第三十四章

模块简介；PID上的模块

34.1交换环上的模块

在本章中，我们将介绍交换环上的模（具有单位）。在对自由模、扭转模等基本概念及其基本结果进行了简要综述之后，我们重点研究了PID上有限生成的模，并证明了这类模的结构定理（不变因子和初等除数）。我们的主要目标不是对模作全面的阐述，而是将结构定理应用于由作用于有限维向量空间e上的线性映射f定义的k[x]-模ef，并得到f的几个正规形式，包括有理规范形式。

模是向量空间e在用交换环a（单位为1）代替场k的场k上的推广。虽然形式上的定义是相同的，但事实上，A的一些非零元素不可逆，会产生一些严重的后果。例如，对于一些非零的λ∈a和一些非零的u∈e，可能λ·u=0，并且一个模可能不再有基。

为了完整起见，我们给出了模的定义，虽然它与定义3.1相同，但场k被环a代替。在本章中，所有考虑的环都被假定为交换环，并具有一个恒等元1。

定义34.1.给定一个环A，一个（或一个）模上的（左）模是一个集合M（向量），加上两个运算+：m×m→m（称为矢量加法），和·：a×m→m（称为标量乘法），满足所有α，β∈a和所有u，v∈m的下列条件；

（m0）m是一个阿贝尔群w.r.t.+，单位元为0；

一千一百四十一

（m1）α·（u+v）=（α·u）+（α·v）；

（m2）（α+β）·u=（α·u）+（β·u）；

（m3）（αβ）·u=α·（β·u）；

（m4）1·u=u。

给定α∈a和v∈m，元素α·v也用αv表示，a环常称为标量环。

除非另有规定，或者除非我们处理几个不同的环，在本章的其余部分中，我们假设所有A-模都是关于固定环A定义的。因此，我们将A-模简单地称为一个模件。

从（m0），模块总是包含空向量0，因此是非空的。从

（−m1），我们得到α）·v=−（αα··v0=0）。环和它本身可以看作是一个模块而不是它本身。从（m2）中，我们得到0.v=0，矢量在环中是加法，标量在环中是乘法。

当环A是场时，A模是向量空间。当a=z时，z模只是一个交换群，其作用由

.

第3.3节“线性组合、线性独立性和线性相关性”中的所有定义、重命名为子模块的子空间均适用于模块。命题

3.3也适用于由一组向量跨越的模块。基础的定义（定义3.4）也适用于模块，但第3.4节中唯一适用于模块的结果是提案3.10。不幸的是，每个模块都有一个基础，这是一个较长的事实。为了

例如，对于任何非零整数p1 x∈andz/npz2/q，同样地，2是线性相关的，sinceq作为zn模块没有基础。任意两个不同的非零元素∈z，z模z/nz没有基，因为n·x=0

Q1

.

此外，Z模q不是有限生成的。如果p1/q1，···pn/qn q生成q，那么对于任何x=r/s∈q，我们有

，

式中，ci∈z表示i=1，…，n。前一行的左侧等价于

，

其中分子是z范围内理想的元素（c1，c2，···，cn）。由于Z是一个PID，存在一个∈Z，使得（a）是（c1，c2，···，cn）所跨越的理想。因此

，

式中m∈z.集

，（a1，b）=1.

如果q是一个有限生成的z模，我们就推导出所有x∈q

，

当a1/b是一个固定的有理数时，显然是一个矛盾。（特别是x=1/p，其中p是一个固定的素数p>b。如果ma1/b=1/p，那么ma1∈z与ma1=b1/p，这是不可能的，因为（b1，p=1和p>b1。）

定义3.9可概括为环，并产生自由模。

定义34.2.给定一个交换环a和任意（非空）集i，让a（i）是笛卡尔积的子集，我们用一个标量定义加乘，如下所示：由a中所有族（λi）i∈i组成的ai，具有有限的标量支持。

（λi）i∈i+（μi）i∈i=（λi+μi）i∈i，

而λ·（μi）i∈i=（λμi）i∈i。

立即证明标量的加法和乘法定义良好。因此，（i）是一个模块。此外，由于考虑了具有有限支撑的族，因此向量（i）的模（i）i∈i族。当定义为（i=1，…，n），我们表示为（i）j=0aif（ji）=6 byi aand（n.函数i）i=1时，显然是一个基：i→a（i），这样，（i）=ei对于每个i∈i，显然是一个注射剂。

定义34.3.A模块M是自由的，只要它有基础。

模块A（I）是一个自由模块。

第3.6节中的所有定义适用于模块、线性映射、内核、图像，但等级定义除外，等级定义必须不同。提案3.12、3.13、3.14和

3.15模块保持。然而，其他命题并不概括为模块。同构的定义推广到模。因此，一个模件是自由的，如果它与A（I）型模件是同构的。

第3.7节概述模块。给定模块m的子模块n，我们可以定义商模块m/n。

如果A是A中的理想，如果M是A模，我们将AM定义为形式的有限和集。

a1m1+·····+akmk，ai∈a，mi∈m.

立即证实AM是M的一个子模。

有趣的是，定理3.9的一部分断言向量空间的任意两个基对模块具有相同的基数。证明这一事实的一种方法是通过商过程“传递”到向量空间。

定理34.1.对于任意自由模M，M的任意两个基具有相同的基数。

证明草图。我们给出了有限基的论点，但它也适用于无限基。诀窍是选取a中的任何最大理想m（其存在性由定理b.3保证）。然后，a/m是一个字段，m/mm可以在a/m上形成一个向量空间；我们把细节留作练习。如果（u1，…，un）是m的基，那么很容易看出这个基的图像是向量空间m/mm的基。根据定理3.9，m/mm任意基上的元素数n是不变的，因此m的任意两个基必须具有相同的元素数。

定义34.4.自由模块任何基础上的元素的公共数目称为自由模块的维数（或秩）。

我们应该意识到模块中线性独立的概念有点复杂。根据定义，由单个非零向量构成的单元素序列（U）是线性独立的，如果对所有的λ∈a，如果λu=0，那么λ=0。但是，有一些自由模块包含非零向量，这些向量不是线性独立的！例如，环a=z/6z被看作是一个模，它本身具有基（1），但零除数（如2或4）不是线性独立的。使用定义34.5中介绍的语言，自由模块可能具有扭转元件。也有一些非自由模，每个非零向量都是线性独立的，比如q/z。

第4.1节关于矩阵的所有定义都适用于自由模块，所有命题也适用。同样，第5.1节中关于直接和和和直接积的所有定义适用于模块。所有不涉及扩展基的命题仍然成立。

重要命题5.10以以下形式存在。

提案34.2.设f:e→f为两个a模之间的一个射线性映射，其中f为自由模。给定f的任何基（v1，…，vr），对于任意r向量u1，…，ur∈e，使得f（ui）=vi，对于i=1，…，r，向量（u1，…，ur）是线性独立的，并且模件

e是直接和

E=Ker（F）U，

式中，u是e的自由子模，由基（u1，…，ur）跨越。

证据。选取任意w∈e，在基（v1，…，vr）上写f（w）为f（w）=a1v1+·······+arvr，设u=a1u1+······+arur。注意

F（W−U）=F（W）−F（U）

=a1v1+·····+arvr−（a1f（u1）+····+arf（ur））

=a1v1+·····+arvr−（a1v1+····+arvr）=0。

因此，h=w−u∈ker（f），由于w=h+u与h∈ker（f）和u∈u，我们得到e=ker（f）+u。

如果u=a1u1+·······+arur∈u也属于ker（f），那么

0=f（u）=f（a1u1+····+arur）=a1v1+····+arvr，

因为（v1，…，vr）是一个基础，i=1，…，r时ai=0，这表明ker（f）u=（0）。因此，我们有一个直接的和

E=KER（F）U.

最后，如果a1u1+·····+arur=0，

上述推理表明，i=1，…，r，so（u1，…，ur）的ai=0是线性无关的。因此，模块U是一个自由模块。

我们应该知道，如果我们有一个模块的直接和

U=U1····嗯，

每一个向量u∈u都可以写成一个独特的方式

u=u1+·····+um，

但是，与向量空间的情况不同，这并不意味着任何m非零向量（u1，…，um）都是线性无关的。例如，我们有直接和

Z/2Z Z/2Z

其中z/2z被视为z模件，但（1,0）和（0,1）不是线性无关的，因为

2（1,0）+2（0,1）=（0,0）。

一个有用的事实是，每个模块都是一些自由模块的商。实际上，如果m是a模，那么选择m的任何跨度集i（例如，i=m存在这样的一个集），并考虑唯一的同态：a（i）→m将标识函数从i扩展到自身。那么我们有一个同构a（i）/ker（η）≈m。

特别地，如果m是有限生成的，我们可以把i选为一组有限的生成器，在这种情况下，我们得到一个自然数n的同构An/Ker（η）≈m。有限生成的模块有时被称为有限类型的模块。

案例n=1特别有意义。如果模块m是由单个元素生成的，则称为循环模块m。在这种情况下，m=a x，对于一些x∈m，我们得到了线性映射mx:a→m，由a 7→ax给出，对于每一个a∈a，它显然是可预测的，因为m=ax。由于mx的核a=ker（mx）是a中的理想核，我们得到一个同构a/a≈ax。相反，对于A的任何理想A，如果m=a/a，我们看到m是由m中1的图像x生成的，因此m是循环模。

