冒泡排序（Bubble Sort）

我们从冒泡排序开始，学习今天的三种排序算法。

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

我用一个例子，带你看下冒泡排序的整个过程。我们要对一组数据 4，5，6，3，2，1，从小到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样：

可以看出，经过一次冒泡操作之后，6 这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序，我们只要进行 6 次这样的冒泡操作就行了。

实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。我这里还有另外一个例子，这里面给 6 个元素排序，只需要 4 次冒泡操作就可以了。

冒泡排序算法的原理比较容易理解，具体的代码我贴到下面，你可以结合着代码来看我前面讲的原理。

// 冒泡排序，a表示数组，n表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 提前退出冒泡循环的标志位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有数据交换      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 没有数据交换，提前退出
  }
}

现在，结合刚才我分析排序算法的三个方面，我有三个问题要问你。

第一，冒泡排序是原地排序算法吗？
冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是一个原地排序算法。

第二，冒泡排序是稳定的排序算法吗？
在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。

第三，冒泡排序的时间复杂度是多少？
最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，我们只需要进行一次冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是 O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据刚好是倒序排列的，我们需要进行 n 次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为 O(n2)。
最好、最坏情况下的时间复杂度很容易分析，那平均情况下的时间复杂是多少呢？我们前面讲过，平均时间复杂度就是加权平均期望时间复杂度，分析的时候要结合概率论的知识。

对于包含 n 个数据的数组，这 n 个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如我们前面举的那两个例子，其中一个要进行 6 次冒泡，而另一个只需要 4 次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度，涉及的数学推理和计算就会很复杂。我这里还有一种思路，通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j。

同理，对于一个倒序排列的数组，比如 6，5，4，3，2，1，有序度是 0；对于一个完全有序的数组，比如 1，2，3，4，5，6，有序度就是 n*(n-1)/2，也就是 15。我们把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。

逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序），我想你应该已经想到了。关于逆序度，我就不举例子讲了。你可以对照我讲的有序度的例子自己看下。

逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。

关于这三个概念，我们还可以得到一个公式：逆序度 = 满有序度 - 有序度。我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了

我还是拿前面举的那个冒泡排序的例子来说明。要排序的数组的初始状态是 4，5，6，3，2，1 ，其中，有序元素对有 (4，5) (4，6)(5，6)，所以有序度是 3。n=6，所以排序完成之后终态的满有序度为 n(n-1)/2=15。

冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加 1。不管算法怎么改进，交换次数总是确定的，即为逆序度，也就是n(n-1)/2–初始有序度。此例中就是 15–3=12，要进行 12 次交换操作。

对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 n(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。