，e）本身就是一个维度n2的向量空间，因此n2+1线性映射

ID，F，F2，…，FN2

是线性相关的，它产生一个非零多项式q，使得q（f）=0。

我们现在可以将为模定义的概念转换为向量空间的自同态的概念。

\1. 如果说u是e f的子模，就意味着u是f下e不变量的子空间，即f（u）u。

\2. 如果说v是ef的循环子模，就意味着有一个向量u∈v，这样v的范围是（u，f（u），…，fk（u），…）。如果e有有限的尺寸n，那么v的范围是（u，f（u），…，f k（u）），对于一些k≤n-1。我们说v是f的一个循环子空间，它的发生器是u。有时，v用z（u；f）表示。

\3. 假设理想a=（p（x））（与p（x）一个Monic多项式）是子模v的零化子，意味着p（f）（u）=0代表所有u∈v，我们称p为v的极小多项式。

\4. 假设ef是循环的，让a=（q）是它的湮灭子，其中

q（x）=xn+an−1xn−1+····+a1x+a0。

然后，有一些向量u（u，f（u），…，f k（u））跨越ef，因为q是ef的最小多项式，所以我们必须有k=n-1。q（f）=0意味着

Fn（u）=-a0u−a1f（u）−····−an−1fn−1（u），

因此，f由以下矩阵表示，称为q（x）的伴随矩阵：

0 0 0 0·····1−an−1

很容易证明u的特征多项式χu（x）返回q（x）：

χu（x）=q（x）。

当两个线性映射相似时，我们需要以下命题来描述。

提案35.1.设f:e→e和f0:e0→e0为向量空间e和e0上的两个线性映射。线性映射g:e→e0可以看作是

k[x]-模块ef和ef0 iff

g_f=f0_g.

证据。首先，假设g是k[x]-线性的。那么，我们有了

g（p·f u）=p·f0 g（u）

对于所有p∈k[x]和所有u∈e，因此对于p=x，我们得到

g（p·f u）=g（x·f u）=g（f（u））

和

p·f0 g（u）=x·f0 g（u）=f0（g（u）），

这意味着g f=f0 g。

相反，如果g f=f0 g，我们通过归纳证明

g fn=f0n g，对于所有n≥1。

事实上，我们有

G Fn+1=G Fn F

=f0n_g_f

=f0n_f0_g

=f0n+1_g，

建立诱导步骤。因此，对于任何多项式，我们都有

所以，g确实是k[x]-线性的。

定义35.1.我们说线性映射f:e→e和f0:e0→e0是相似的，如果存在同构g:e→e0，那么

f0=g f g−1，

或者等价的，

g_f=f0_g.

然后，35.1号提案显示了以下事实：

35.2号提案。用35.1的符号表示，两个线性映射f和f0是相似的，如果g是ef和ef0 0之间的同构。

稍后，我们将看到有限生成的扭转模的同构可以用不变因子来描述，这将转化为线性映射的相似性的描述，即所谓的相似不变量。如果在e和e0的基上用矩阵a和a0表示f和f0，那么f和f0是相似的，如果矩阵a和a0是相似的（有一个可逆矩阵p，这样a0=pap−1）。相似矩阵（和自同态）具有相同的特征多项式。

结果表明，ef与k[x]k e模块之间存在一种有用的关系，观察到由下式给出的图·：k[x]×e→e

p·u=p（f）（u）

是k-双线性，因此它产生k-线性映射σ：k[x]k e→e，因此

σ（p u）=p·u=p（f）（u）。

从第34.6节我们知道k[x]k e是k[x]-模块（从包含k k[x]中获得），我们将用e[x]表示。因为e是向量空间，e[x]是自由k[x]模，如果（u1，…，un）是e的基，那么（1 u1，…，1 un）是e[x]的基。

自由K[X]-模块E[X]并不像看上去那么复杂。在基础上（1 u1，…，1 un），每个元素z∈e[x]可以唯一地写为

Z=p1（1 u1）+····+pn（1 un）=p1 u1+····+pn un，

式中，p1，…，pn是k[x]中的多项式。为了便于记法，我们可以写

Z=p1u1+·····+pnun，

式中，p1，…，pn被视为k[x]中的系数。用这个符号，我们看到e[x]与（k[x]）n同构，这很容易理解。注意，σ是k[x]-线性的，因为

σ（q（p u））=σ（（qp）u）

=（qp）·u

=q（f）（p（f）（u））。

=q·（p（f）（u））=q·σ（p u）。

因此，σ是k[x]模的线性映射，σ：e[x]→ef。用我们的简化表示法，如果z=p1u1+································

σ（z）=p1（f）（u1）+····+pn（f）（un）

这相当于为x插入f并进行评估。同样，f是ef的k[x]-线性映射，因为

f（p·u）=f（p（f）（u））=（fp（f））（u）

=p（f）（f（u））=p·f（u），

这里我们使用了fP（f）=p（f）f这一事实，因为p（f）是f.by命题中的多项式。

34.40，线性图f:e→e归纳出k[x]-线性图f:e[x]→e[x]，这样

F（P U）=P F（U）。

注意我们已经

f（σ（p u））=f（p（f）（u））=p（f）（f（u））。

和

σ（f（p u））=σ（p f（u））=p（f）（f（u）），

所以我们得到

σf=fσ（）

使用我们的简化符号，

F（p1u1+·····+pnun）=p1f（u1）+····+pnf（un）。

定义k[x]-线性映射ψ：e[x]→e[x]

ψ（p u）=（xp）u−p f（u）。

观察ψ=x1e[x]−f，我们将其缩写为x1−f。使用我们的简化符号ψ（p1u1+····+pnun）=xp1u1+····+xpun−（p1f（u1）+····+pnf（un））。

应该注意的是，我们在第35.1节中所做的一切都适用于交换环A上的模块，但假设a[x]是PID的语句除外。因此，如果m是a模，我们可以定义a[x]-模mf和m[x]=a[x]a m，除了mf通常不是扭转模，所有结果都显示了上述结论。然后，我们得到了以下显著的结果。

定理35.3。（特征序列）A是一个环，E是一个A模块。

以下[X]线性映射序列是精确的：

ε

0/E[X]/E[X]/EF/0.