理想a=ker（mx）是所有a∈a的集合，因此ax=0。这被称为X的歼灭者，它是以下更一般情况的特例。

定义34.5.如果m是任何a模，对于m的任何子集s，所有a∈a的集合，使得所有x∈s的ax=0称为s的湮灭子，并用ann（s）表示。如果s=x，我们写ann（x）而不是ann（x）。非零元素x∈m称为扭转元素iff ann（x）=（0）6。由m和0中的所有扭转元件组成的集合用mtor表示。

立即证实了ann（s）是a的理想，根据定义，mtor=x∈m（a∈a，a=0）（6 ax=0）。

如果一个环有零除数，那么A模M中所有扭转元件的集合可能不是M的子模。例如，如果m=a=z/6z，那么mtor=2,3,4，但是3+4=1不是扭转元件。此外，自由模块可能不会无扭转，因为可能存在扭转元件，如Z/6Z的示例所示，自由模块本身就是一个自由模块。

然而，如果a是一个积分域，那么自由模是无扭模，mtor是m的子模（回想一下，积分域是交换的）。

提案34.3.如果a是一个积分域，那么对于任何a模m，m中扭转元件的集合mtor是m的子模。

证据。如果x，y∈m是扭转元（x，y=0）6，则存在一些非零元a，b∈a，使得ax=0，by=0。由于a是一个积分域，a b=06，那么对于所有的λ，μ∈a，我们得到ab（λx+μy）=bλax+aμby=0。

因此，mtor是m的一个子模块。

模块mtor被称为m的扭转子模块，如果mtor=（0），那么我们就说m是无扭转的，如果m=mtor，那么我们就说m是扭转模块。

如果m不是有限生成的，那么mtor=06是可能的，但是mtor的湮灭子减小到0。例如，以z模块为例

Z/2Z×Z/3Z×Z/5Z×····×Z/PZ×···，

其中p的范围超过素数集。调用此模块M和素数组P。观察

m由αp p∈p生成，其中αp是唯一非零项为1p的元组，z/pz的生成器，即：

.

换句话说，m不是有限生成的。此外，由于p·1p=0，我们得到αp p∈p mtor。然而，由于p在所有素数上都有范围，因此αp p∈p的唯一可能的非零湮灭子将是所有素数的乘积。因此，ann（αp p∈p）=（0）。由于子集包含，我们得出的结论是ann（mtor）=0。

然而，如果m是有限生成的，那么mtor=06是不可能的，但是mtor的湮灭子被减少到0，因为如果x1，…，xn生成m，如果a1，…，则湮灭x1，…，xn，然后a1······························

提案34.4.如果a是一个积分域，那么对于任何a模m，商模m/mtor都是无扭转的。

证据。设x为m/mtor的一个元素，假设a中某些a=06的ax=0。这意味着ax∈mtor，因此a中有一些b=06，这样bax=0。因为a，b=06，a是一个积分域，ba=06，所以x∈mtor，这意味着x=0。

如果a是一个积分域，如果f是一个带基的自由a模（u1，…，un），那么f可以嵌入k向量空间fk，与kn同构，其中k=frac（a）是a的分数域。同样，f的任何子模M嵌入fk的子空间mk。注意，A模M中的任何线性无关向量（u1，…，um）在向量空间m k中保持线性无关，因为对k的任何线性依赖关系的形式为

对于某些ai，bi∈a，b1······bm=06，因此如果我们乘b1·····bm 6=0，我们得到了a模m中的线性依赖性，然后我们看到a模m中的线性独立向量的最大数目最多是n，有限格中的线性独立向量的最大数目是n。自由模的内化子模（在积分域上）称为模M的秩。如果（u1，…，um）是线性无关的，其中m是m的秩，那么对于每个非零v∈m，都有一些a，a1，…，am∈a，而不是全部为零，这样av=a1u1+······+amum。

我们必须有a=06，否则，ui的线性独立性意味着a1=······=am=0，这与a，a1，…，am∈a不是全部为零的事实相矛盾。

不幸的是，通常情况下，无扭转模块不是自由的。例如，q作为z模件是无扭转的，但不是自由的。如果我们把自己局限于PID上有限生成的模块，那么这些模块就分裂为它们的扭转模块与自由模块的直接和，扭转模块在循环模块方面有一个很好的分解。

下面的命题表明，在PID中，自由模的子模是自由的。有多种方法可以证明这个结果。我们向lang[106]提供了证明（见第三章第7节）。

提案34.5。如果a是PID，如果f是维数n的自由A模，则f的每个子模m最多是维数n的自由模。

证据。让（u1，…，un）作为f的基础，并让m r=m（au1·······a ur），m与（u1，…，ur）生成的自由模件的交集，对于r=1，…，n，我们通过r上的归纳证明，每个mr都是自由的，并且最多是r的维。因为对于某些r，m=mr，这将证明我们的结果。

考虑m1=m au1。如果m1=（0），我们就完成了。否则就让

A=A∈A AU1∈M。

立即证明了A是一个理想，由于A是一个PID，a=a1 a，对于一些a1∈a，由于我们假设m1=（0）6，我们得到a1=06，a1u1∈m，如果x∈m1，那么x=au1对于一些a∈a，那么a∈a1 a，因此a=b a1对于一些b∈a，那么m1=a a1u1，这是免费。

归纳地假设m r最多不存在r<n的维数，并让a=a∈a（b1∈a）·····（br∈a）（b1u1+·····+brur+aur+1∈m）。

立即证明了A是一个理想，由于A是一个PID，a=ar+1a，对于一些ar+1∈a，如果ar+1=0，那么mr+1=mr，我们就这样做了。

如果ar+1=06，那么有一些v1∈au1···aur，这样

w =v1+ar+1ur+1∈m。

对于任何x∈mr+1，有一些v∈au1·····aur和一些a∈a，这样x=v+aur+1。然后，a∈ar+1a，所以有一些b∈a，这样a=bar+1。因此

x −bw=v−bv1∈mr，

因此x=x−bw+bw，x−bw∈mr，这表明

mr+1=mr+aw。

另一方面，如果u∈mr aw，那么既然w=v1+ar+1ur+1，我们有

U=bv1+bar+1ur+1，

对于某些b∈a，有u，v1∈au1···aur，如果b=06，则得出非平凡线性组合

bv1−u+bar+1ur+1=0，

与（u1，…，ur+1）是线性无关的事实相矛盾。因此，

mr+1=mr aw，

这表明mr+1最多是r+1的无量纲。

下面两个例子说明了为什么34.5命题的假设要求

个性签名。首先考虑6Z=0,1,2,3,4,5作为带发电机1的自由6Z模块。6Z-

子模块0,2,4不是自由的，即使它是由2生成的，因为3.2=0。命题34.5失败了，因为6Z甚至不是一个积分域。接下来，将z[x]视为带生成器1的自由z[x]-模块。我们声称理想

（2，x）=2p（x）+x q（x）p（x），q（x）∈z[x]，

不是自由Z[X]-模块。实际上，（2，x）的任何两个非零元素，比如s（x）和t（x），都是线性相关的，因为t（x）s（x）−s（x）t（x）=0。第34.5号提案再次失败，因为z[x]不是PID。见例31.1。

命题34.5意味着，如果m是PID上有限生成的模，那么m的任何子模n也是有限生成的。

事实上，如果（u1，…，un）生成m，那么我们有一个从自由模块a n到m的投影：an→m。n的逆图像−1（n）是自由模块an的子模块，因此根据命题34.5，−1（n）是自由和有限生成的。这意味着n是有限生成的（并且它有许多生成器≤n）。

我们还可以证明PID上有限生成的无扭模块实际上是自由的。稍后我们将对此事实提供另一个证明，但以下证明具有指导意义。

提案34.6.如果a是PID，如果m是有限生成的无扭模块，则m是自由的。

证据。设（y1，…，yn）为m的一些发生器，设（u1，…，um）为（y1，…，yn）的最大子序列，该子序列与线性无关。如果m=n，我们就完了。否则，由于m的最大值，对于i=1，…，n，有一些ai=06，这样aiyi可以表示为（u1，…，um）的线性组合。如果a=a1…a n，那么a1…anyi∈au1····aum对于i=1，…，n，这表明

AM AU1····AUM。

现在，a是一个积分域，由于a i=06，对于i=1，…，n，我们有a=a1…an=06，因为m是无扭的，所以map x 7→ax是内射的。由此可知，M与自由模块au1·····aum的子模块同构。在命题34.5中，这个子模如果是自由的，因此m是自由的。

虽然我们将得到这个结果作为PID上有限生成模块的结构定理的一个推论，但我们可以快速证明以下定理。

定理34.7。设m为PID上有限生成的模块。那么m/mtor是自由的，并且存在m的自由子模f，因此m是直接和

m=m或f.

