程序员数学之概率

第1章 关于概率

1.1 概率是用来干什么的

概率是用来描述不确定事件的数学工具。
比如：抛硬币，当硬币抛出后，由于我们不知道作用于硬币各个方向的受力情况，也就没法确定硬币落下后到底是正面朝上还是反面朝上。所以，抛硬币是一个不确定事件，用概率来描述它。
这里有两点需要注意：
1、如果硬币已经投完了，正反已确定，猜正反就不是概率了。
2、如果在投硬币的时候，能够准确知道所有的受力情况，这种情况就等于我们知道了硬币落下的准确朝向，也不是概率。

1.2 案例

测量中国人的平均身高。
每个中国人的身高是确定的，那么得出来的平均身高也是确定的。这么看问题的话，这个事件就不是一个不确定的事件。
但现实是中国有14亿人，不可能每个人都测一遍升高，只能随机从中抽取（采样）一部分人，那么抽取（采样）就是一个不确定性事件。由于抽取（采样）过程不确定，那么得到的平均身高也不确定。

第2章 基本定理

掷一个硬币，把“正面朝上”叫做X，X就是随机变量。P(X=正)：表示正面朝上的可能性有多大。
注意：
如果X是随机变量（朝上的面），随机变量有几个可能的结果（正面，反面）。
1、随机变量等于每一个结果的概率为一个[0-1]之间的数。
2、随机变量在所有结果上的概率相加为1，即P(X=正)+P(X=反)=1（事件必然发生）。

2.1 如何计算概率

案例1、
掷骰子，1、2、3、4、5、6每个面出现的概率为1/6，偶数面出现的概率为1/2。这里有个需要注意的地方：每个面出现的概率与偶数面出现的概率是不同的随机事件。他们是从不同的角度来描述掷骰子这个事件。计算的时候要分开进行。
事件1：每个面出现的概率和为1：1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1；
事件2：奇偶面出现的概率和为1：3/6+3/6=1。
案例2、
一副扑克牌有52张（除去大小王）。
问题1：红桃3的概率是多少？问题2：是黑桃的概率是多大？问题3：抽到偶数的可能性有多大？
问题1解析：红桃3在整副牌中只有一张，概率为1/52。
问题2解析：从A~K共13张黑桃，概率为13/52=1/4。
问题3解析：2、4、6、8、10、12（Q）都是偶数。那么总的有多少个偶数呢？
由于有四种花色：
红桃的2、4、6、8、10、12（Q）共有6个偶数。
方片的2、4、6、8、10、12（Q）共有6个偶数。
黑桃的2、4、6、8、10、12（Q）共有6个偶数。
梅花的2、4、6、8、10、12（Q）共有6个偶数。
总的偶数加起来：6+6+6+6=24（张）
那么，抽到偶数的概率就是24/52=6/13。
同理，如果要计算奇数的概率，1、3、5、7、9、11（J）、13（K）都是奇数，公有7张。
由于有4种花色：
红桃的1、3、5、7、9、11（J）、13（K）共有7个奇数。
方片的1、3、5、7、9、11（J）、13（K）共有7个奇数。
黑桃的1、3、5、7、9、11（J）、13（K）共有7个奇数。
梅花的1、3、5、7、9、11（J）、13（K）共有7个奇数。
总的奇数加起来：7+7+7+7=28（张）
那么，抽到奇数的概率就是28/52=7/13。
通过上面的案例可以总结出概率的计算方式为：
P(X=a) = a次数(想要得到的可能次数)/所有可能出现的次数（X就是随机变量）

第3章 排列（考虑顺序）

3.1 案例

案例1：A、B、C三个人从前往后排成一排，顺序是BCA的概率有多大。
解析：
方法1：可以用穷举法，ABC、ACB、BAC、BCA、CAB，CBA只有这六种情况，BCA只是有种情况之一，所以概率为1/6。
穷举法有一个弊端就是人多了就没法穷举，容易重复，容易漏。
方法2：

P(X=a) = a次数(想要得到的可能次数)/所有可能出现的次数（X就是随机变量）
P(X=1)=1/6
案例2：ABC三个人随机站成一排，A刚好站在中间的概率是多大？
解析：

三个人的所有随机排队顺序可能出现的次数为：3x2x1=6。
P(X=2)=2/6=1/3
案例3：ABCDEF六个人站成一排，A在第3位B在第5位的概率是多大？

案例4：ABCDEF六个人站成一排，AB不挨着得概率是多少?

