程序员数学之距离度量

第1节 为什么需要距离

距离是为了将用户进行分类的（距离越小的他们越可能是同一类人，反之就不是）。
如何得到距离呢？
可以通过不同用户对相同事物的看法（如评分）等信息，然后求出他们的距离。

第2节 欧式距离

2.1 从电影评分开始讲起

假设只有两个用户，他们只看了一部电影（误杀）。

如何计算他们对电影评分的距离？

也就是说张三和李四之间的距离是1。
如果看了两部电影。

那么张三和李四在这两部电影上的距离是根号20。

2.2 欧式距离

如果张三和李四一共看了n部电影，并且在每部电影上的评分分别是xi和yi分，那么张三和李四之间的距离是多少呢？
他们的距离可以总结为以下公式（欧式距离）：

这个公式就是将距离从直线上的两点、平面上的两点、三维空间的两点或n维空间的两点之间的距离进行了归纳。
假设李四在最后两部电影上没有评分。

张三和李四的距离是：

张三和王五的距离是：

从计算结果来看，是不是说张三和李四的距离要比张三和王五的距离要近呢？
不能，原因在于参与评分的电影越多，可能距离就越大。

2.3 修正的欧式距离

修正的欧氏距离就是为了解决参与维数越多可能距离就越大问题。再次计算张三与李四或王五之间的距离：
张三和李四的距离：

张三和王五的距离：

修正的欧氏距离公式可以总结如下：

修改欧氏距离公式，具体要修正的是参与维度数量不一样造成的距离误差。这个误差是指，共同维数越高，算出来的距离越大。

2.4 权重

2.4.1 权重的意义

由于每部电影在影迷们的心里重要程度不一样，好的电影往往大家的评分都很接近，对于烂片大家的评分就很随意。出于这样的原因，我们采取的办法就是人为的给片子添加权重。权重越高的电影就越好看，反之就没有那么好看。
需要注意的是，所有参与计算的电影权重相加的和等于1。
假如，追龙、千与千寻、调音师是三部经典影片，他们的权重都是0.3，而误杀是烂片，权重是0.1。

2.4.2 修正权重

假如参与共同评分的电影就只有两部，那么权重如何计算呢？

这就需要对权重进行归1化处理。修正权重的计算方式为：原始权重/所有参与计算的权重和。修正后的权重之和为1。

2.5 带有权重的欧式距离

修正欧式距离公式是权重欧式距离公式的一个特例，是在各个维度上的权重都一样且为1/n。

第3节 曼哈顿距离

3.1 为什么需要曼哈顿距离

先看一个场景，如下图：假如这是一个城市的地图，人通过网络打车的场景。那么车要去接人，司机应该怎么走呢？根据欧式距离（两点之间的直线距离）司机要斜着开车，这显然不可能（也就是说欧式距离在这种场景下不适用）。

3.2 曼哈顿距离

曼哈顿距离就是为了解决类似上述场景的距离，如何计算呢？

曼哈顿距离不仅仅只能计算两点间的距离，还能计算多维空间的距离。

第4节 海明距离

4.1 字符串的距离

如何求两个字符串的距离呢？

4.2 信息编码的距离

海明距离更多的是使用在信息编码上。

海明距离的本质就是将异或操作的结果求和。

4.3 曼哈顿距离与海明距离

如果曼哈顿距离的每个维度要么取0要么取1，那就变成了海明距离。换句话说，海明距离是曼哈顿距离的一个特例。

第5节 长度衡量小结

欧式距离、曼哈顿距离、海明距离都是用来衡量长度上的差异。

第6节 角度衡量

用角度衡量两个点差异的时候，角度距离的取值范围为0°~180°
在欧式距离或曼哈顿距离中，长度距离范围为0~正无穷
海明距离中，长度距离范围为0~n（n为维度数量）

6.1 角度度量应用

假设有一个新闻网站，网名A、B、C在不同频道花费时间如下表格：

问题：AB的距离近？还是AC的距离近？
假如用欧式距离计算。

AB之所以远是因为B上网的时间比较长，但是通过在两个频道花费的时间比例来看，AB应该更近。还有通常而言军事频道男生看得比较多，美容频道女生看得比较多。那么这就需要度量上网时间分配比例，而不是时间长度。

角度度量的距离，更多的是衡量在各个维度上的比例差异，而和绝对数值关系不大。

6.2 相似度

相似度越大，夹角越小，相似度越小，夹角越大。
也就是说相似度越大的，他们的距离就越近，越小的距离就越远。

计算AB、AC的相似度

夹角：

相似度：

6.3 相似度公式

第7节 总结