F的尺寸是唯一确定的。

证据。根据34.4 m/mtor命题，它是无扭转的，由于m是有限生成的，所以它也是有限生成的。根据34.6号提案，m/mtor是免费的。我们有商线性映射π：m→m/mtor，它是可射的，m/mtor是自由的，所以根据命题34.2，有一个与m/mtor同构的自由模f，这样

m=克（π）f=米或f。

由于f与m/mtor同构，所以f的维数是唯一确定的。

定理34.7将PID上有限生成模块的研究简化为有限生成扭转模块的研究。这是lang[106]之后的路径（第三章，第7节）。

34.2模块的有限表示

由于模块通常不是免费的，因此自然会寻找处理非自由模块的技术。提示是，如果m，那么我们知道存在一个假设同态，m是一个a-模，如果（ui）i：∈i a is任意一组生成器（i）→m来自自由模a（i），由i生成到m。此外，m同构于a（i）/ker（）。然后，我们可以从自由模中选取一组发生器（ψ：a）→ker（），j∈j表示由生成的ker（（j），再在ker（）上选取一组Surjective Mapj。地图ψcan

（J A

从（j）到（i）的线性图，我们有

im（ψ）=ker（）

_是主观的。注意m同构于a（i）/im（ψ）。在这种情况下，我们说我们有一个精确的序列，这由图表表示。

a（j）ψ/a（i）_/m/0.

定义34.6.给定A模M，M的表示是一个精确的序列。

a（j）ψ/a（i）_/m/0

也就是说1。im（ψ）=ker（）。

2。⑨是主观的。

因此，m同构于a（i）/im（ψ）。如果i和j都是有限的，我们就说这是m的有限表示。

观察到在有限表示的情况下，i和j是有限的，如果j=n和i=m，那么ψ是一个线性映射ψ：an→am，因此它由一个称为m的表示矩阵中的系数的m×n矩阵r给出。r的每一列rj可以认为是一个关系。

aj1e1+·····+ajmem=0

在发电机中，e1，…，em of am，所以我们在这些发电机之间有n个关系。另外，e1，…，em在m中的图像是m的生成元，因此我们可以把上述关系看作m的生成元之间的关系。

m的子模由r列所跨越，是m的一组关系，r的列称为m的一组完整关系。向量e1，…，em称为m的一组生成器。我们也可以说，生成器e1，…，em和关系r1，…，rn（r的列）a是模M的一种（有限）表示法。R表示的模M与AM/RAN同构，用RAN表示的是由R定义的线性映射的A的图像。

例如，由1×1矩阵r=（5）表示的z-模是z的商，z/5z，由对应于单个关系的子模5z表示。

5e1=0.

但是Z/5Z还有其他演示。例如，如果我们考虑关系矩阵

，

介绍模块M，然后我们有关系

2e1+e2=0

-e1+2e2=0。

从第一个方程，我们得到e2=-2e1，代入第二个方程，我们得到

-5e1=0.

由此可以消除发电机e2，m由满足关系的单个发电机e1产生。

5e1=0，

表示m≈z/5z。

上面的例子表明，许多不同的矩阵可以表示相同的模块。这里有一些在不改变模块m同构类的情况下操作关系矩阵的有用规则。

提案34.8。如果r是表示a模m的m×n矩阵，那么下面所列形式的矩阵s表示相同的模（与m同构的模）：

(1) S=qrp−1，其中q是m×m可逆矩阵和p a n×n可逆矩阵（均在a上）。

(2) S是通过删除一列零从R中获得的。

(3) r的jth列为ei，通过删除第i行和jth列，从r中得到s。

证据。（1）根据定义，我们有一个同构m≈am/r an，其中我们用ran表示由r定义的线性映射的a的图像。从r到qrp−1对应于在am中改变基和在an中改变基，这产生一个与m同构的商模。

(2) 零列不影响R列的跨度，因此可以消除。

(3) 如果r的jth列是ei，那么取商am/ran时，发生器ei变为零。这意味着生成器ei是冗余的，当我们删除它时，我们得到一个关系矩阵，其中r的第i行和r的第j列被删除。

矩阵p和q通常是初等运算的产物。我们应该小心，不能消除一行零。例如，2×1矩阵

给出单一关系

4e1=0，

但是第二个发电机e2不能消除。该矩阵表示模块z/4z×z，另一方面，1×2矩阵

给出两个关系

4e1=0，

0＝0，

因此，第二个发生器可以被消除，而r2给出了模块z/4z。

命题34.8的规则使得在某些情况下简化表示矩阵成为可能。例如，考虑关系矩阵

.

从第2行减去第3行的2倍，从第1行减去第3行的3倍，我们得到

.

删除第1列和第3行后，我们得到

.

从第2行减去第1行的2倍，我们得到

.

删除第2列和第1行后，我们得到

.

从第2列减去第1列的2倍，我们得到

.

最后，我们可以去掉第二列

（4）

显示R表示模块Z/4Z。

不幸的是，有限维自由模的子模不一定是有限生成的，但根据命题34.5，如果a是PID，则有限生成模的任何子模都是有限生成的。这个性质实际上是诺瑟尔环的特征。为了证明这一点，我们需要一个稍微不同的34.2号提案版本。

提案34.9.设f:e→f为两个a模e和f之间的线性映射。

(1) 给定im（f）的任意一组生成器（v1，…，vr），对于任意r向量u1，…，ur∈e，使得f（u i）=vi，对于i=1，…，r，如果u是e的有限生成子模，由（u1，…，ur）生成，那么模块e是和

E=Ker（F）+U。

因此，如果ker（f）和im（f）都是有限生成的，那么e就是有限生成的。

(2) 如果e是有限生成的，那么im（f）也是有限生成的。

证据。（1）选取任意w∈e，在im（f）的发生器（v1，…，vr）上写f（w），f（w）=a1v1+·······+arvr，设u=a1u1+·······+arur。注意

F（W−U）=F（W）−F（U）

=a1v1+·····+arvr−（a1f（u1）+····+arf（ur））

=a1v1+·····+arvr−（a1v1+····+arvr）=0。

因此，h=w−u∈ker（f），由于w=h+u与h∈ker（f）和u∈u，我们有e=ker（f）+u，如权利要求所述。如果k（f）也是有限生成的，通过对k（f）和（v1，…，vr）取有限生成集的并集，我们得到了e（2）的有限生成集，如果（u1，…，un）生成e，很明显（f（u1），…，f（un））生成im（f）。

定理34.10。一个环A不是另外的iff，一个有限生成的a模M的每个子模N本身就是有限生成的。

证据。首先，假设有限生成的A模M的每个子模N本身是有限生成的。环A本身是一个模块，由单个元素1生成。此外，A的每一个子模都是一个理想，因此假设意味着A中的每一个理想都是有限生成的，这表明A是非理论的。

现在，假设A是非特例的。首先，观察它足以证明有限生成自由模A（n≥1）的定理。事实上，假设我们证明了对于每个n≥1，a的每个子模都是有限生成的。如果m是任何有限生成的a-模件，那么对于某些n（其中n是m的有限生成集的元素数），则存在一个surjection，即an→m。给定m的任何子模n，l=_−1（n）是an的子模。因为an是有限生成的，所以an的子模n是有限生成的，然后n=a（l）是有限生成的。

它仍然需要证明m=an的定理。我们通过对n的归纳来进行，对于n=1，a的子模n是一个理想，因为a是诺瑟尔的，n是有限生成的。对于n>1的诱导步骤，考虑投影π：an→a−1，由

π（a1，…，an）=（a1，…，an−1）。

π的核心是模

ker（π）=（0，…，0，an）∈an an∈a≈a.

对于a n的任何子模n，设：n→an−1为π对n的限制。由于（n）是an−1的子模，根据诱导假设，im（）=（n）是有限生成的。此外，Ker（π）=N Ker（π）是Ker（π）≈A的子模，因此Ker（π）与A的理想同构，因此是有限生成的（因为A是非其他的）。由于im（_）和ker（）都是有限生成的，根据命题34.9，子模n也是有限生成的。

由于定理34.10的结果，每一个有限生成的A-模在一个诺特兰环A上都是有限生成的，因为如果：an→m是对有限生成的M模的一个投影，那么ker（）是有限生成的。特别是，如果a是一个PID，那么每个有限生成的模块都是有限呈现的。

如果A环不是非对称的，则存在有限生成的非有限呈现的A模。这不容易证明。

我们将在命题34.35中证明，如果a是PID，那么矩阵r可以“对角化”为

R=qdp−1

其中d是一个对角矩阵（定理35.18和35.21中给出了该命题的更多计算版本）。从命题34.8可以看出，PID上每一个有限生成的模块m都有一个与m生成器的表示，并且r的关系式αiei=0，

其中αi=06和α1α2····αr，表明m与直接和同构

m≈am−r a/（α1a）···a/（αra）。

这是定理34.25的一个版本，将在第34.5节中得到证明。

34.3交换环上模的张量积

可以定义环上模件的张量积，如第32.2节所述，该节的结果继续保持不变。第32.4节的结果也将继续保留，因为它们基于通用映射属性。但是，第32.3节关于基础的结果通常是失败的，除了自由模块。同样，第32.5节关于对偶性的结果通常是失败的。张量代数可以定义为模，如32.6节。对称张量和交替张量可以定义为模，但同样，涉及基的结果通常是失败的。

模的张量积具有一些意想不到的性质。例如，如果p和q是相对质数整数，那么

Z/PZ ZZ/QZ=（0）。

这是因为，根据贝佐特的身份，有a，b∈z这样

ap+bq=1，

所以，对于所有x∈z/pz和所有y∈z/qz，我们有

x y=ap（x y）+bq（x y）=a（px y）+b（x qy）

=a（0 y）+b（x 0）=0。

通过限制所考虑的模类，可以恢复向量空间中张量积的某些性质。例如，投影模块具有良好的W.R.T.张量积行为。

自由a-模f，是一个在f中有一个线性无关向量族（e i）i∈i的模。射影模具有许多等价的特征。以下是最适合我们需要的：

定义34.7.如果A模是自由模的求和，即如果有自由A模，f和一些A模，q，则A模是投影的，因此

F=P Q.