这意味着ψ是内射的，σ是射的，im（ψ）=ker（σ）。因此，

e f与e[x]的商im（x1-f）同构。

证据。因为σ（1 u）=u对于所有u∈e，映射σ是可射的。我们有

，

这表明

σx1=fσ=σf，

使用（）。这意味着

，

因此，im（ψ）ker（σ）。仍需证明Ker（σ）im（ψ）。

由于单项式xk构成了a[x]的基础，通过命题34.13（交换m和n的作用），每个z∈e[x]=a[x]a e都有一个独特的表达式，即

，

对于UK∈E的有限支持族（UK），如果Z∈Ker（σ），那么

0=σ（z）=xfk（英国）

K

这让我们可以写

现在，x1和f通勤，因为

和

，

所以我们可以写

和

，

这表明，对于某些y∈e[x]，z=ψ（y）。

最后，我们证明ψ是内射的，如下所示。我们有

，

式中（uk）是uk的有限支持族∈e。如果ψ（z）=0，则

XXK+1（UK−F（UK+1））=0，

K

因为XK构成了一个[X]的基础，我们必须

UK−F（UK+1）=0，所有K。

因为（uk）有有限的支持，所以有一个最大的k，比如m+1，所以um+1=0，然后从

UK=F（UK+1）

我们推断所有k的uk=0，因此z=0，ψ是内射的。

注：定理35.3的确切序列给出了mf的表示。

由于[X]是自由A-模块，因此[X]am是自由A-模块，但[X]am通常不是自由A[X]模块。但是，如果m是自由模，那么m[x]是自由A[x]模，因为如果（ui）i∈i是m的基础，那么（1 ui）i∈i是m[x]的基础。这允许我们将自由模m的自同态的特征多项式χf（x）定义为

χf（x）=det（x1-f）。

注意，为了有一个正确的定义，我们需要定义一个线性映射的行列式，允许不确定的x作为一个标量，这就是m[x]的定义实现的（除其他外）。定理35.3可用于给出凯莱-汉密尔顿定理的简短证明，见Bourbaki[25]（第三章，第8节，命题20）。命题6.10仍然是证明的关键要素。

35.2有理规范形式

设e为k域上的有限维向量空间，设f:e→e为e的自同态。从第35.1节我们知道，有一个k[x]-模ef与f相关，并且ef是pid k[x]上有限生成的扭转模件。在本章中，我们将展示第34.4和34.5节中的定理如何产生关于线性映射f结构的重要结果。

子空间V的零化子是一个理想（P），由一个Monic多项式P（称为V的极小多项式）唯一定义。

我们的第一个结果是通过翻译主分解定理，定理34.19得到的。我们再次得到定理30.10并不奇怪！

定理35.4.（主分解定理）设f:e→e为k域上有限维向量空间e上的线性映射。将f的最小多项式m写成

，

式中，π是K上的独特的不可约Monic多项式，ri是正整数。让

wi=ker（pi（f）ri），i=1，…，k.

然后

(a) E=w1····周。

(b) 每个wi在f下是不变的，从w到wi的投影由f中的多项式给出。

(c) 约束的最小多项式。

例35.1。设f:r4→r4为f（x，y，z，w）=（x+w，y+z，y+z，x+w）。就标准基而言，f具有矩阵表示。

.

基本计算表明，χf（x）=x2（x-2）2，mf（x）=x（x-2）。初级分解定理意味着

r4=w1 w2，w1=ker（m），w2=ker（m−2i）。

注意，Ker（m）对应于与特征值0相关联的特征空间，并具有基（[−1,0,0,1]，[0、−1,1,0]），而Ker（m−2i）对应于与特征值2相关联的特征空间，并具有基（[1,0,0,1]，[0,1,1,0]）。

接下来，我们将不变因子分解定理（定理34.31）应用于ef。这个定理说ef同构于一个直和

ef≈k[x]/（p1）···k[x]/（pm）

在m≤n循环模中，其中pj是唯一确定的至少为1度的Monic多项式，因此pm pm−1···p1。

每个循环模k[x]/（pi）与f的循环子空间同构，比如vi，其最小多项式是pi。

按照惯例，将多项式pi重新编号如下。n多项式q1，…，qn定义为：

然后我们看到q1 q2···qn，

其中第一个n−m多项式等于1，我们有直接和

E=e1····en，

其中ei是f的循环子空间，f的最小多项式为qi。特别是，对于i=1，…，n−m，ei=（0）。定理34.31还表示f的最小多项式是qn=p1。我们用下面的定理来总结这一切。

