CS224W：图机器学习2

节点嵌入 Node Embedding

• 图表示学习的目标是提供一个统一的图特征提取方式，对于不同的图机器学习任务都可以使用，而节点嵌入就是指将图中的节点映射到嵌入空间中，用一个稠密的向量来表示不同的节点，而向量的相似度又决定了节点在图中的相似度，也就是说将整个网络进行了编码。

编码器和解码器

• 节点嵌入的目标就是对节点进行编码并映射到嵌入空间中，使得两个节点在嵌入空间中的相似度近似于节点在图中的相似度，而相似度和嵌入向量的形式都是需要定义的
  • 因此节点嵌入的两个关键的组件就是编码器和相似度函数

%3Dz_u%5ETz_v%0A#card=math&code=%5Cmathrm%7Bsimilarity%7D%28u%2Cv%29%3Dz_u%5ETz_v%0A&id=KpQAS)

浅编码Shallow Encoder

最简单的编码器的形式就是一个简单的嵌入映射，即将节点通过矩阵运算直接转化成对应的嵌入向量，可以表示为：

%3D%5Cbold%20Zv%0A#card=math&code=%5Cmathrm%7BENC%7D%28v%29%3D%5Cbold%20Zv%0A&id=Q1ZsM)

• 其中Z就是一个维度的矩阵，存储了每个节点的d维嵌入向量，而v就是一个0-1向量，除了对应的节点那一列是1以外都是0
• 我们需要学习的就是Z矩阵，这种编码器下面每个节点都映射到一个单独的嵌入向量中

随机游走Random Walk

什么是随机游走

随机游走是一种用来定义图节点相似度的方法， 表示图节点u的嵌入向量，而概率#card=math&code=P%28v%7Cz_u%29&id=RRixy)表示在节点u的随机游走中遇到节点v的概率。

随机游走的过程即每次随机选择当前节点的一个邻居并“走”到这个邻居的位置上不断重复的过程，这个过程中将产生一个随机的节点序列，称为图的随机游走。而用随机游走定义的相似度就是u和v出现在同一个随机游走中的概率。这种方式计算相似度需要以下几个步骤：

• 使用一定的决策策略R来计算从u出发的随机游走经过v的概率
• 根据随机游走的结果优化嵌入函数并进行编码

为什么需要随机游走

• 可表达性：随机游走是一种灵活并且随机的相似度定义，并且包含了局部信息和更高阶的图中节点关系
• 高效性：不需要在训练的过程中考虑所有的节点对，只需要考虑在随机游走中出现的节点对
• 随机游走是一种无监督的特征学习

随机游走的优化

随机游走的目标是让学习到的嵌入向量中，相近的向量在图中更接近，对于一个节点u可以定义它在某种选择策略R下的随机游走中发现的邻居节点构成的集合是#card=math&code=N_R%28u%29&id=LFshA)，对于一个给定的图#card=math&code=G%3D%28V%2CE%29&id=Mtwo3)，我们的目标是学习出一个映射函数%3Dz_u#card=math&code=f%28u%29%3Dz_u&id=gaSj2)，根据极大似然估计，我们的目标函数可以确定为：

%7Czu)%0A#card=math&code=%5Cmax_f%5Csum%7Bu%5Cin%20V%7D%5Clog%20P%28N_R%28u%29%7Cz_u%29%0A&id=WooBQ)

即对于给定的节点u，我们希望通过随机游走中的表现来学习其特征的表示，而虽有游走可以进行一系列的优化，包括：

• 进行一个较短的固定长度的随机游走
• 对于每个节点u的邻居节点，允许邻居节点集合中出现重复的节点，出现的越多表明相似度越高,因此最大化上述目标函数可以等价于最小化下面的表达式：

%7D-%5Clog%20(P(v%7Czu))%0A#card=math&code=%5Cmathcal%20L%3D%5Csum%7Bu%5Cin%20V%7D%5Csum_%7Bv%5Cin%20N_R%28u%29%7D-%5Clog%20%28P%28v%7Cz_u%29%29%0A&id=VjpDf)

而概率#card=math&code=P%28v%7Cz_u%29&id=Gle4V)可以用sotfmax函数来进行参数化，选用softmax函数的原因是因为指数运算避免了负概率的出现，并且使得不同节点的相似度区分变得更加明显

