程序员数学之逻辑学
1 从if…else语句说起
1.1 案例
案例：
条件1：如果是周末，行动1：待在家里。
条件2：如果是晴天，行动2：出去打球。
这个案例有什么问题吗？
问题1（条件缺乏独立性）：比如周末晴天怎么办？是待在家里呢？还是出去打球？
也就是说行动有冲突。造成行动冲突的原因是，条件不独立。
问题2（条件缺乏覆盖性）：比如周三雨天怎么办？
也就是说条件并没有覆盖到一个周的所有天数。
1.2 总结
在进行条件判断的时候，要注意两点：
1、条件之间要独立，不能有多个条件同时满足；
2、所有条件在一起要有覆盖性，要把所有的情况都考虑进去。
第2节 命题
2.1 命题的概念
2.2 案例
2.3 命题的特征
并不是所有的陈述都是命题：
命题有两个特征：
1、命题具有客观性
比如：张三很帅（帅是一种很主观的东西），所以这就不是一个命题。
再比如：今天的菜很咸（咸也是一种很主观的东西），所以这也不是一个命题。
2、命题具有可得性（要能证实或证伪）
比如：明天会下雨，下雨这件事情虽说是客观存在的，但是我们没法证实，也没法证伪。所以，这也不是一个命题。
2.4 if条件中的命题
只有命题才能作为if条件，同时if条件中的命题需要满足如下特征：
1、命题具有客观性
2、命题具有可得性（要能证实或证伪）
3、命题的独立性
条件之间要独立，不能有多个条件同时满足；
4、覆盖性
所有条件在一起要有覆盖性，要把所有的情况都考虑进去。
前两个特征是命题本身具备的特征，后两个特征是当命题作为if条件是所具备的特征。
第3节 否命题
3.1 否命题的概念
当A是真时，那么A的否命题是假；
当A是假时，那么A的否命题是真；
3.2 案例
案例1
命题：世界最高峰是珠穆朗玛峰，A=1；
否命题：世界最高峰不是珠穆朗玛峰，Ā=0；
案例2
命题：这是白马，A=1；
否命题：这是黑马，Ā=0；这个否命题就不成立，Ā可能是黄马，这就违背了命题的覆盖性。
马的颜色不仅仅是黑色和白色。
正确的否命题应该是：这不是白马。
3.3 命题与否命题
从两个层面理解命题与否命题
1、不论是命题还是否命题，他们都是命题，必须满足命题的客观性和可得性。
2、我们在谈论命题与其否命题时，其实潜在的就包含了if判断在里面了，那么命题与否命题又必须满足另外两个特性：覆盖性和独立性
第4节 组合命题
4.1 逻辑与（∩）
A∩B又可以写成A与B
| A | B | A∩B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
4.2 逻辑或（∪）
A∪B又可以写成A或B
| A | B | A∪B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
4.3 异或（ⓧ）
| A | B | AⓧB |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
4.3.1 案例
这个案例是不能用逻辑或（∪）来处理的，因为逻辑或在这里违背了常理。
| 小明在北京 | 小明在上海 | 小明在北京或者小明在上海 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
小明不可能不在北京，也不在上海。
小明也不可能既在北京，又在上海。
4.3.2 异或的结合律
(A**ⓧB)ⓧC=(AⓧC)ⓧB
(A**ⓧB)ⓧC=(BⓧC)ⓧA
AⓧBⓧCⓧD可以任意异或其中两个。
偶数个命题的自身异或等于0，A**ⓧA=0，AⓧAⓧAⓧ**A=0，……
4.3.3 面试题
题目：
一个桶里有200个球，其中100个黑球，100个白球。从桶里一次拿出两个球。
如果是同一颜色，那么放回一个白球；
如果是不同颜色，那么放回一个黑球；
最终桶里只剩一个球，它是黑球的概率是多少？
解析：
首先规定白球：0，黑球：1，这么做是为了满足放回规则，方便异或操作。
因为异或满足结合律，所以可以分别异或100个白球，再异或100个黑球。
根据偶数定律，他们的结果都是0，也就是白球。
最后，异或两个0结果也是0，最终桶里剩下的是白球。黑球的概率是0。
4.4 同或（⊙）
| A | B | A⊙B |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
第5节 小结
Ā、A∩B（通常写成A·B）、A∪B（通常写成A+B）这三个运算称为基本运算。
基本运算与异或、同或的关系如下：
与（∩）、或（∪）、异或（**ⓧ）、同或（⊙**）总结如下：
1、同或（⊙）、异或（ⓧ）不关心AB具体的取值，只关心AB是否一致；
2、与（∩）、或（∪）关心AB的取值。
第6节 吸收律
A + (AB) = A
A(A + B) = A
A的值决定了整个命题的值，与B的值无关，也就是说B被吸收了。这就是吸收律。
6.1 面试题
题目：
假如有一架无人车，有两个灯：绿灯与黄灯。当出现三种情况之一的时候刹车。
情况1：绿灯灭，黄灯亮；情况2：绿灯、黄灯都灭；情况3：绿灯黄灯都亮；
解析：
首先规定，绿灯亮用A表示，黄灯亮用B表示；
刹车的情况可以用下列表达式描述：
这个式子是可以表达执行刹车的程序，但是存在一个问题：冗余。如何精减，如下：
先补充两个知识：B + 1 = 1，A·1 = A。
第7节 用文氏图表示逻辑关系
7.1 AB
7.2 A+B
7.3 AⓧB
7.4 A⊙B
7.5 AB的否命题
7.6 A+B的否命题
7.7 德摩根定律
7.8 面试题
使用德摩根定律来解决踩刹车的问题：
题目：
假如有一架无人车，有两个灯：绿灯与黄灯。当出现三种情况之一的时候刹车。
情况1：绿灯灭，黄灯亮；情况2：绿灯、黄灯都灭；情况3：绿灯黄灯都亮；
解析：规定A：表示绿灯，B：表示黄灯
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