定理35.5。（循环分解定理，第一版）让f:e→e是量纲n的k向量空间上的一个自同态，存在n个单多项式q1，…，qn∈k[x]，这样

q1 q2···qn，

e是直接和

E=e1····en

循环子空间的ei=z（ui；f）对于f，使得f对ei的约束的最小多项式为qi。满足上述条件的多项式qi是唯一的，qn是f的极小多项式。

鉴于第35.1节开头的翻译点（4），我们知道，

（ui，f（ui），…，fni−1（ui））

循环子空间ei=z（ui；f），其中ni=deg（qi），f对ei的约束矩阵是形式pi（x）的伴随矩阵。

如果我们把所有这些基放在一起，我们就得到一个块矩阵，它的块是上述形式的。因此，我们证明了以下结果。

定理35.6。（有理规范形，第一版）让f:e→e是量纲n的k-向量空间上的自同态，存在n个单多项式q1，…，qn∈

K[X]这样

q1 q2···qn，

q1=······=qn m=1，并且e的基使得f的矩阵m是

其中每个mi是qi的伴生矩阵。满足上述条件的多项式qi是唯一的，qn是f的极小多项式。

定义35.2.定理35.6中的矩阵m称为有理形式的矩阵。定理35.5和35.6中出现的多项式q1，…，qn称为f的相似度不变量（或不变因子）。

定理35.6表明，每个矩阵都类似于有理形式的矩阵。这样的矩阵是唯一的。

例1继续：我们将计算f（x，y，z，w）=（x+w，y+z，y+z，x+w）的有理规范形式。找到有理正则形式的困难在于确定不变因子q1、q2、q3、q4。正如我们将很快发现的，F的不变因子对应于Xi×m的不变因子，参见命题35.8和35.11。通过将Xi～m转化为史米斯范式，发现了Xi—m的不变因子。第35.5节描述了计算矩阵史密斯正规形式的算法程序。通过应用第35.5节的方法，我们发现了Xi—m的史米斯范式。

10 0 0_

00 10 x（X0−2）00。

0 0 0 x（x−2）

因此，f的不变因子是q1=1=q2，q3=x（x−2=q4，定理35.5表明

r4=e1 e2，

式中e1=z（u1，f）=r[x]/（x（x-2））和e2=z（u2，f）=r[x]/（x（x-2））。子空间e1有基（u1，mu1），其中u1=（1,0,1,0）和mu1=（1,1,1），而子空间e2有基（u2，mu2），其中u2=（0,0,1,0）和mu2=（0,1,1,0）。定理35.6

根据35.2，两个线性映射f和f0是相似的，如果ef和之间存在同构，那么根据定理34.31的唯一性部分，iff它们具有相同的相似不变量q1，…，qn。

35.7号提案。如果e和e0是两个有限维向量空间，如果f:e→e和f0:e0→e0是两个线性映射，那么f和f0是相似的，如果它们具有相同的相似不变量。

将场K扩展到场L的效果是下一个命题的目标。

35.8号提案。设f:e→e为k向量空间e上的线性映射，设（q1，…，qn）为f的相似度不变量。如果l是k的场扩展（即k l），如果e（l）=l k e是通过扩展标量得到的向量空间，而f（l）=1l f是由f，那么f（l）的相似不变量是（q1，…，qn）在l[x]中被看作多项式。

证据。我们知道ef与直接和同构。

ef≈k[x]/（q1k[x]）···k[x]/（qnk[x]），

因此，通过用l[x]张量和用命题34.12和32.13，我们得到

L[X]K[X]EF≈L[X]K[X]（K[X]/（Q1K[X]）··K[X]/（QNK[X]））

≈L[X]K[X]（K[X]/（Q1K[X]））····L[X]K[X]（K[X]/（QNK[X]））

≈（K[X]/（Q1K[X]））K[X]L[X]···（K[X]/（QNK[X]）K[X]L[X]。

然而，根据34.14号命题，我们有同构

（k[x]/（qik[x]））k[x]l[x]≈l[x]/（qli[x]），

所以我们得到

L[X]K[X]ef≈L[X]/（q1l[X]）···L[X]/（qnl[X]）。

由于ef是k[x]模件，l[x]模件l[x]k[x]ef是通过环扩展k[x]l[x]从ef获得的模件。l-模块e（l）=l k e成为l[x]模块

e（l）f（l）其中

f（l）=idl k f.

我们有以下建议

35.9号提案。对于任何字段扩展k l和任何线性映射f:e→e（其中e是k向量空间），l[x]-模块l[x]k[x]ef和

E（L）F（L）。

证据。首先，我们定义了图α：l×e→l[x]k[x]ef

α（λ，u）=λk[x]u。

立即证实α为K-双线性，得到了一个K-线性映射αe:L K e→L[X]K[X]ef。现在e（l）=l k e是l[x]模（l k e）f（l），让我们用表示这个标量乘。描述一个单项式a x k∈l[x]如何作用于一个发生器（λk u）∈l k e是足够的。

我们声称α实际上是l[x]-线性的。事实上，我们有

e

，

根据k[x]模ef中标量乘法的定义，我们得到了fk（u）=xk·fu，因此我们得到了

，

这表明α是l[x]-线性的。

e

我们还定义了图β：l[x]×e f→（l k e）f（l）的

.

