回溯时如果要保持不同路径中的单元不重复,可以在回溯算法参数中引入起始位置

一、全排列问题

全排列

给定一个不含重复数字的数组 nums ,返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1:

  1. 输入:nums = [1,2,3]
  2. 输出:[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2:

输入:nums = [0,1]
输出:[[0,1],[1,0]]

示例 3:

输入:nums = [1]
输出:[[1]]

提示:

  • 1 <= nums.length <= 6
  • -10 <= nums[i] <= 10
  • nums 中的所有整数 互不相同

模板:

List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

/* 主函数,输入一组不重复的数字,返回它们的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
    // 记录「路径」
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
    backtrack(nums, track);
    return res;
}

// 路径:记录在 track 中
// 选择列表:nums 中不存在于 track 的那些元素
// 结束条件:nums 中的元素全都在 track 中出现
// 引入起始位置时backtrack(int start, int[] nums, LinkedList<Integer> track)
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
    // 触发结束条件
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 排除不合法的选择
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        // 做选择
        track.add(nums[i]);
        // 进入下一层决策树
        backtrack(nums, track);
        // 取消选择
        track.removeLast();
    }
}

Solution:

List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

/* 主函数,输入一组不重复的数字,返回它们的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
    // 记录「路径」
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
    backtrack(nums, track);
    return res;
}

// 路径:记录在 track 中
// 选择列表:nums 中不存在于 track 的那些元素
// 结束条件:nums 中的元素全都在 track 中出现
// 引入起始位置时backtrack(int start, int[] nums, LinkedList<Integer> track)
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
    // 触发结束条件
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 排除不合法的选择
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        // 做选择
        track.add(nums[i]);
        // 进入下一层决策树
        backtrack(nums, track);
        // 取消选择
        track.removeLast();
    }
}

二、字符串的排列

输入一个字符串,打印出该字符串中字符的所有排列。

你可以以任意顺序返回这个字符串数组,但里面不能有重复元素。

示例:

输入:s = "abc"
输出:["abc","acb","bac","bca","cab","cba"]

限制:

1 <= s 的长度 <= 8

Solution

Language: java

三、电话号码的组合

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串,返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。
给出数字到字母的映射如下(与电话按键相同)。注意 1 不对应任何字母。
image.png
示例 1:

输入:digits = "23"
输出:["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]

示例 2:

输入:digits = ""
输出:[]

示例 3:

输入:digits = "2"
输出:["a","b","c"]

提示:

  • 0 <= digits.length <= 4
  • digits[i] 是范围 ['2', '9'] 的一个数字。

Solution

Language: java

class Solution {
    List<String> tracks = new ArrayList<>();

    public List<String> letterCombinations(String digits) {
        StringBuilder track = new StringBuilder();
        if (digits.length() == 0) {
            return tracks;
        }

        // 哈希表存储字母与数字对应关系
        Map<Character, String> numMap = new HashMap<>();
        numMap.put('2', "abc");
        numMap.put('3', "def");
        numMap.put('4', "ghi");
        numMap.put('5', "jkl");
        numMap.put('6', "mno");
        numMap.put('7', "pqrs");
        numMap.put('8', "tuv");
        numMap.put('9', "wxyz");

        backpack(numMap, digits, 0, track);
        return tracks;

    }

    // 回溯
    public void backpack(Map<Character, String> numMap, String digits, int index, StringBuilder track) {
        // 触发结束条件
        if (index == digits.length()) {
            tracks.add(track.toString());
            return;
        }

        char digit = digits.charAt(index);
        String leters = numMap.get(digit);

        for (int i = 0; i < leters.length(); i++) {
            track.append(leters.charAt(i));
            backpack(numMap, digits, index + 1, track);
            track.deleteCharAt(index);
        }

    }
}

四、N皇后问题

模板:

vector<vector<string>> res;

/* 输入棋盘边长 n,返回所有合法的放置 */
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
    // '.' 表示空,'Q' 表示皇后,初始化空棋盘。
    vector<string> board(n, string(n, '.'));
    backtrack(board, 0);
    return res;
}

// 路径:board 中小于 row 的那些行都已经成功放置了皇后
// 选择列表:第 row 行的所有列都是放置皇后的选择
// 结束条件:row 超过 board 的最后一行
void backtrack(vector<string>& board, int row) {
    // 触发结束条件
    if (row == board.size()) {
        res.push_back(board);
        return;
    }

    int n = board[row].size();
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 排除不合法选择
        if (!isValid(board, row, col)) 
            continue;
        // 做选择
        board[row][col] = 'Q';
        // 进入下一行决策
        backtrack(board, row + 1);
        // 撤销选择
        board[row][col] = '.';
    }
}

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案,该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。 示例 1: 输入:n = 4 输出:[[“.Q..”,”…Q”,”Q…”,”..Q.”],[“..Q.”,”Q…”,”…Q”,”.Q..”]] 解释:如上图所示,4 皇后问题存在两个不同的解法。 示例 2: 输入:n = 1 输出:[[“Q”]] 提示: 1 <= n <= 9 皇后彼此不能相互攻击,也就是说:任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上,并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ,返回所有不同的 n皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案,该方案中 'Q''.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1:

03-回溯算法 - 图2

输入:n = 4
输出:[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释:如上图所示,4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2:

输入:n = 1
输出:[["Q"]]

提示:

  • 1 <= n <= 9
  • 皇后彼此不能相互攻击,也就是说:任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。