%3D%5Cfrac%7B%5Cexp(zu%5ETz_v)%7D%7B%5Csum%7Bn%5Cin%20V%7D%5Cexp(zu%5ETz_n)%7D%0A#card=math&code=P%28v%7Cz_u%29%3D%5Cfrac%7B%5Cexp%28z_u%5ETz_v%29%7D%7B%5Csum%7Bn%5Cin%20V%7D%5Cexp%28z_u%5ETz_n%29%7D%0A&id=HJqpv)

但是用上述办法来计算目标函数的话复杂度是非常高的，，可以采用负采样的方式来近似计算损失函数，这里用到了sigmoid函数来近似计算：

%7D%7B%5Csum%7Bn%5Cin%20V%7D%5Cexp(z_u%5ETz_n)%7D)%5Capprox%5Clog%20(%5Csigma(z_u%5ETz_v))-%5Csum%7Bi%3D1%7D%5Ek%5Clog(%5Csigma(zu%5ETz%7Bni%7D))%0A#card=math&code=%5Clog%20%28%5Cfrac%7B%5Cexp%28z_u%5ETz_v%29%7D%7B%5Csum%7Bn%5Cin%20V%7D%5Cexp%28zu%5ETz_n%29%7D%29%5Capprox%5Clog%20%28%5Csigma%28z_u%5ETz_v%29%29-%5Csum%7Bi%3D1%7D%5Ek%5Clog%28%5Csigma%28zu%5ETz%7Bn_i%7D%29%29%0A&id=xRhHM)

• 这种近似方法不计算全部节点而是只采样了K个随机的负样本，并且用sigmoid函数来近似指数运算，这里的k个negative nodes按照其度数成正比的概率进行选取
• 在得到了目标函数的近似形式之后，我们可以采用随机梯度下降法来对目标函数进行优化，定义 %7D%3D%5Csum%7Bv%5Cin%20N_R(u)%7D-%5Clog%20(P(v%7Cz_u))%0A#card=math&code=%5Cmathcal%20L%5E%7B%28u%29%7D%3D%5Csum%7Bv%5Cin%20N_R%28u%29%7D-%5Clog%20%28P%28v%7Cz_u%29%29%0A&id=KoW4c)
  • 对于一个节点i，和所有的节点j，计算其导数%7D%7D%7B%5Cpartial%20z_j%7D#card=math&code=%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cmathcal%20L%5E%7B%28i%29%7D%7D%7B%5Cpartial%20z_j%7D&id=I0J0n)
  • 更新每一个向量j直到收敛 %7D%7D%7B%5Cpartial%20z_j%7D%0A#card=math&code=z_j%3Dz_j-%5Ceta%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cmathcal%20L%5E%7B%28i%29%7D%7D%7B%5Cpartial%20z_j%7D%0A&id=jj2gI)

node2vec

现在的问题就变成了如何确定随机游走的策略，上面已经提到的策略有固定长度，没有偏见的选择策略，而node2vec是一种有偏见的随机游走策略，这种策略更加灵活并且达到了局部和全局的平衡

• 常见的采样邻近节点的方式有BFS和DFS，而BFS更注重局部的邻居结构，DFS则更偏向于全局

有偏见的随机游走

有偏见的定长随机游走策略R有两个参数，一个是返回参数p，代表了返回到前一个节点，另一个参数是出入(in-out)参数q，代表了随机游走过程中的BFS和DFS的比例

• 有偏见的随机游走需要记录当前的游走路径是从那里来的，在参数p中表示
• 每次走到新的节点的时候计算邻近节点的权重，选择权重最高(这里的权重其实也就是代表了走到这个节点的概率，当然是没有标准化的概率)的节点作为游走的下一个目的地

node2vec算法框架

• 计算随机游走的概率分布
• 对每个节点u，找到r条从u出发的不同的长度为l的随机游走
• 使用随机梯度下降法来优化node2vec

总结

• 这里其实还没太搞懂node2vec的真正含义，应该有时间去阅读一下提出node2vec的论文，虽然我觉得大概率没什么时间
• node2vec拥有线性的时间复杂度，并且上述算法框架中的三个步骤是可以并行的