使用与我们刚才执行的计算类似的计算，我们可以检查β是否为k[x]-双线性，从而获得一个图βe:l[x]k[x]e f→（l k e）f（l）。为了完成证明，证明αeβe和βeαe是发电机上的恒等式。我们有

和

完成了证据。

根据35.9号提案，

e（l）f（l）≈l[x]k[x]ef≈l[x]/（q1l[x]）··l[x]/（qnl[x]），

这表明（q1，…，qn）是f（l）的相似度不变量。

命题35.8证明了相似不变量中的术语“不变量”。实际上，在场扩展k l下，f（l）的相似不变量保持不变。依赖于场的初等除数是不成立的；实际上，不可约多项式p∈k[x]可以在l[x]上分裂。由于qn是f的极小多项式，上述推理也表明f（l）的极小多项式在场的扩展下保持不变。

35.8号提案有以下推论。

35.10号提案。设k为一个域，l k为k的一个域扩展。对于任意两个平方矩阵a和b，如果在l上有一个可逆矩阵q，使b=qaq−1，那么在k上有一个可逆矩阵p，使b=pap−1。从定理35.3中回忆，k[x]线性映射的序列

ε

0/E[X]/E[X]/EF/0

是精确的，因此，e f与e[x]的商im（x1-f）同构。此外，由于e是一个向量空间，e[x]是一个带基的自由模（1 u1，…，1 un）。

其中（u1，…，un）是e的基础，并且由于ψ是内射的，因此模块im（x1−f）具有秩n。根据定理34.31，我们具有同构性。

ef≈k[x]/（q1k[x]）···k[x]/（qnk[x]），

根据命题34.32，e[x]/im（x1-f）同构于一个直和

e[x]/im（x1−f）≈k[x]/（p1k[x]）···k[x]/（pnk[x]），

式中，p1，…，pn是im（x1-f）相对于e[x]的不变因子。因为ef≈

e[x]/im（x1−f），根据定理34.31的唯一性部分，由于多项式是monic，我们必须有pi=qi，对于i=1，…，n。因此，我们证明了以下关键事实：

35.11号提案。对于任何线性映射，在维的k向量空间e上f:e→e

n，f的相似不变量等于im（x1-f）相对于e[x]的不变因子。

命题35.11是计算线性映射相似度不变量的关键。这可以用一个程序来转换X-M到它的Smith范式。提案35.11和34.37得出以下结果。

35.12号提案。对于任何线性映射，如果（q1，…，qn）是f的相似度不变量，对于表示f的任何矩阵m，关于任何基，那么对于k=1，…，n积

dk（x）=q1（x）···qk（x）

是矩阵Xi的K×K-最小值的GCD。

请注意，矩阵XI m m正是产生f的特征多项式χf（x）＝（m）的矩阵。

35.13号提案。对于任何线性映射，如果（q1，…，qn）是f的相似度不变量，那么以下性质成立：（1）如果χf（x）是f的特征多项式，那么

χf（x）=q1（x）···qn（x）。

(2) f的最小多项式m（x）=qn（x）除以f的特征多项式χf（x）。

(3) 特征多项式χf（x）除以m（x）n。

(4) e是F iff m（x）=χf（x）的循环。

证据。性质（1）来自命题35.12，k=n。它也来自定理35.6，事实上，对于与qi相关的伴随矩阵，该矩阵的特征多项式也是qi。从（1）可以看出特性（2）。由于每个qi除以qi+1，每个qi除以qn，所以它们的积χf（x）除以m（x）n=qn（x）n。最后一个条件是q1=······=qn−1=1，这意味着ef只有一个和。

观察35.13号命题得出了凯莱-汉密尔顿定理的另一个证明。

它还表明线性映射是幂零的，如果它的特征多项式是xn。

35.3有理规范形式，第二版

现在让我们用ef来翻译初等除数分解定理，定理34.38。我们得到以下结果。

定理35.14。（循环分解定理，第二版）让f:e→e是维数n的k向量空间上的自同态，则e是f的循环子空间ej=z（uj；f）的直和，这样ej的最小多项式就是形式，对于一些不可约的Monic多项式p1，…，pt∈k[x]一些正整数ni，j，这样对于每个i=1，…，t，都有一个整数序列。

，

当si≥1时，其中ni，j出现mi，j≥1次，j=1，…，si。此外，Monic多项式Pi和整数r、t、ni、j、si、mi、j是唯一确定的。

注意，有μ=pmi，j循环子空间z（uj；f）。利用定理35.6中循环子空间z（uj；f）的基，我们得到以下定理。

定理35.15。（有理正则形式，第二版）设f:e→e为维数n的k向量空间上的自同态，存在不可约的单多项式p1，…，pt∈k[x]和一些正整数n i，j，这样对于每个i=1，…，t，都有一个整数序列。

，

当si≥1时，其中ni，j出现mi，j≥1次，对于j=1，…，si，并且有e的基础，因此f的矩阵m是形式的块矩阵。

其中，每个mj是一些的伴随矩阵，并且μ=pmi，j。Monic多项式p1，…，pt和整数r，t，ni，j，si，mi，j是唯一确定的。

多项式被称为f（和m）的初等除数。这些多项式是最小多项式的因子。

例1继续：回想一下f（x，y，z，w）=（x+w，y+z，y+z，x+w）有两个非平凡不变因子q1=x（x−2）=q2。因此，f的基本因子是p1=x=p2和p3=x−2=p4。定理35.14意味着

r4=e1 e2 e3 e4，

35.4。重访约旦表格

其中e1=z（u1，f）=r[x]/（x），e2=z（u2，f）=r[x]/（x），e3=z（u3，f）=r[x]/（x-2），e4=z（u4，f）=r[x]/（x-2）。子空间e1和e2对应于特征值为0的特征向量所跨越的一维空间，e3和e4对应于特征值为2的特征向量所跨越的一维空间。如果我们让u1=（−1,0,0,1），u2=（0，−1,1,0），u3=（1,0,0,1）和u4=（0,1,1,0），定理35.15给出