对于任何一个A模块，m，我们让m=homa（m，a）作为它的对偶。我们有以下建议：

提案34.11.对于任何有限生成的射影A模、P模和任何A模，

34.3。交换环上模的张量积

证明草图。我们只考虑第二个同构。因为p是投影的，我们有一些a模，p1，f，和

p p1=f，

其中f是一些自由模件。现在，我们知道，对于任何A模块，U、V、W，我们都有

homa（u_v，w）=homa（u，w）yhoma（v，w）=homa（u，w）homa（v，w），

所以

，homa（p，q）homa（p1，q）=homa（f，q）。

利用张量分布W.R.T.副产物的事实，用q进行张量，得到

现在，32.17命题的证明是通过的，因为f是自由的，并且是有限生成的，所以

homa（f，q）=homa（p，q）homa（p1，q）

是同构，当α映射p aq到homa（p，q）时，它在这两个空间之间产生同构。

34.11命题的同构α：p a q～homa（p，q）仍然由下式给出

α（u f）（x）=u（x）f，u∈p，f∈q，x∈p.

引入评价图evx:p a q→q是方便的，每x p定义为

evx（u f）=u（x）f，u∈p，f∈q.

我们需要对32.13号提案第（4）部分进行以下概括。

提案34.12。给出了任意两个A模族（mi）i∈i和（nj）j∈j（其中i和j是有限索引集），我们得到了同构

.

命题34.12也适用于无限索引集。

提案34.13。设m和n为两个a模，n为一个自由模，取n的任何基（v1，…，vn），则m n的每一个元素都可以用一种独特的方式表示为形式的和。

u1 v1+·····+un vn，ui∈m，

因此m n与mn同构（作为a模）。

证据。因为n与基（v1，…，vn）是自由的，所以我们有同构。

n≈av1···avn。

通过命题34.12，我们得到一个同构

m n≈m（av1····avn）≈（m av1）····（m avn）。

因为（v1，…，vn）是n的基础，每个vj都是无扭的，所以图a 7→avj是a到avj的同构，因为m a≈m，我们有同构。

m n≈（m a）·····（m a）≈m···m=mn，

如要求。

命题34.13也适用于n的无限基（vj）j∈j。显然，命题34.13的一个版本也适用于m是自由的，n是任意的。

下一个提议也将被需要。

提案34.14。给定A模M和A中的理想A，存在同构

（a/a）a m≈m/am

由图（a u）7→au（mod a m）给出，对于所有a∈a/a和所有u∈m的素描证明。考虑图：（a/a）×m→m/am，由下式给出

⑨（a，u）=au（mod am）

对于所有的a∈a/a和所有的u∈m，立即检查是定义良好的，因为au（mod am）不依赖于在等价类a中选择的代表a∈a，而是双线性的。因此，诱导一个线性图：（a/a）m→m/am，使得_（a u）=au（mod am）。我们还通过定义图ψ：m→（a/a）m

ψ（u）=1 u。

因为a m是由a∈a和u∈m形式的向量产生的，并且

ψ（a u）=1 au=a u=0 u=0，

我们看到a m ker（ψ），因此ψ诱导了一个线性图ψ：m/am→（a/a）m。我们有

和

由此可知，ψ和ψ是互逆的。

我们现在发展了必要的理论，以了解有限生成模块的结构超过PID。

34.4 PID上的扭转模块；初级分解

我们首先考虑从直接分解得到的产品环上的模块，如定义31.3所示。在本节和下一节中，我们密切关注Bourbaki[26]（第七章）。设a为交换环，设（b1，…，bn）为a中的理想，使a≈a/b1×a/bn同构。根据定理31.16第（b）部分，存在a的一些元素e1，…，en，

E2i=Ei

eiej=0，i=6J e1+·····+en=1a，

而bi=（1a−ei）a，对于i，j=1，…，n。

给定a≈a/b1×······×a/bn的A模m，让mi是被bi湮灭的m的子集，即，

mi=x∈m bx=0，对于所有b∈bi。

因为bi是一个理想，所以每个mi都是m的一个子模，观察到如果λ，祄∈a，b∈bi，如果λ−祄=b，那么对于任何x∈mi，因为bx=0，

λx=（μ+b）x=μx+bx=μx，

因此，可以将MI视为A/BI模块。

提案34.15。给定一个环a≈a/b1×·····×a/bn（如上所述），a模m是直接和

m=m1····mn，

其中mi是被bi湮灭的m的子模。

证据。对于i=1，…，n，设pi:m→m为下式给出的映射

pi（x）=eix，x∈m。

图Pi显然是线性的，由于EIS满足的特性，我们有

p2i=π

pipj=0，i=6J p1+····+pn=id.

这表明pi是投影，根据命题5.6（也适用于模块），我们有一个直接和

m=p1（m）····pn（m）=e1m····enm.

它仍然显示mi=eim。由于（1−ei）ei=ei−ei2=ei−ei=0，我们发现ei m被bi=（1−ei）a湮灭。此外，对于i=6 j，对于任何x∈m，我们有（1−ei）ejx=（ej−eiej）x=ejx，因此ejm的非零元素不会被1−ei湮灭，因此不会被bi湮灭。根据声明，EIM=mi。

定义34.8.给定a模m，对于任意非零α∈a，设

m（α）=x∈mαx=0，

m的子模被α湮灭。如果α除以β，那么m（α）m（β），我们可以定义

，

m的子模，由m的所有元素组成，被α的某个幂次湮灭。

如果n是m的任何子模，很明显

nα=m mα。

回想一下，在PID中，不可约元素也称为素数元素。

定义34.9.如果a是pid，p是a中的基本元素，那么如果m=mp，那么模块m就是p-primary。

提案34.16。设m为PID a上的模。对于每个非零α∈a，如果

是把α分解成素因子（其中u是一个单位），那么被α湮没的M（α）模块是直接和

.

此外，对于某些γi∈a，m（α）到的投影形式为x 7→γix，并且

.

证据。首先观察M（α）被α湮没，我们可以把M（α）看作A/（α）模块。由中国余数定理（定理31.15）应用于理想（

）我们有同构

.

因为我们也有同构

，

我们可以应用34.15号提案，得到一个直接和

m（α）=n1····nr，

式中，ni是m（α）被（）湮灭的a/（α）子模，对ni的投影形式如命题所述。然而，ni只是被pni i i湮灭的a模m（pni i），因为（pni i）/（α）的每一个非零元素都是某种非零a∈a形式的等价类模（α），并且根据定义，x∈ni iff

对于所有a∈a−0，

特别是对于a=1，这意味着

包涵体M（PNI I）M（α）MPI清晰可见。相反，选择x∈m（α）mpi，这意味着对于某些s≥1，该值为0。如果s<ni，我们就完成了，所以假设s≥ni。

因为是α和psi的gcd，贝佐特，我们可以写

对于一些λ，μ∈a，然后=0，这表明），根据需要。

这是34.16号提案的一个例子。设m=z/60z，其中m被视为z模件。m中的元素用x表示，其中x是0≤x≤59的整数。设α=6并定义

m（6）=x∈m 6x=0=0,10,20,30,40,50。

由于6=2·3，命题34.16意味着m（6）=m（2）m（3），其中

.

回想一下，如果M是环A上的扭模，它是一个积分域，那么M中的元素X1、…、Xn的每一个有限集合都被A= A1·····A湮没，其中每个AI湮没XI。

由于a是一个PID，我们可以选取a的不可约元素的集合p，这样a的每个非零非单元都有一个到一个单元的唯一因式分解。然后，我们得到了扭转模量的以下结构定理，它甚至适用于非有限生成的模量。

定理34.17。（主分解定理）设m为PID上的扭转模块。对于每一个不可约元素p∈p，让mp是m的子模，被p的某个幂湮灭，则m是（可能无限）直接和

M=MMP。

P P

证据。由于m是一个扭转模，对于每一个x∈m，都有一些α∈a，使得x∈m（α）。根据命题34.16，如果是把α分解成素因子（其中u是一个单位），那么M（α）模块是直接和

.

这意味着x可以写为

x=x xp，xp∈mp，

P P

只有有限多个xp非零。如果

十倍

xp=yp p∈p p∈p

对于所有的p∈p，只有有限的xp和yp非零，那么xp和yp被一些常见的非零元素a∈a所湮灭，所以xp，yp∈m（a）。在命题34.16中，我们必须对所有的p求xp=yp，这证明我们有一个直接和。

很明显，如果p和p0是两个不可约元素，例如，对于某些单元u，p=up0，那么mp=mp0。因此，MP只依赖于理想（P）。

定义34.10.给定一个PID上的扭转模块m，与p中不可约元素相关联的模块mp称为m的p主分量。

如下一个命题所示，扭转模块的P主分量唯一地决定了模块。

提案34.18。PID上的两个扭振模块m和n对每个不可约元素p∈p都是同构iff，m和n的p-主分量mp和np是同构的。

证据。设f:m→n为同构。对于任何p∈p，对于某些k≥1，我们有x∈mp iff pkx=0，所以

0=f（pkx）=pkf（x）、

这表明f（x）∈np。因此，f限制为从mp到np的线性映射f_mp。因为f是同构的，我们也有一个线性映射f−1:m→n，我们之前的推理表明f−1限制为从np到mp的线性映射f−1 np。但是，f mp和f−1 np是互逆的，所以mp和np是同构的。

相反，如果所有p∈p的mp≈np，根据定理34.17，我们得到

m=lp∈p mp，n=lp∈p np。

根据命题34.18，定理34.17关于p-主分量的直接和称为m的规范一次分解。

如果m是有限生成的扭转模量，则定理34.17采用以下形式。

定理34.19。有限生成扭转模量的主分解定理

设m为PID A上有限生成的扭转模块。如果ann（m）=（a），如果a=是a与素因子的因式分解，则m是有限直接和。

.