图嵌入

• 图嵌入是将整张图或者子图映射到嵌入空间中，用一个向量来表示

两种简单的approach

• 方法1:将图嵌入等价于图中所有节点的嵌入向量之和

• 方法2:在途中引入一个虚拟节点代表整个图(子图)并进行嵌入
• 方法3:匿名游走嵌入
  • 想法1:对匿名游走进行采样并且用每种匿名游走的发生次数来表示一个图，也就是说用这些随机游走发生的概率来表示整张图，选定一个长度L之后，建立一个向量代表所有长度为L的随机游走发生的概率来代表这张图
  • 想法2:将匿名游走的嵌入结果进行合并

链接分析：PageRank算法

这一节的内容主要从矩阵的角度来进行图的分析和学习，我们可以将互联网看成一张巨大的图，里面的网页就是图中的一个个节点，而网页可以通过超链接可以跳转到别的网页，称为链接link，可以把这种关系作为图中的有向边，因此互联网中的网页构成一张大而稀疏的有向图，可以用一个邻接矩阵来表示。类似的结构有论文引用图等等。

但是图中每个节点并不都是同等重要的，可以通过一系列链接分析的方法来分析出不同节点的重要性，一般认为一个网站如果有很多链接，那么它往往就比较重要。而出链接和入链接又是两种不同的链接，又应该有不同的考虑。PageRank算法认为被重要的网页指向的网页也往往更重要。

PageRank算法模型

节点的权重

我们可以在网络图中定义是一个节点的出度，而节点的权重就可以表示为：

我们可以将这种表示形式矩阵化，用一个矩阵M来表示各个节点之间的权重关系，那么根据上面的定义可以得知：

这个矩阵M每一列的和都是1，我们可以用一个向量r来表示每个网页的重要程度，那么就有：

图中的随机游走

在任何一个时间t时假设访问到了网页i中，下一个时刻t+1则访问i指向的其中一个网页j，这样就构成了一次随机游走，用#card=math&code=p%28t%29&id=vs5EJ)向量来表示t时刻每个网页被访问到的概率，那么这样一来就有：

%3DMp(t)%0A#card=math&code=p%28t%2B1%29%3DMp%28t%29%0A&id=IMbTk)

我们发现矩阵的权重向量r也可以表示随机游走的分布情况，进一步我们发现r其实就是矩阵M的特征向量，因此PageRank实际上就是矩阵M最大的的特征向量，我们一般用幂法可以得到矩阵M的最大特征向量。

如何求解PageRank

• 可以给pagerank赋予一定的初始值，然后通过公式不断迭代直到r的变化小于一定的阈值之后才结束，得到最终的pagerank的结果，这种方法也就是幂法，求出的结果实际上是M的特征之中范数最大的那一个
• 问题在于：
  • 有一些页面时dead end，没有跳转到其他网页的链接，这可能会导致“泄漏”
  • Spider-Trap问题：所有的外部链接都在一个组内，即随机游走会陷入一个循环中
  • 这些情况都会导致上述计算方法最后不收敛，因此要想办法解决这个问题
• 解决方法：
  • 对于dead end问题，可以重新调整矩阵M中的内容：
  • 对于Spider-Trap问题，可以在每次做选择的过程中以一定的概率跳转到随机的网页中去，这样就可以从循环中跳出来

%5Cfrac%201N%0A#card=math&code=rj%3D%5Cbeta%5Csum%7Bi%5Crightarrow%20j%7D%5Cfrac%7Br_i%7D%7Bd_i%7D%2B%281-%5Cbeta%29%5Cfrac%201N%0A&id=hi0gb)

• Google矩阵上面的spider-trap问题的迭代形式

%5B%5Cfrac%7B1%7Dn%5D%7Bn%5Ctimes%20n%7D%0A#card=math&code=G%3D%5Cbeta%20M%2B%281-%5Cbeta%29%5B%5Cfrac%7B1%7Dn%5D%7Bn%5Ctimes%20n%7D%0A&id=D2TFL)

个性化的PageRank

• 通过几个特定的节点来衡量所有节点的rank，可以用带restart的随机游走高效计算，这是考虑到了不同用户之间的浏览偏好往往不同，不能用全局的所有节点作为衡量标准，这样一来可以实现个性化的推荐