0 0 0 0_

00 00 02 00，

γ

0 0 0 2

作为与循环分解相关的有理正则形式，r4=e1 e2 e3 e4。

正如我们前面指出的，与相似不变量不同，当我们传递到字段扩展时，初等除数可能会发生变化。

我们现在将考虑所有不可约多项式π的形式为x-λi的特殊情况；也就是说，当f的特征值属于k时。在这种情况下，我们再次找到了约旦形式。

35.4重新审查约旦表格

在这一节中，我们假定f的极小多项式的所有根都属于k。如果k是代数闭的，那么情况就是这样。定理35.14的不可约多项式Pi是F的不同特征值λi的多项式x−λi。然后，每个循环子空间z（uj；f）有一个形式为（x−λ）m的最小多项式，对于F的某些特征值λ和一些m≥1。结果表明，通过对循环子空间Z（uj；f）选择合适的基，F到Z（uj；f）约束的矩阵是一个约旦块。

35.16号提案。设e为有限维k矢量空间，设f:e→e为线性映射。如果e是循环k[x]模，如果（x−λ）n是f的最小多项式，则形式e的基

（（f-λid）n-1（u），（f-λid）n-2（u），…，（f-λid）（u），u），

对于某些u∈e，关于这个基，f的矩阵是约旦块。

.

证据。因为e是一个循环k[x]模，所以有一些u∈e，e是由u，f（u），f2（u），…，生成的，这意味着e中的每一个向量都是p（f）（u）的形式，对于某些多项式，p（x）。我们声称u，f（u），…，f n−2（u），fn−1（u）生成e，这意味着e的维数至多为n。

这是因为如果p（x）是至少n次的任何多项式，那么我们可以将p（x）除以（x-λ）n，得到

p=（x−λ）nq+r，

当0≤deg（r）<n，并且as（x-λ）n湮灭e时，我们得到

p（f）（u）=r（f）（u）

也就是说，形式p（f）（u）且p（x）度≥n的每个向量实际上是u、f（u）、…、fn−2（u）、fn−1（u）的线性组合。

我们声称向量

u，（f-λid）（u），…，（f-λid）n-2（u）（f-λid）n-1（u）

线性无关。实际上，如果我们有一个非平凡的线性组合

a0（f−λid）n−1（u）+a1（f−λid）n−2（u）+·····+an−2（f−λid）（u）+an−1u=0，

那么多项式

a0（x-λ）n−1+a1（x-λ）n−2+·····+an−2（x-λ）+an−1

度至多n-1会湮灭e，这与（x-λ）n是f的最小多项式（因此是最小度）这一事实相矛盾。因此，作为

e至多是n，

（（f-λid）n-1（u），（f-λid）n-2（u），…，（f-λid）（u），u），

是e的基础，因为u，f（u），…，fn−2（u），fn−1（u）跨度e，

（u，f（u），…，fn−2（u），fn−1（u））

也是E的基础。

让我们看看F是如何根据

（（f-λid）n-1（u），（f-λid）n-2（u），…，（f-λid）（u），u）。

如果我们把f=f−λid+λid写成（f−λid）n湮灭e，我们得到f（（f−λid）n−1（u））=（f−λid）n（u）+λ（f−λid）n−1（u）=λ（f−λid）n−1（u）

而f（（f-λid）k（u））=（f-λid）k+1（u）+λ（f-λid）k（u），0≤k≤n-2。

但这恰恰意味着，在这个基础上，f的矩阵是约旦块Jn（λ）。

35.4。重访约旦表格

基础

（（f-λid）n-1（u），（f-λid）n-2（u），…，（f-λid）（u），u），

由35.16号提案提供的，称为约旦链。注意，（f＝αid）n＝1（u）是f的特征向量，构造约旦链时，我们必须找到u，它是f的广义特征向量，这是通过首先找到f的特征向量x1，并递归求解系统（f＝αid）Xi＋1＝Xi，对于i＝1×n＝1。例如，假设f:r3→r3，其中f（x，y，z）=（x+y+z，y+z，z）。在标准基础上，矩阵表示

为了。利用M，可以很容易地证明最小多项式

f等于特征多项式，即（x-1）3。因此，f的特征值λ=1，重复三次。为了找到与λ=1相关的特征向量x1，我们求解系统（m-i）x1=0，或等效地

.

因此，y=z=0，x=1解决了系统提供特征向量的问题。接下来，我们求解系统（m-i）x2=x1，即

，

这意味着z=0，y=1。因此将起作用。为了完成我们的约旦链的构建，我们必须解决系统（m-i）x3=x2，即

，

从中我们可以看到z=1，y=0，和。通过设置x3=u，我们构成了基础

（（f-λid）2（u），（f-λid）1（u），…，（f-λid）（u），u）=（x1，x2，x3）。

根据基（x1，x2，x3），映射f（x，y，z）=（x+y+z，y+z，z）具有约旦块矩阵表示，因为

f（x1）=f（1,0,0）=（1,0,0）=x1 f（x2）=f（1,1,0）=（2,1,0）=x1+x2 f（x3）=f（1,0,1）=（2,1,1）=x2+x3。