案例5 ABCDEF六个人，从中抽出三个站成一排，这三个人的站队顺序是ABC的概率是多少。

3.2 总结

3.2.1 排列

对于N个人，从中找出m个人进行排列，总共有多少种排列次数？

3.2.2 全排列

对于有N个人，N个人都参与了排列，总共就有N!种排法。这种情况叫做N的全排列。

3.2.3 排列与全排列的关系

做数学一定要弄清楚那些情况是普遍性，那些情况是特殊性。

全排列是排列的特殊情况。

第4章 组合

4.1 组合（不考虑顺序）

从N个元素中选取m个元素（不考虑元素间的顺序），一共有多少种选法？

4.2 案例

案例1
有ABCDEF五个人，从这5个人中选三个人，一共有多少种选法？
解析：

案例2
有100个人，从中选择99个人，一共有多少种选法？

案例3
从100个人选走99人，就等价于选一个人留下。
解析：

也就是说：

案例4
把10个人分成3组，每组人分别为4，3，3，一共有多少种分法？

4.3 面试题

把一副扑克牌（54张）平均分成3堆，每一堆18张，大小王刚好在一堆的概率是多少？

第5章 二项分布

5.1 案例

案例1
投掷两次骰子，第一次为3点，并且第二次为6点的概率为多少？
解析：
掷N次骰子，每次都是保持独立的，任何两次投掷互不影响。
第一次投掷为3点的概率为1/6；
第二次投掷为6点的概率为1/6。
两次投掷为并且的关系：他们的概率为1/61/6=1/36
案例2
投掷两次骰子，两次点数相等的概率为？
解析：
方法1：
每次投掷都有6种可能，两次投掷就有66=36种可能。
我们需要的只有6种可能：11、22、33、44、55、66；
所以概率为：6/36=1/6；
方法2：
每一次投掷都是相同点数的概率为：1/61/6=1/36；总的有6种这样的情况，所以概率为1/366=1/6；

5.2 二项分布

案例3
抛一个不均匀的硬币，正面概率是P(0=<P<=1)，反面概率是1-P。抛N次，刚好有k次正面的概率是多少。

上面公式就叫做二项分布，二项指的是结果只有两个（或两种情况）。

第6章 事件之间的关系

6.1 对立事件

假如抛一个硬币，正面朝上记为P(A)，反面朝上记为P(B)。那么P(A)与P(B)之间有什么关系呢？
他们的关系有两个：
1、P(A) + P(B) = 1；
2、P(A)和P(B)不可能同时发生；
3、AB是空集并且A+B是全集。

对于两个不可能同时发生，并且概率相加为1的两个事件，称为对立事件。
案例1：掷硬币，硬币的正反面为对立事件。
案例2：一副52张的扑克牌，事件A为该牌为数字牌，事件B为该牌为人头牌。
P(A) = 40/52 = 10/13，P(B) = 12/52 = 3/13；

6.2 互斥事件

例如：掷一个骰子，它可能出现的情况只能是1~6中的一种。


在互斥事件中：
P(A + B) = P(A) + P(B)
P(A).P(B) = P(A).P(B)

6.2.1 对立事件与互斥事件的关系

对立事件是一种特殊的互斥事件，对立事件是严格的互斥事件。它只涉及到两个事件。
1、两个事件对立则一定互斥；
2、互斥事件适用于多个事件，对立事件适用于两个事件；
3、互斥事件不能同时发生，也可以都不发生，对立有其只有一个发生。

6.3 条件概率

6.3.1 案例

投掷一个骰子，当点数为2，3，4时为事件A，当点数为1，3，5时为事件B。求当已经知道B事件发生了，A事件发生的概率。

6.3.2 条件概率

6.3.3 面试题

一个地区，得心脏病的人概率为0.1，得高血压的人概率为0.15，如果一个人得了心脏病，那么他得高血压的概率为0.2。那么请问，一个人如果得了高血压，那么他得心脏病的概率是多少。

由于AB是正相关的，也就是说AB是不独立的，他们相互影响。

6.4 贝叶斯公式

1、先验概率P(A)P(B)
2、条件概率
1）、后验概率P(A|B);
2)、似然概率P(B|A)

6.4.1 案例

如果有一所学校，60%的男生，40%的女生。女生穿裤子和裙子的数量相同，所有男生穿裤子。一个观察者，随机从远处看到一名学生，观察者只能看到该学生穿裤子。那么该学生是女生的概率是多少。