此外，对于某些γi∈a，m的投影形式为x 7→γix。

证据。这是34.16号提案的直接结果。

定理34.19适用于a=z的情况。在这种情况下，m是一个有限生成的扭转阿贝尔群，并且该定理指出，这样一个群是有限个群的直接和，这些群的元素具有素数p的某些幂次。特别是，考虑z-模件z/10z，其中

Z/10Z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

显然，z/10z是由1和ann（z/10z）=10生成的。定理34.19意味着

Z/10Z=m（2）m（5）、

哪里

.

定理34.17有几个有用的推论。

提案34.20。如果m是PID上的扭转模块，对于m的每个子模块n，我们有一个直接和

n=mn mp.

P P

证据。很容易证实n mp是n的p-主要成分。

提案34.21。如果m是PID上的扭转模，m的子模n是m的直接因子，iff n p是每个不可约元素p∈a的直接因子。

证据。这是因为，如果n和n0是m的两个子模，我们有m=n n0 iff，根据命题34.20，对于每个不可约元素p∈a。

定义34.11.对于m的每个子模n，A模m被称为半简单iff，M的一些子模n0使得m=n n0。

提案34.22。让a是一个PID，它不是一个字段，让m是任何A模块。那么m是半简单的，如果它是一个扭转模，并且对于每个不可约元素p∈a，如果mp=m（p）（换句话说，如果x∈m被p的幂次湮灭，那么它就已经被p湮灭了）。

证据。假设m是半简单的。设x∈m并选取任意不可约元素p∈a，则子模pax有一个补n，使得

M=乘客N，

所以我们可以写出x=pax+y，对于一些y∈n和一些a∈a，但是，

y=（1−pa）x，

因为p是不可约的，p不是一个单位，所以1−p a=06。注意

p（1−ap）x=py∈pax n=（0）。

由于p（1−ap）=06，x是一个扭转元件，因此m是一个扭转模块。上述论点表明p（1−ap）x=0，

这意味着px=ap2x，通过诱导，

px=anpn+1X，所有n≥1。

如果我们在mp中选择x，那么有一些m≥1，这样pmx=0，我们得出结论

px=0。

因此，Mp=m（p），如权利要求所述。

相反地，假设m是一个扭转模，并且对于每个不可约元素p∈a，mp=m（p），通过命题34.21，足以证明被不可约元素湮灭的模是半简单的。这是因为这样一个模块是A/（P）域上的向量空间（回想一下，在PID中，理想（P）是最大的IFF P是不可约的），在向量空间中，每个子空间都有一个补充。

定理34.19表明，有限生成的扭转模量是p-主模量mp的直接和。我们可以做得更好。在下一节中，我们将展示每个主模块mp是形式为a/（pn）的循环模块的直接和。

34.5 PID上有限生成的模块；不变因子分解

有几种方法可以将有限生成的模分解为循环模的直接和。一种方法是首先使用主分解定理，然后展示每个主模块mp是A/（pn）形式的循环模块的直接和。这是继lang[106]之后的方法（第三章，第7节），以及其他方法。我们更喜欢使用一个命题，它为有限生成的自由模的子模产生一个特定的基础，因为它产生更多的信息。这是Dummitt和Foote[55]（第12章）和Bourbaki[26]（第七章）所采用的方法。我们提出的证据是由于皮埃尔·塞缪尔。

提案34.23。设f是PID A上有限生成的自由模，m是f的任意子模，那么m是自由模，有f的基（e1，…，en），一些q≤n，和一些非零元素a1，…，aq∈a，这样（a1e1，…，aqeq）是m的基，a i将ai+1除以所有i，其中1≤i≤Q-1。

证据。当m=0时，命题是平凡的，因此假设m是非平凡的。选取f的一些基（u1，…，un），设l（f，a）为f上的一组线性形式，对于任意f∈l（f，a），立即证明f（m）是a中的一个理想，因此，f（m）=aha，对于某些ah∈a，因为a中的每一个理想都是主理想。因为A是一个PID，A中任意一个非空族都有一个极大元素，所以f是一个线性映射，这样，在A，A，f，a，f，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，I，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a，a。很明显πi是一个线性映射，因为m是非平凡的，πi（m）中的一个是非平凡的，而ah=06。有一些e0∈m，这样f（e0）=ah。

我们认为，对于每一个g∈l（f，a），元素ah∈a除以g（e0）。

实际上，如果d是ah和g（e0）的gcd，根据b’ezout标识，我们可以写

d=rah+sg（e0）

对于某些r，s∈a，因此

d=rf（e0）+sg（e0）=（rf+sg）（e0）。

然而，rf+sg∈l（f，a），因此，

阿哈达（Rf+Sg）（m）

既然d除以ah，又除以aha的最大值，我们就必须得到aha=da，这意味着d=ah，因此，ah除以g（e0）。特别是，ah将每个πi（e0）分开，让πi（e0）=ah bi，其中bi∈a。

设e=b1u1+·····+bnun。注意

e0=π1（e0）u1+····+πn（e0）un=ahb1u1+···+ahbnun，

因此，e0=ahe。既然ah=f（e0）=f（ah e）=ahf（e），既然ah=06，我们必须得到f（e）=1。

接下来，我们声称

f=ae f−1（0）

和

m=ae0（m f−1（0）），

e0=ahe。

实际上，每一个x∈f都可以写成

x=f（x）e+（x−f（x）e）、

由于f（e）=1，我们得到f（x−f（x）e）=f（x）−f（x）f（e）=f（x）−f（x）=0。因此，f=ae+f−1（0）。同样，对于任何x∈m，我们有f（x）=rah，对于一些r∈a，因此，

x=f（x）e+（x−f（x）e）=rahe+（x−f（x）e）=re0+（x−f（x）e），

我们还有x−f（x）e∈f−1（0），显然，x−f（x）e=x−rahe=x−re0∈m，因为e0∈m。因此，m=ae0+（m f−1（0））。

为了证明我们有一个直接和，足以证明ae f−1（0）=0。对于任何x=r e∈ae，如果f（x）=0，那么f（re）=rf（e）=r=0，因为f（e）=1，因此x=0。因此，这些和是直接和。

通过对m的最大线性无关族的尺寸q的归纳，我们可以证明m是一个自由模。

如果q=0，结果是微不足道的。否则，因为

m=ae0（m f−1（0）），

很明显，m f−1（0）是f的子模，m f−1（0）中的每个最大线性独立族最多有q−1个元素。根据归纳假设，m f−1（0）是自由模，通过在m f−1（0）的基上加e0，我们得到m的基，因为和是直接的。

第二部分是对f的维数n的归纳，n=0的情形是微不足道的。否则，因为

f=ae f−1（0），

由于根据前面的参数，F−1（0）也是自由的，因此F−1（0）的尺寸为N−1。通过应用于其子模M F−1（0）的诱导假设，F−1（0）有一个基（e2，…，en），一些q≤n，和一些非零元素a2，…，aq∈a，这样，（a2e2，…，aqeq）是m F−1（0）的基，并且a i将ai+1除以所有i，其中2≤i≤q−1。设e1=e，a1=ah，如上所述。很明显，（e1，…，en）是f的基础，（a1e1，…，aqeq）是m的基础，因为总和是直接的，e0=a1e1=ahe。它仍然显示A1划分A2。考虑线性映射g:f→a，这样g（e1）=g（e2）=1，g（ei）=0，对于所有i，其中3≤i≤n。我们有ah=a1=g（a1e1）=g（e0）∈g（m），因此aha g（m）。因为aha是最大的，我们必须有g（m）=aha=a1a，因为a2=g（a2e2）∈g（m），我们有a2∈a1a，这表明a1分a2。

我们需要以下的基本命题。

34.24号提案。对于任意交换环a，如果f是自由a模，如果（e1，…，en）是f的基，对于任何元素a1，…，an∈a，都存在同构。

f/（aa1e1·····（a/a1a）····（a/ana）。

证据。设σ：f→a/（a1a）····a/（ana）为下列公式给出的线性图：

σ（x1e1+·····+xnen）=（x1，…，xn）

其中XI是A/AIA中XI的等价类。MAP是明显的满射，它的核由所有向量X1E1+Fo.+XNEN组成，如Xi，AIA，I＝1，…，n，这意味着

Ker（σ）=aa1e1····aanen。

由于m/ker（σ）与im（σ）同构，得到了理想的同构。

我们现在可以证明有限生成模在PID上的结构定理的存在部分。

定理34.25。设m为有限生成的非平凡A模件，其中有一个PID。然后，m同构于循环模的直接和

M≈A/A1····A/AM，

当人工智能是一个（可能为零）的理想时，

A1 A2····AM=6 A.