结合定理35.15和命题35.16，我们得到了一个强形式的约旦形式。

定理35.17。（约旦规范形式）设e为有限维k矢量空间。以下属性等效：

(1) f的特征值都属于k。

(2) 有一个e的基，其中f的矩阵是上（或下）三角形。

(3) 存在一个e的基，其中f的矩阵a是约旦矩阵。此外，对于固定的r和λ，a中出现的约旦块Jr（λ）的数量由f唯一确定。

证据。蕴涵（1）=？（3）来自定理35.15和命题35.16。影响（3）=？（2）和（2）=？（1）微不足道。

与定理30.17相比，新的成分是（3）中的唯一性断言，不容易证明。

观察F的最小多项式是a中出现的与约旦块Jr（λ）相关的多项式（x-λ）r的最小公倍数，a的特征多项式是这些多项式的乘积。

我们现在回到了用命题方法有效地计算矩阵m的相似不变量的问题，这相当于计算m个m的不变因子。为环A= k[x]有效地进行这一过程是将Xi到M转换成Smith范式。这也将产生m的有理规范形式。

35.5史密斯标准型

史密斯范式是34.35命题的特例，适用于PID k[x]，其中k是一个域，但它也表示矩阵p和q是初等矩阵的乘积。结果表明，这种结果适用于任何欧几里得环，证明基本相同。

从定义29.10中回忆，欧几里得环是一个积分域A，这样就存在一个函数σ：a→n，其性质如下：对于所有a，b∈a，其中b=06，有一些q，r∈a，这样

A=Bq+R和σ（R）<σ（B）。

注意，这对（q，r）不一定是唯一的。

我们利用第7章中描述的基本行和列操作p（i，k）、ei，j；β和ei，λ，其中我们要求ei，λ中使用的标量λ为一个单位。

定理35.18。如果m是欧几里得环a上的m×n矩阵，则存在一些可逆n×n矩阵p和一些可逆m×m矩阵q，其中p和q是初等矩阵的乘积，并且形式为m×n矩阵d。

对于一些非零αi∈a，这样

(1) α1α2···αR，和

(2) M=qdp−1。

证据。我们遵循雅各布森的证明[96]（第3章，定理3.8）。我们在m+n上进行归纳。

如果m=n=1，设p=（1）和q=（1）。

对于诱导步骤，如果m=0，则p=in，q=im。如果m=06，则状态学将应用一个将m转换为形式矩阵的初等变换序列。

α10···0

0_

m0=…y

零

其中y是（m-1）×（n-1）-矩阵，因此α1将y中的每个条目分开。然后，我们对y进行归纳。为了找到m0，我们执行以下步骤。

第1步。在m中选取一些非零项aij，使σ（aij）最小。然后排列第j列和第1列，以及排列第i行和第1行，将此条目置于位置（1，1）。

我们用m再次表示这个新矩阵。

步骤2a。

如果m=1，转到步骤2b。

如果m>1，则有两种可能性：

(i) M的形式是

如果n=1，停止；否则转到步骤2b。

(ii) 在第一列的A11下面有一些非零条目ai1（i>1）。

(a) 如果在第一列中有条目AK1，使得A11不划分AK1，那么选择这样一个条目（例如，使用最小的索引i，使得σ（ai1）最小），然后将AK1除以A11；也就是说，找到BK和BK1，这样

AK1=A11BK+BK1，σ（BK1）<σ（A11）。

从行k和排列行k和行1中减去bk乘以行1，得到该形式的矩阵

.

回到步骤2a。

(b) 如果A11将i≥2的每个（非零）条目ai1除，则假设ai1=a11 bi，然后将i=2，…，m的第i行减去bi乘以第1行；转到步骤2b。

观察到当我们回到步骤2a的开始时，我们得到了σ（bk1）<σ（a11）。因此，在有限的步骤数之后，我们必须用一个矩阵退出步骤2a，其中第一列中的所有条目都为零，然后转到步骤2b。

步骤2b。

只有当n>1并且第一列中唯一的非零条目是A11时，才能达到此步骤。

(a) 如果m的形式

M=1停，否则进入第3步。

(b)如果在第一行中有条目A1K，使得A11不划分A1K，那么选择这样的条目（例如，具有最小索引J，使得σ（A1J）最小），然后将A1K除以A11；也就是说，找到BK和B1K，这样

a1k=a1bk+b1k，σ（b1k）<σ（a11）。

从k列和permute列k和1列中减去bk乘以1列，得到该形式的矩阵。

B1K AK2···AKN

B2K A22···A2N M=……………。

γ

γ

bmk am2···amn回到步骤2b。

（c）如果a11将j≥2的每个（非零）条目a1j相除，假设a1j=a11 bj，则从j列中减去bj乘以j列1，得出j=2，…，n；转到步骤3。

在步骤2a中，当我们回到步骤2b的开头时，我们得到了σ（b1k）<σ（a11）。因此，在有限的步骤数之后，我们必须用一个矩阵退出步骤2b，其中第一行中的所有条目都是零。

第3步。只有当第一行中唯一非零的条目是A11时，才能达到此步骤。

转到步骤4。

（ii）如果步骤2b破坏了列1，其中包含A11以下的一些非零条目，则返回步骤2a。

我们在步骤2a和步骤2b之间执行一系列交替的步骤。因为（1,1）-项的σ值在我们重新进入步骤2a和步骤2b时会严格降低，所以这样的一个序列必须以该形式的矩阵终止。

