62. 不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
算法第二十九题 - 图1
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

思路：动态规划思路。
1.从起始位置开始，移动后，最多只有两个方向位置可以移动（下，右）
2.特点：机器人在竖直和水平方向上的移动距离是一定的。
基于这两个思路，可以假设其到达了i,j位置，用dp[i][j]表示，dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
由于需要考虑边界，所以，当i=0时，所有的dp[0][j]=1，同理，j=0，所有的dp[i][j]=1
因此，边界条件设定好，然后for循环一次累加，即可获取最终结果

代码如下：

  1. class Solution {
  2.     public int uniquePaths(int m, int n) {
  3.         // 初始化一个可达路径数量的数组
  4.         int[][] dp = new int[m][n];
  5.         // 设置边界
  6.         // todo:空间优化
  7.         for(int i=0;i<n;i++) dp[0][i]=1;
  8.         for(int j=0;j<m;j++) dp[j][0]=1;
  9.         for(int i=1;i<m;i++){
  10.             for(int j=1;j<n;j++){
  11.                 dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
  12.             }
  13.         }
  14.         return dp[m-1][n-1];
  15.     }
  16. }