更准确地说，如果a1=·······=ar=（0）和（0）=6ar+1·····am=6a，那么

m≈ar（a/ar+1···a/am）

式中，a/a r+1·············································在后一种情况下，m的湮灭子是a1。

证据。由于m是有限生成的且非平凡的，因此对于某些n≥1，存在一个主观性同态，其中：an→m与an/ker同构。由于Ker（Ⅷ）是自由模件An的子模件，根据命题34.23，Ker（Ⅷ）是自由模件，并且有一个基础（e1，…，en）和一些非零元素a1，…，a q（q≤n），因此（a1e1，…，aqeq）是Ker（Ⅷ）和a1 a2·····aq的基础。设aq+1=…=an=0。

根据命题34.24，我们有同构

An/Ker（⑨）≈A/A1A··A/Ana。

当ai是单位时，系数a/aia=（0），我们就可以去掉单位。设r=n−q，设s∈n为最小的指数，如+1不是一个单位。注意，s=0表示没有单位。同样，当m=（0）6，s<n时，

m≈an/ker（）≈a/as+1a···a/ana。设m=r+q−s=n−s，然后我们得到序列

，

其中，as+1 as+2········aq为非零和非单位，aq+1······=an=0，因此我们将m理想ai定义为：

人工智能

有了这些定义，理想ai是合适的理想，我们有

ai ai+1，i=1，…，m-1.

当r=0时，由于as+1 as+2······an，很明显a1=ana是m的湮灭者，该定理的其他表述也很清楚。

例34.1。这是定理34.25的一个例子。设m为带发电机的z模块

e1、e2、e3、e4以关系6e3=0、2e4=0为准。然后

m～z=z_z_z/6z_z/2z，

哪里

a1=（0），a2=（0），a3=（6），a4=（2）。

自然数r被称为模块m的自由秩或贝提数。理想a1，…，αm，…，am（定义为一个单位）的生成器通常被称为m的不变因子（在定理34.25的符号中，理想a1，…，am的生成器用aq，…，a s+1，s表示≤Q）。

作为定理34.25的推论，我们再次得到第34.1节中确定的下列事实：

\1. PID上有限生成的模块是其扭转模块和自由模块的直接和。

\2. PID上有限生成的无扭模块是自由的。

结果表明，理想a1 a2·····a m=6a是由M模块唯一确定的。在大多数书籍中发现的唯一性证明往往是错综复杂和不太直观的。我们所知道的最短的证据来自于Bourbaki[26]（第七章第4节），并且使用了楔形产品。

需要以下初步结果。

34.26号提案。如果a是交换环，如果a1，…，am是a的理想，则存在同构。

A/A1····A/AM≈A/（A1+·····+AM）。

证明草图。我们通过m上的归纳法进行。对于m=2，我们通过以下方式定义图：a/a1×a/a2→a/（a1+a2）

⑨（a，b）=ab（mod a1+a2）。

因为如果a0=a+a1，b0=b+a2，a1∈a1，a2∈a2，那么

a0b0=（a+a1）（b+a2）=ab+ba1+aa2+a1a2，

所以a0b0 ab（mod a1+a2）。

很明显，这张地图是双线性的，因此它产生了一张线性地图，即：A/A1 A/A2→

a/（a1+a2），使得a（a b）=ab（mod a1+a2）。接下来，观察任意张量

A1 B1+·····+AN Bn

A/A1 A/A2可改写为

1（a1b1+····+anbn）

式为1 s，带s∈a，我们可以利用这个事实来证明_是内射的和外射的，因此是同构的。

例如，如果_（1 s）=0，因为（1 s）=s（mod a1+a2），我们有s∈a1+a2，所以我们可以用a∈a1和b∈a2写s=a+b。然后

因为a∈a1和b∈a2证明了注入性。

回想一下，A模块M的外部代数定义为

K

^ ^ ^

M=（M）。

K＝0

34.27号提案。如果a是交换环，那么对于任何n个模mi，都存在同构。

.

可在Bourbaki[25]中找到证据（第三章第7节第7号提案10）。

34.28号提案。设A为交换环，设A1，…，A的be n理想。如果模M是n个循环模的直接和。

m=a/a1···a/an，

然后，对于每个p>0，外部功率vp m与模块的直接和同构。

a/a h，其中h在所有子集合h 1，…，n中包含p元素，以及

啊=啊。

H·H

证据。如果ui是a/ai中1的图像，那么a/ai等于aui。根据34.27号提案，我们

.

我们也有

，

因为aui bui=0，所以它是这样的

磷

^ m

m≈（auk1）····（aukp）。

H 1，…，N H=K1，…，kp

然而，根据34.26号提案，我们

（auk1）······（aukp）=A/Ak1·········································

因此，

，

如要求。

示例34.1续：回想M是由e1、e2、e3、e4生成的z模块，服从于6e3=0、2e2=0。然后

=跨度e1、e2、e3、e4

=跨度e1 e2，e1 e3，e1 e4，e2 e3，e2 e4，e3 e4

三

^

m=跨度e1 e2 e3，e1 e2 e4，e1 e3 e4，e2 e3 e4

=跨度e1 e2 e3 e4。

由于6e3=0，e1 e3、e2 e3、e1 e2 e3的每个元素都被6z=（6）湮灭。由于2e4=0，e1 e4、e2 e4、e3 e4、e1 e2 e4、e1 e3 e4、e1 e2 e3 e4的每个元素都被2z=（2）湮灭。我们已经证明了

m～z=z_z_z/（6）z/（2），

其中a1=（0）=a2，a3=（6）和a4=（2）。那么34.28号提案意味着

当理想ai形成包含物a1·····an链时，我们得到了以下显著的结果。

提案34.29。让a是交换环，让a1，…，a的be n理想，这样a1 a2····an。如果模M是n个循环模的直接和

m=a/a1···a/an，

然后，对于1≤p≤n的每一个p，理想的ap是外部功率vp m的湮灭子。如果an=6 a，那么p=1，…，n的vp m=（0）6，p>n的vp m=（0）。

证据。用命题34.28的符号表示，我们有ah=amax（h），其中max（h）是集合h中最大的元素。因为max（h）≥p对于任何有p元素的子集，并且max（h）=p当h=1，…，p，我们看到

ap=\ah。

H h1=，…，NP

根据34.28号提案，我们

这说明AP确实是副总裁M的歼灭者，其余的都很清楚。

示例34.1续：回想M是由e1、e2、e3、e4生成的z模块，服从于6e3=0、2e2=0。然后

=跨度e1、e2、e3、e4

=span e1 e2、e1 e3、e1 e4、e2 e3、e2 e4、e4=span e1 e2 e3、e1 e4、e1 e3 e4=span e1 e2 e43；E3 E4。

由于e1和e2是自由的，e1 e2也是自由的。由于6e3=0，e1 e3、e2 e3、e1 e2 e3的每个元素都被6z=（6）湮灭。由于2e4=0，e1 e4、e2 e4、e3 e4、e1 e2 e4、e1 e3 e4、e1 e2 e3 e4的每个元素都被2z=（2）湮灭。

然后

一

ann（^m）=anne1=（0）

二

ann（^m）=anne1 e2=（0）

三

ann（^m）=anne1 e2 e3=（6）

四

ann（^m）=anne1 e2 e3 e4=（2），

第34.29号提案再次验证了

m～z=z_z_z/（6）z/（2）。

提案34.29立即意味着以下关键事实。

提案34.30。让a是交换环，让a1，…，a m是a的理想和a的理想，这样a1 a2···am=6a，aif我们有同构

，

那么m=n和a。

命题34.30给出定理34.25中分解的唯一性。

定理34.31。（不变因子分解）设m为有限生成的非平凡

A模块，其中有一个PID。然后，m同构于循环模的直接和

M≈A/A1····A/AM，

当人工智能是一个（可能为零）的理想时，

A1 A2····AM=6 A.

更准确地说，如果a1=·······=ar=（0）和（0）=6ar+1·····am=6a，那么

m≈ar（a/ar+1···a/am）

式中，a/a r+1·············································在后一种情况下，m的湮灭子是a1。此外，整数r和理想a1 a2···a m=6a由m唯一确定。

证据。根据定理34.7，由于mtor=a/a r+1····a/a m，我们知道自由和的维数r只取决于m。理想序列的唯一性来自于命题34.30。

鉴于定理34.31的唯一性部分，我们作出如下定义。

定义34.12.如定理34.31所示，给定PID A上有限生成的模块m，理想a i=αi a被称为m的不变因子。这些理想的生成器αi（唯一定义为一个单位）也被称为m的不变因子。

第34.23号提案可按如下方式进行锐化：

34.32号提案。设f是PID A上有限生成的自由模，m是f的任意子模，那么m是自由模，有f的基（e1，…，en），一些q≤n，和一些非零元素a1，…，aq∈a，这样（a1e1，…，aqeq）是m的基，a i将ai+1除以所有i，其中1≤i≤Q-1。另外，基为（e1，…，eq）的自由模m0和理想为a1a，…，aqa由m唯一确定；商模m0/m是f/m的扭转模，我们有同构性。

m0/m≈a/a1a···a/aqa。

证据。因为ai=06，i=1，…，q，观察

m0=x∈f（β∈a，β=0）（6βx∈m），

结果表明，m0/m是f/m的扭转模量，因此，m0是唯一确定的。自从

m=aa1e1···aaqeq，

根据命题34.24，我们有同构

m0/m≈a/a1a···a/aqa。

现在，第一个S元素ai可能是单位，在这种情况下a/aia=（0），所以我们可以消除这些因素，我们得到

m0/m≈a/as+1a····a/aqa，

对于a q a a q 1a······················································

命题34.32的理想a1a，…，aqa被称为m相对于f的不变因子，不应与模块m的不变因子混淆。

结果表明，a1，…，aq也可以用某个矩阵的次矩阵的gcd来计算。回想一下，如果x是m×n矩阵，那么x的k×k次方是通过选取x的k列，然后从这些k列中选取k行得到的任何k×k矩阵的行列式。