第4步。如果A11分割了Y中的所有条目，则停止。

否则，会有一些列，比如说j，这样a11就不会划分某些条目aij，所以将jth列添加到第一列。这将生成一个形式的矩阵

如果第1列中的第i个条目不是零，那么回到步骤2a，

同样，因为（1,1）-项的σ值在我们重新进入步骤时严格地减小。

2a和步骤2b，这样的序列必须以矩阵形式终止。

α10···0

m0=0…y

γ

零

式中，α1将y中的每个条目分开。然后，我们将归纳假设应用于y。

如果pid a是多项式环k[x]，其中k是场，那么αi是非零多项式，因此我们可以应用行操作将其前导系数规范化为1。我们得到以下定理。

定理35.19。（smith正规形式）如果m是多项式环k[x]上的m×n矩阵，其中k是一个场，则存在一些可逆的n×n矩阵p和一些可逆的m×m矩阵q，其中p和q是初等矩阵的乘积，其项在k[x]中。

对于一些非零Monic多项式qi∈k[x]，这样

(1) q1 q2···qr，和

(2) M=qdp−1。

特别地，如果我们将定理35.19应用于m＝XiαA的矩阵M，其中A是方矩阵，则DET（Xi＝A）＝χA（x）永远不是零，并且由于Xiα＝QDP，1具有p，q可逆，D中的所有条目必须是非零的，并且得到如下结果：的不变量可以使用基本运算来计算。

定理35.20。如果a是k域上的n×n矩阵，则存在一些可逆的n×n矩阵p和q，其中p和q是初等矩阵的乘积，其项在k[x]中，n×n矩阵d的形式为

对于某些非零Monic多项式，阶数≥1的qi∈k[x]，这样

(1) 问题1问题2···质量管理，

(2) q1，…qm是a的相似度不变量，和

(3) Xi＝aq= qDP—1。

定理35.20中的矩阵D通常被称为A的史米斯范式，尽管这是一个令人困惑的术语，因为D实际上是Xi-A的史米斯范式。

当然，我们从以前的工作中知道，在定理35.19中，α1，…，αr是唯一的，而在定理35.20中，q1，…，qm是唯一的。利用未成年人的一些简单性质也可以证明这一点，但我们将其作为练习（如需帮助，请参阅Jacobson[96]，第3章，定理3.9）。

a的有理正则形式也可以从q−1和d中得到，但首先，让我们考虑定理35.19对pid的推广，它不一定是欧几里德环。

我们需要找到一个“范数”，它将一个自然数σ（a）赋给pid a的任何非零元素，这样，当我们返回到步骤2a和步骤2b时，σ（a）就会减小。由于pid是一个ufd，所以我们使用这个数字

σ（a）=k1+·····+kr

非单位元因子分解中的素因子

，

我们开始了

σ（u）=0

如果u是一个单位。

我们不能再分了，但是我们可以找到GCD，用贝佐特来模拟分法。关键成分是：对于任意两个非零元素a，b∈a，如果a不除以b，则让d=06是a和b的gcd。通过Bezout，存在x，y∈a，这样

ax+by=d。

我们也可以为一些s，t∈a写a=t d和b=−sd，因此tdx−sdy=d，这意味着

tx−sy=1，

因为A是一个积分域。注意

，

这表明方程左边的两个矩阵都是可逆的，第二个矩阵的转置也是可逆的。

（它们都有行列式1）。我们也有

所以

和

.

因为A不划分B，他们的GCD的素因子比A少得多，所以

	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误

σ（d）<σ（a）。

使用形式矩阵

…………………………

0 0··0··1

当xt−ys=1时，我们可以修改步骤2a和步骤2b以获得以下定理。

定理35.21。如果m是PID A上的m×n矩阵，则存在一些可逆的

其中，xt−ys=1，形式为m×n矩阵d

对于一些非零αi∈a，这样

(1) α1α2···αR，和

(2) M=qdp−1。

证明草图。在步骤2a中，如果a11不划分ak1，则首先排列第2行和第k行（如果k=2）6。然后，如果我们写下a=a11和b=ak1，如果d是a和b的gcd，如果x，y，s，t是如上所述确定的，在左边乘以矩阵x y 0 0··0

S T 0 0····0

 

0 0 1 0···0

 

0 0 1···0

………………………………………

0 0··0··1

得到该形式的矩阵

σ（d）<σ（a11）。然后，回到步骤2a。

在步骤2b中，如果a11不划分a1k，则首先排列第2列和第k列（如果k=2）6。然后，如果我们写下a=a11和b=a1k，如果d是a和b的gcd，如果x，y，s，t是如上所述确定的，在右边乘以矩阵x s 0···0

y t 0 0 0···0

 

0 0 1 0···0

 

0 0 1···0

……………………………………

γ

0 0··0··1

得到该形式的矩阵

σ（d）<σ（a11）。然后，回到步骤2b。其他步骤保持不变。当我们返回到步骤2a或步骤2b时，（1,1）-项的σ值严格减小，因此整个过程终止。

通过解释X-A的正则形式QDP—1，可以得到矩阵A的有理规范形是如何得到的。

设f:e→e是尺寸n的k向量空间上的线性映射。从定理35.3（见第35.1节）中回忆，作为k[x]模，ef是自由模的图像。

e[x]按图σ：e[x]→ef，其中e[x]由形式的所有线性组合组成。

p1e1+·····+pnen，

其中（e1，…，en）是e和p1，…，pn∈k[x]是多项式，σ由

σ（p1 e1+·····+pn en）=p1（f）（e1）+·····+pn（f）（en）。

此外，σ的核等于图ψ的图像：e[x]→e[x]，其中ψ（p1e1+·····+pn en）=xp1e1+·····+xpnen−（p1f（e1）+·····+pn（en））。

