历史

最小二乘法，也叫做最小平方法（Least Square），它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最小二乘法来表达。

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。法国科学家勒让德于1806年独立发明“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。

数学原理

线性回归试图学得：

z(x_i)=w \cdot x_i+b \tag{1}

使得：

z(x_i) \simeq y_i \tag{2}

其中，x_i是样本特征值，y_i是样本标签值，z_i是模型预测值。

如何学得w和b呢？均方差(MSE - mean squared error)是回归任务中常用的手段：

J = \sum{i=1}2 = \sum{i=1}2 \tag{3}

J称为损失函数。实际上就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的残差的平方和最小。

最小二乘法 - 图1

图4-3中，圆形点是样本点，直线是当前的拟合结果。如左图所示，我们是要计算样本点到直线的垂直距离，需要再根据直线的斜率来求垂足然后再计算距离，这样计算起来很慢；但实际上，在工程上我们通常使用的是右图的方式，即样本点到直线的竖直距离，因为这样计算很方便，用一个减法就可以了。

假设我们计算出初步的结果是虚线所示，这条直线是否合适呢？我们来计算一下图中每个点到这条直线的距离，把这些距离的值都加起来（都是正数，不存在互相抵消的问题）成为误差。

因为上图中的几个点不在一条直线上，所以不能有一条直线能同时穿过它们。所以，我们只能想办法不断改变红色直线的角度和位置，让总体误差最小（永远不可能是0），就意味着整体偏差最小，那么最终的那条直线就是我们要的结果。

如果想让误差的值最小，通过对w和b求导，再令导数为0（到达最小极值），就是w和b的最优解。

推导过程如下：

\begin{aligned} {\partial{J} \over \partial{w}} &={\partial{(\sum{i=1}2)} \over \partial{w}} \ = 2\sum{i=1}^m(y_i-wx_i-b)(-x_i) \end{aligned} \tag{4}

令公式4为0：

\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)x_i=0 \tag{5}

\begin{aligned} {\partial{J} \over \partial{b}} &={\partial{(\sum{i=1}2)} \over \partial{b}} \ =2\sum{i=1}^m(y_i-wx_i-b)(-1) \end{aligned} \tag{6}

令公式6为0：

\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)=0 \tag{7}

由式7得到（假设有m个样本）：

\sum{i=1}^m b = m \cdot b = \sum{i=1}^m{yi} - w\sum{i=1}^m{x_i} \tag{8}

两边除以m：

b = {1 \over m}(\sum{i=1}^m{y_i} - w\sum{i=1}^m{x_i})=\bar y-w \bar x \tag{9}

其中：

\bar y = {1 \over m}\sum{i=1}^m y_i, \bar x={1 \over m}\sum{i=1}^m x_i \tag{10}

将公式10代入公式5：

\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-\bar y + w \bar x)x_i=0

\sum_{i=1}^m(x_i y_i-wx^2_i-x_i \bar y + w \bar x x_i)=0

\sum{i=1}^m(x_iy_i-x_i \bar y)-w\sum{i=1}2_i - \bar x x_i) = 0

w = {\sum{i=1}^m(x_iy_i-x_i \bar y) \over \sum{i=1}2_i - \bar x x_i)} \tag{11}

将公式10代入公式11：

w={\sum{i=1}^m (x_i \cdot y_i) - \sum{i=1}^m xi \cdot {1 \over m} \sum{i=1}^m yi \over \sum{i=1}^m x^2i - \sum{i=1}^m xi \cdot {1 \over m}\sum{i=1}^m x_i} \tag{12}

分子分母都乘以m：

w={m\sum{i=1}^m x_i y_i - \sum{i=1}^m xi \sum{i=1}^m yi \over m\sum{i=1}^m x^2i - (\sum{i=1}^m x_i)^2} \tag{13}

b=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i) \tag{14}

而事实上，式13有很多个变种，大家会在不同的文章里看到不同版本，往往感到困惑，比如下面两个公式也是正确的解：

w = {\sum{i=1}^m y_i(x_i-\bar x) \over \sum{i=1}^m x^2i - (\sum{i=1}^m x_i)^2/m} \tag{15}

w = {\sum{i=1}^m x_i(y_i-\bar y) \over \sum{i=1}^m x^2i - \bar x \sum{i=1}^m x_i} \tag{16}

以上两个公式，如果把公式10代入，也应该可以得到和式13相同的答案，只不过需要一些运算技巧。比如，很多人不知道这个神奇的公式：

$$
\begin{array}{l}
\sum\left(x{i} \bar{y}\right)=\bar{y} \sum x{i}=\frac{1}{m}\left(\sum y{i}\right)\left(\sum x{i}\right) \
=\frac{1}{m}\left(\sum x{i}\right)\left(\sum y{i}\right)=\bar{x} \sum y{i}=\sum\left(y{i} \bar{x}\right)
\end{array} \tag{17}
$$

代码实现

我们下面用Python代码来实现一下以上的计算过程：

计算w值

  1. # 根据公式15
  2. def method1(X,Y,m):
  3.     x_mean = X.mean()
  4.     p = sum(Y*(X-x_mean))
  5.     q = sum(X*X) - sum(X)*sum(X)/m
  6.     w = p/q
  7.     return w
  9. # 根据公式16
  10. def method2(X,Y,m):
  11.     x_mean = X.mean()
  12.     y_mean = Y.mean()
  13.     p = sum(X*(Y-y_mean))
  14.     q = sum(X*X) - x_mean*sum(X)
  15.     w = p/q
  16.     return w
  18. # 根据公式13
  19. def method3(X,Y,m):
  20.     p = m*sum(X*Y) - sum(X)*sum(Y)
  21.     q = m*sum(X*X) - sum(X)*sum(X)
  22.     w = p/q
  23.     return w

由于有函数库的帮助，我们不需要手动计算sum(), mean()这样的基本函数。

计算b值

  1. # 根据公式14
  2. def calculate_b_1(X,Y,w,m):
  3.     b = sum(Y-w*X)/m
  4.     return b
  6. # 根据公式9
  7. def calculate_b_2(X,Y,w):
  8.     b = Y.mean() - w * X.mean()
  9.     return b

运算结果

用以上几种方法，最后得出的结果都是一致的，可以起到交叉验证的作用：

  1. w1=2.056827, b1=2.965434
  2. w2=2.056827, b2=2.965434
  3. w3=2.056827, b3=2.965434

代码位置

原代码位置：ch04, Level1

个人代码：LeastSquare