一、树状数组简介

树状数组和线段树具有相似的功能，但他俩毕竟还有一些区别：树状数组能有的操作，线段树一定有；线段树有的操作，树状数组不一定有。但是树状数组的代码要比线段树短，思维更清晰，速度也更快，在解决一些单点修改的问题时，树状数组是不二之选。

树状数组解决的问题

假如有这样一种情景，先输入一个长度为n的数组，然后我们有如下两种操作：

输入一个数m，输出数组中下标1~m的前缀和
对某个指定下标的数进行值的修改

多次执行上述两种操作。

常规方法

对于一个的数组，如果需要求1~m的前缀和我们可以将其从下标1开始对m个数进行求和，对于值的修改，我们可以直接通过下标找到要修改的数，然后更新前缀和，对于一次操作显然没什么问题，但对于 n 次操作，时间复杂度就达到了 O(n^2)和O(n)，这样的方法就显得不适用了。
而此时就可以使用树状数组求得数据。

二、原理与实现

下面这张图展示了树状数组的工作原理：

如图，对于一个长度为n的数组，A数组存放的是数组的初始值，引入一个辅助数组C

C1 = A1 C2 = C1 + A2 = A1 + A2 C3 = A3 C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4 C5 = A5 C6 = C5 + A6 = A5 + A6 C7 = A7 C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

我们称C[i]的值为下标为i的数所管辖的数的和，下标为i的数所管辖的元素的个数为 2 k 2^k 2k个（k为i的二进制的末尾0的个数），例如：

i = 8 = 1000，末尾3个0，故k = 3，所管辖的个数为2^3 = 8，C8是8个数的和；
i = 5 = 0101，末尾没有0，故k = 0，所管辖的个数为2^0 = 1，C5是一个数的和；

而对于输入的数m，我们要求编号为m的数的前缀和 A1~Am，按照上面说的，树状数组 - 图2 ，这里m和C[i]的对应关系是这样的，对于查询的m，将它转换成二进制后，不断对末尾的1的位置进行-1的操作，直到全部为0停止，中间得到的值就是c[i]
例如：
m = 7，树状数组 - 图3 ，7的二进制为0111（树状数组 - 图4 得到），对0111的末尾1的位置-1，得到0110 = 6（C6得到），再对0110末尾1位置-1，得到0100 = 4（C4得到），最后对0100末尾1位置-1后得到0000（结束），计算停止，至此 C7，C6，C4全部得到，求和后就是m = 7时它的前缀和；
m = 6，树状数组 - 图5 ，6的2进制等于·0110·，经过两次变换后为0100（C4）和0000（结束信号），那么求和后同样也得到了预计的结果；

那么求前缀和的代码如下：

int lowbit(int m){
    return m & (-m);
}
int getSum(int m){
    int ans = 0;
    while(m > 0){
        ans += C[m];
        m -= lowbit(m);
    }
    return ans;
}

关于lowbit

关于lowbit中的m & (-m)，这是一个很巧妙的地方，如13的二进制表示为1101，那么-13的二进制表示为0010 + 0001 = 0011，那么1101 & 0011 = 0001，二进制末尾1的位置是2^0，将13 - 0001 = 12，再对12执行lowbit操作，1100 & 0100 = 0100，二进制末尾1的位置是 2^2 ，将12 - 0100 = 8，再对8执行lowbit操作，0100 & 1100 = 0100，二进制位是 2^2，8 - 0100 = 0（结束操作），通过循环得到的13，12，8，则树状数组 - 图6

建立树状数组

对于一个输入的数组A，我们一次读取的过程，就可以想成是一个不断更新值的过程，所以建树与单点更新值是一样的，即把树状数组 - 图7 从0更新成我们输入的A[i]，所以一边读入A[i]，一边将C[i]涉及到的祖先节点值更新，完成输入后树状数组C也就建立成功了。

更新节点值

假设更新A[2] = 5，通过观察我们得知，如果修改了A[2]的值，那么管辖A[2]的C[2]，C[4]，C[8]的前缀和都要加上5（所有的祖先节点），那么和查询类似，我们如何得到C2的所有祖先节点呢，依旧是上述的巧妙的方法，但是我们把它倒过来用，对于要更新i位置的值，我们把i转换成二进制，不断对二进制最后一个1的位置+1，直到达到数组下标的最大值n结束，对于给出的例子i = 2，假设数组下标上限n = 8，i转换成二进制后等于0010（C2），对末尾1的位置进行+1，得到0100（C4），对末尾的1的位置进行+1，得到1000（C8），循环结束，对 C2，C4，C8的前缀和都要+5，当然不能忘记对A[2]的值+5，单点更新值过程结束。

void update(int x, int value){
    A[x] += value;    // 修改源数组
    while(x <= n){
        C[x] += value;
        x += lowbit(x);
    }
}

完整代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int a[10005];
int c[10005];
int n;

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int ans = 0;
    while(x > 0){
        ans += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

void update(int x, int value){
    a[x] += value;
    while(x <= n){
        c[x] += value;
        x += lowbit(x);
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d", &n)!=EOF){
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
            update(i, a[i]);
        }
        int ans = getSum(n-1);
        printf("%d\n", ans);
    }   
    return 0;
}