34.33号提案。设f是PID上有限维的自由模，（u1，…，un）是f的基础，m是f的子模，（x1，…，xm）是m的一组生成器。如果a1 a，…，aqa是m对f的不变因子，如34.32中所述，那么对于k=1，…，q，产品a1····ak是gcdn×m矩阵xu的k×k次方，其列是xj在ui上的坐标。

证据。命题34.23表明m a1f。因此，m的任何元素的坐标都是a1的倍数。另一方面，我们知道有一个线性形式f，对于它a1 a是最大理想，并且一些e0∈m使得f（e0）=a1。如果我们写E0作为XI的线性组合，则我们看到A1是由XI的坐标在基础（U1，…，Un）上所跨越的理想。由于这些坐标都是a1的倍数，因此a1是它们的gcd，这证明了k=1的情况。

对于任何k≥2，考虑外部功率vk m。使用命题34.23的证明符号，模块m具有基础（a1e1，…，aqeq），因此vk m具有由形式元素组成的基础。

ai1 ei1····aik eik=ai1·····aik ei1······eik，

对于所有序列（I1，…，Ik），使得1≤I1<I2······································································EI1····EIK作为基础。因为a j是i<j的ai的倍数，所以a i 1·····a i k都是δk=a1·····ak的倍数，其中一个等于δk。k=1的推理表明，δk是vk m的任何跨度集在vk f的任何基础上的坐标集的gcd。如果我们选择对于楔积ui1·····uik，作为vk m的生成子，楔积xi1······xik的坐标很容易看出，xi1····xik的坐标确实是矩阵xu的k×k次方的行列式。

命题34.33得出a1，…，aq（最多个单位），如下所示：首先，a1是xu中条目的gcd。计算a1，…，a k，设bk=a1····，ak，计算bk+1=a1··················································

我们还得到了以下关于PID上自由模之间线性映射的有趣结果。

34.34号提案。设a为pid，设f为维数n的自由模，f 0为维数m的自由模，f:f→f 0为从f到f 0的线性映射。然后，存在一个f的基（e1，…，en），一个基和一些非零元素α1，…，αr∈a，这样

α1α2····αR。此外，理想α1a，…，αra是f（f）相对于f 0的不变因子。

证据。设f0为f的核心，因为m0=f（f）是自由模f 0的一个子模，它是自由的，同样f0是自由模f的一个子模（根据命题34.23）。根据34.2号提案，我们

f=f0 f1，

其中f1是自由模，f对f1的限制是对m0=f（f）的同构。适用于f 0和m0的命题34.32给出了一个基础（这样

）是m0的基础，其中α1a，…，αra是m0的不变因子

关于f 0。由于f对f1的限制是同构的，所以f1有一个基（e1，…，er），使得

我们可以通过选择一个f0（一个自由模块）的基，将这个基扩展到f的基，从而得到所需的结果。

34.34号提案的矩阵版本如下。

34.35号提案。如果x是PID A上秩r的m×n矩阵，则存在一些可逆n×n矩阵p、一些可逆m×m矩阵q和m×n矩阵d。

理想α1a，…，αra被称为矩阵x的不变因子。回想一下，两个m×n矩阵x和y是等价的iff。

Y=Qxp−1，

对于一些可逆矩阵，p和q。那么，命题34.35意味着以下事实。

34.36号提案。两个m×n矩阵x和y是等价的，如果它们具有相同的不变因子。

如果x是线性映射f:f→f 0关于f的某个基（u1，…，un）和某个基（，那么x的列是f（uj）在u0i上的坐标，其中f（uj）生成f（f），所以命题34.33适用并得出以下结果：

34.37号提案。如果x是一个m×n矩阵或秩r在pid a上，如果α1a，…，αra是其不变因子，那么α1是x中各条目的gcd，对于k=2，…，r，则积α1···································

有一些算法可以将PID上的矩阵x转换为形式x=qdp−1，如34.35中所述。对于欧几里得域，这可以通过使用第7章中描述的基本行和列操作p（i，k）、ei，j；β和ei，λ来实现，其中我们要求ei，λ中使用的标量λ是一个单位。对于任意PID，需要另一种初等矩阵（除了对角线项外还包含一些2×2子矩阵）。这些程序包括计算GCD，并使用Bezout标识来模拟除法。这些方法在D.Serre[151]、Jacobson[96]和van der Waerden中介绍。

[173]，并在Artin[7]中素描。我们在第节中描述并证明了其中的几种方法

35.5。

34.32号提案有以下两种应用。

首先，考虑某个m×n矩阵r给出的PID上有限呈现的模块m。根据命题34.35，矩阵r可以对角化为r=qdp−1，其中d是对角矩阵。然后，我们看到m与m生成器有一个表示形式，r的关系式αiei=0，

其中αi=06和α1α2···αr。

对于第二个应用，让f是一个基为（e1，…，en）的自由模，让m是f中m向量v1，…，vm生成的f的子模。模块m可以看作是n×m矩阵各列的线性组合，也表示m由向量的坐标组成。v1，…，基于vm（e1，…，en）。然后，根据命题34.35，矩阵r可以对角化为r=qdp−1，其中d是对角矩阵。q列构成一个基（，由于rp=qd，非零列

RP构成基础（.

当环A是欧几里得域时，定理35.18表明P和Q是基本行和列操作的乘积。特别是，当a=z时，在这种情况下，我们的z-模是交换群，我们可以用欧几里得除法求p和q。

如果a=z，那么锌的有限生成子模m称为晶格。它是有限积分向量集的积分线性组合。

以下是摘自Artin[7]的一个例子（第12章，第4节）。设f为自由z模z2，设m为矩阵列生成的格。

.

R的列（u1，u2）是线性无关的，但它们不是z2的基础。例如，为了得到e1作为这些列的线性组合，我们需要解线性系统。

2x−y=1 x+2y=0。

从第二个方程，我们得到x=-2y，得出

-5y=1.

但是，y=-1/5不是整数。我们把它作为练习来检查

也就是说

，

因此R=qdp−1

.

新基础（由q列组成，m的新基础由列（，其中

.

图34.1显示了晶格及其发生器（U1，U2）和具有新基础的同一晶格的图像，其中晶格点显示为恒星。

定理34.31给出的有限生成模M在PID A上的不变因子分解表明

mtor≈a/ar+1···a/am，

循环模的直接和，其中（0）=6ar+1·····am=6a，利用中国余数定理（定理31.15），我们可以进一步将每个模件a/αia分解成a/pna形式的模件的直接和，其中p是a中的素数。

图34.1：应用于晶格的对角化

定理34.38。（初等除数分解）设m为有限生成的非平凡A模，其中有一个PID。然后，m同构于直接和ar mtor，其中ar是自由模，扭模mtor是形式的循环模的直接和，对于一些素数p1，…，pt∈a和一些正整数ni，j，这样对于每个i=1，…，t，都有一个整数序列。

，

当si≥1时，其中ni，j出现mi，j≥1次，j=1，…，si。此外，不可约元素pi和整数r、t、ni、j、si、mi、j是唯一确定的。

证据。根据定理34.31，我们已经知道m≈ar mtor，其中r是唯一确定的，并且

mtor≈a/ar+1···a/am，

循环模的直接和，其中（0）=6ar+1·····am=6a。那么，每个a i都是αia形式的主要理想，其中αi=06，αi不是一个单位。利用中国余数定理（定理31.15），如果我们把αi因子作为

，

当kj≥1时，我们得到同构

这意味着mtor是形式模的直接和，对于某些素数pi∈a。

为了证明唯一性，观察mtor的pi主成分是直接和

，

这些都是独一无二的。自从ni，1···············<ni，si，我们有

命题34.30意味着不可约元素pi和ni、j、si和mi、j是唯一的。

根据定理34.38，我们作出如下定义。

定义34.13.如定理34.38所示，给定PID A上有限生成的模M，该思想称为m的初等除数，而mi，j是它们的重数。理想（0）也被认为是初等除数，r是它的重数。

注：定理34.38说明了如何从不变因子中获得初等因子：初等因子是不变因子的初等幂因子。

相反，我们可以从初等除数中得到不变因子。我们可以假设m是一个扭转模量。让

M=最大mi，1+····+mi，si，

1≤I≤T

构造t×m矩阵c=（cij），其第i行为序列

，

如果有必要用0填充以使其长度为m，则jth不变因子为

注意，由于最后一列至少包含一个素数，αi不是单位，αmαm−1······α1，因此α1a·····αm−1aαma=6 a，如需要。

从计算的角度来看，找到初等除数通常是不可能的，因为它需要因子分解。例如，如果a=k[x]其中k是一个字段，例如k=r或k=c，阶乘等于求多项式的根，但根据伽罗瓦理论，一般来说，这在算法上是不可行的。另一方面，可以使用基本的行和列操作来计算不变因子。