矩阵A是线性映射F在E＝Kn的正则基（E1，…，EN）上的表示，而Xi—A是关于基（E1，…，En）的矩阵（超过k[x]）。定理35.20告诉我们有k[x]基（u1，…，un）和

（v1，…，vn）关于其中ψ矩阵为d的ef。然后

因为im（ψ）=ker（σ），这意味着

σ（vi）=0，i=1，…，N−m。

因此，w1=σ（vn−m+1），…，wm=σ（vn）跨度ef作为k[x]-模，wi∈e，我们得到

m（f）=k[x]w1···k[x]wm，

其中k[x]wi≈k[x]/（qi）为循环k[x]-模件。因为im（ψ）=ker（σ），我们有

0=σ（ψ（un−m+i））=σ（qi vn−m+i）=qiσ（vn−m+i）=qiwi，

因此，作为k向量空间，循环子空间z（wi；f）=k[x]wi以qi为湮灭子，根据第35.1节的注释，它具有基础（超过k）。

（wi，f（wi），…，f ni−1（wi）），ni=deg（qi）。

在此基础上，用qi的伴随矩阵表示f对z（wi；f）的约束。通过把所有这些基放在一起，我们得到了一个块矩阵，它是f（和a）的标准有理形式。

现在，关于一个正则基（E1，……，恩）（超过k x），d是矩阵的矩阵，d是相对于基（U1，……，UN）和（V1，……，VN）的（超过k x）的矩阵，它告诉我们，q列由基向量的坐标（在K x）组成，…，Vn）关于基础（e1，…，en）。因此，坐标（in

k）在k[x]上跨越ef的向量（w1，…，wm），其中wi=σ（vn−m+i），通过将q列向量坐标中的矩阵a替换为x，并评估得出的表达式得到。

自从

d＝q＝1（Xi～a）p，

矩阵d是由一系列初等行操作（其积为q−1）和一系列初等列操作（其积为p）得到的。因此，要从a计算向量w1，…，wm，我们只需从初等行操作序列中求出q。w产生q-1的操作。技巧是使用列操作以相反的顺序收集行操作的乘积。实际上，如果q-1是基本行操作的产物

Q−1=Ek···E2e1，

然后

Q=e1−1e2−1···ek−1。

现在，行操作在左侧操作，列操作在右侧操作，因此产品e1−1e2−1····ek−1可以作为列操作序列从左到右进行计算。

让我们回顾一下基本行和列操作p（i，k）、ei，j；β和ei，λ的含义。

\1. 作为行操作，p（i，k）将行i和行k进行排列。

\2. 作为列操作，p（i，k）排列列i和列k。

\3. p（i，k）的倒数是p（i，k）本身。

\4. 作为一个行操作，ei，j；β将β乘以j行加到i行。

\5. 作为列操作，ei，j；β将β乘以列i添加到列j（注意索引中的开关）。

\6. ei，j的倒数；β为ei，j；−β。

\7. 作为行操作，ei，λ将行i乘以λ。

\8. 作为列操作，ei，λ将列i乘以λ。

\9. ei的倒数，λ为ei，λ−1。

给定一个正方形矩阵A（k以上），应用到Xi－a中的行和列操作，将其转换为Smith范式，可以涉及多项式的系数，并且有必要解释在这种情况下，操作EI、J、β的作用是什么。如果ei，j；β中的系数β是k的多项式，作为一个行操作，ei，j；β在矩阵x上的作用是将m的jth行乘以用矩阵a代替x得到的矩阵β（a），然后将得到的向量添加到行i中。同样，作为一个列操作，action的ei，j；矩阵x上的β是将m的第i列乘以用矩阵a代替x得到的矩阵β（a），然后将得到的向量加到j列上。现在可以给出一个计算矩阵有理正则形式的算法。我们对i=1，…k应用基本列操作ei-1，从单位矩阵开始。

n×n矩阵转换为有理规范形的算法

在应用基本行和列运算来计算Xi—a的史米斯范式D时，跟踪行操作并执行以下步骤：

\1. 设p 0=in，对于每一个基本行操作e，执行以下操作：

(a) 如果e=p（i，k），则排列i列和p 0的k列。

(b) 如果e=ei，j；β，将p 0的第i列乘以用矩阵a代替x所得的矩阵β（a），然后从j列中减去所得向量。

(c) 如果e=ei，λ，其中λ∈k，则将p 0的第i列乘以λ−1。

\2. 当步骤（1）终止时，p 0的第一个n-m列为零，最后一个m为线性无关。对于i=1，…，m，将p 0的第（n−m+i）列wi依次乘以i、a1、a2、ani−1，其中ni是多项式qi的阶数（出现在d中），并形成由向量w1、aw1，…、an1−1w1、w2、aw2，…、an2−1w2，…、wm、awm，…、anm−1wm组成的n×n矩阵p。

那么，p−1ap是a的标准有理形式。

以下是Dummit和Foote[55]的一个例子（第12章，第12.2节）。设A为矩阵

.

应该检查以下行和列操作序列生成Xi—a的史米斯范式D：

.

然后，应用上述算法的步骤1，我们得到列操作的顺序：

网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误	网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误	网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误	网络错误 网络错误 网络错误	网络错误
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网络错误

算法的第2步生成向量

，

因此，a的有理正则形式是