也可以证明A和A/PNA形式的模块是不可分割的（n>0）。如果m不能直接写入，则称m是不可分解的。

关于证明，见Bourbaki[26]第七章第4节第8号提案8。定理34.38表明PID上有限生成的模是不可分解模的直接和。

在第35章中，我们将有限生成（扭转）模的结构定理应用于与向量空间e上的自同态f相关的k[x]-模ef。首先，我们需要了解标量环的扩展过程。

34.6标尺环的延伸

扩展标量环的需要出现了，特别是在处理特征值时。首先，我们需要定义如何将标量乘法限制到子环。情况是我们有两个环a和b，一个b模m，和一个环同态ρ：a→b。经常出现的特殊情况是a是b的一个子环（b可以是场），ρ是包含图。然后通过定义标量乘法·：a×m→m，将m转化为a模。

定义34.14.给定两个环A和环B以及一个环同态ρ：a→b，任何b module m都可以通过定义a的任何元素的标量乘，形成由ρ（m）表示的a模，如下所示：

a·x=ρ（a）x，对于所有a∈a和所有x∈m。

特别地，将B视为B-模块，我们得到A-模块ρ（B）。

如果m和n是两个b-模，如果f:m→n是一个b-线性映射，则映射f是阿贝尔群的同态f:ρ（m）→ρ（n）ρ（m）和ρ（n）。这个映射也是A-线性的，因为对于所有的u∈m和所有的a∈a，通过定义a元素的标量乘，我们得到

f（a·u）=f（ρ（a）u）=ρ（a）f（u）=a·f（u）。

图f：ρ（m）→ρ（n）被视为a-线性图，用ρ（f）表示。作为阿贝尔群的同态，映射f:m→n和ρ（f）：ρ（m）→ρ（n）是相同的，但f是B-线性映射，而ρ（f）是A-线性映射。

现在我们可以描述标量扩展的过程。对于任意a模m，我们将ρ（b）a m转化为a（左）b模：对于每个β∈b，用β（β0，x）=（β0）x给出β：ρ（b）（b）a m。

图？β是双线性的，因此它诱导了线性图？β：ρ（b）a m→ρ（b）a m，从而

β（β0 x）=（β0）x.

如果我们定义标量乘法·：b×（ρ（b）a m）→ρ（b）a m by

β·z=霏β（z），对于所有β∈b和所有z∈ρ（b）a m，

然后很容易检查公理M1、M2、M3、M4是否保持不变。让我们检查一下M2和M3。

我们有

β1+β2（β0 x）=（β1+β2）β0 x

=（β1β0+β2β0）x

=β1β0 x+β2β0 x

=小β1（β0 x）+小β2（β0 x）

和

β1β2（β0 x）=β1β2β0 x

=小β1（β2β0 x）

=小β1（小β2（β0 x））。

定义34.15。给定两个环a和b和一个环同态ρ：a→b，对于任何a模m，用b的元素的标量乘得出

β·（β0 x）=（β0）x，β，β0∈b，x∈m，

张量积ρ（b）a m是用ρ（m）表示的b-模，当ρ是a包含到b中时，m（b）表示的b-模。b-模ρ（m）有时被称为通过ρ从m延伸到scalars环b而诱导的模。

以下是定义34.15的具体示例。设a=r，b=c，ρ为r到c的包含图，即ρ：r→c，其中ρ（a）=a表示a∈r，设m为r模。C域是C模，当我们用标量λ∈R来限制标量乘法时，我们得到R模ρ（C）（作为一个阿贝尔群，它只是C）。形式ρ（c）r m。这是一个R-模块，其中典型元素具有形式，mi∈m。因为ai（zi mi）=aizi mi

由于aizi∈c和c的任何元素都是这样得到的（让ai=1），所以ρ（c）r m的元素可以写成

我们想把ρ（c）r m变成一个c-模，表示为ρ（m），因此必须描述复数β是如何作用的。通过线性关系，足以确定β=u+iv如何作用于发电机z m，其中z=x+iy和m∈m。作用由β·（z m）=βz m=（u+iv）（x+iy）m=（ux−vy+i（uy+vx））m给出，

因为复合乘法只比C有意义。

我们声称ρ（m）与c-模m×m同构，加上定义为

（u1，v1）+（u2，v2）=（u1+u2，v1+v2）

用λ+i祄∈c作标量乘法

（λ+i礹）·（u，v）=（λu−礹v，λv+礹u）。

定义图α0：ρ（c）×m→m×m

α0（λ+iμ，u）=（λu，μu）。

很容易检查α0是r-线性的，因此我们得到了r-线性图α：ρ（c）r m→m×m

α（（λ+iμ）u）=（λu，μu）。

我们还通过定义图β：m×m→ρ（c）r m

β（u，v）=1 u+i v。

很明显，这张地图是R线性的。我们现在可以检查α和β是相互反比。我们有

α（β（u，v））=α（1 u+i v）=α（1 u）+α（i v）=（u，0）+（0，v）=（u，v），

在发电机上，

β（α（（λ+iμ）u））=β（λu，μu）=1λu+iμu=λu+iμu=（λ+iμ）u。

因此α也是ρ（c）r m和mc×模的同构。这是因为inm与r模同构。然而，同构ρ（c）r m，在发电机上

（λ+iμ）·（（x+i y）u）=（λ+iμ）（x+iy）u=（λx-μy+i（λy+μx））u，

所以

α（（λ+iμ）·（（x+i y）u）=α（（λx-μy+i（λy+μx））u）

=（（λx−μy）u，（λy+μx）u），

根据c元素在m×m（λ+iμ）·α（（x+i y）u）=（λ+iμ）·（xu，yu）=（（λx-μy）u，（λy+μx）u）上的标量乘的定义。

因此，α是C模ρ（m）=ρ（c）r m和m×m之间的同构。

上述扩环过程也适用于线性映射。我们有以下命题，其证据在Bourbaki[25]中给出（第二章第5节，命题

1）。

34.39号提案。给定一个环同构ρ：a→b，并给定任何a-模m，由（x）=1 a x给出的图:m→ρ（m））是A-线性的，（m）跨越b-模_（m）。对于每个B-模块n，以及每个A-线性映射f:m→ρ（n），都有一个唯一的B-线性映射

F：ρ（m）→N

这样的话

（f）_=f

如下图所示

γ

m j/ρ（ρ（m））。

JJJFJJJJJJ型$

（N）

或者等价的，

f（1 a x）=f（x），对于所有x∈m。

根据34.39号提案，我们得出以下结果。

34.40号提案。给定一个环同构ρ：a→b，对于任意两个a模m和n，对于每一个a线性映射f:m→n，都有一个唯一的b线性映射ρ（f）：ρ（m）→

ρ（n）（也表示为f）由下式给出

ρ（f）=idb f，

这样，以下诊断可以通勤：

μm

m/ρ（ρ（m））fρ（ρ（f））。

/ρ（ρ（n））。

证据。将34.40号提案应用于a-线性图_n_f。

如果s跨越模块m，则很明显，（s）跨越ρ（m）。特别是，如果m是有限生成的，那么如果ρ（m）。m的底也延伸到ρ（m）的底。

34.41号提案。给定一个环同构式ρ：a→b，对于任何a-模m，如果（u1，…，un）是m的基，那么（（u1），…，（un））是ρ（m）的基，其中，是由（x）=1 a x给出的a-线性图：m→ρ（m））。此外，如果ρ是内射的，那么_也是。

证据。第一个断言紧接着来自命题34.13，因为它断言，ρ（m）=ρ（b）a m的每个元素z都可以用一种独特的方式写成

Z=b1 u1+····+bn un=b1（1 u1）+····+bn（1 un）

（ui）=1 ui。接下来，如果ρ是内射的，根据A-模ρ（ρ（m））中的标量乘法的定义，我们得到了（a1u1+·····+anun）=0 iff。

ρ（a1）_（u1）+····+ρ（an）（un）=0，

由于（（u1），…，（un））是ρ（m）的基础，我们必须有ρ（a i）=0，对于i=1，…，n，这（通过ρ的注入性）意味着i=1，…，n时ai=0。因此，是注入性的。

特别地，如果a是b的子环，那么ρ是包含图，命题34.41表明m的基成为m（b）的基，m嵌入m（b）。也很容易看出，如果m和n是两个自由a模，f:m→n是一个线性映射，由矩阵x表示，关于m的一些基（u1，…，un）和n的（v1，…，vm）。

然后，b-线性图f也由基础上的矩阵x表示（（u1）、…、（un））和（（v1）、…、（vm））。

命题34.41给出了另一个证据，证明自由A模的任意两个基具有相同的基数。实际上，如果M是环A中的最大理想，那么我们得到商环同态π：A→A/M，得到A/M模π（M）。如果m是自由的，m的任何基（u1，…，un）成为π（m）的基（（u1），…，（un））；但是a/m是一个字段，因此尺寸n是唯一确定的。这个论点也适用于无限基（ui）i∈i。通过命题34.14，我们有同构

π（m）=（a/m）a m≈m/mm，

所以m/mm是a/m域上的向量空间，这是定理34.1中使用的参数。

提案34.42。给定一个环同构ρ：a→b，对于任意两个a模m和n，都有一个唯一的同构。

ρ（m）bρ（n）≈ρ（m a n）、

使（1 u）（1 v）7→1（u v），对于所有u∈m和所有v∈n。

证据使用了第32.13号提案中的身份。这并不难，但需要一点体操；对读者来说是一个很好的练习。