一：入门

• 快速构建横纵坐标，集合划分

dp问题的数组下标都是从1开始

dp问题时间复杂度的分析

状态的数量 * 算每一个状态需要的计算量

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N][N], a[N][N];
int n;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 三角形输入的抽象
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 0; i <= n; i++) // 因为状态转移方程用到了一些没有输入的地方，
        //右上角和左上角的边界，需要预先变成无穷小，这样就防止三角形的元素是负数，选择了不存在的路径
        for (int j = 0; j <= i + 1; j++)
            f[i][j] = -INF;
    f[1][1] = a[1][1]; // 必须初始化，不然没有初始值，所有的都是很小很小的负数
    for (int i = 2; i <= n; i++) // 必须从2开始，否则，后面的滚动数组全部都是负数
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);
    int res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]); // 最后一行的n存储着所有最大的路径值，需要选择最大
    cout << res << endl;
    return 0;
}

二：最长上升子序列

1,2,5,6就是四个上升子序列。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N], a[N];
int n;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = 1; // 防止前面没有小于a[i]
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            if (a[j] < a[i]) // 只要有小于a[i]的就更新， 一定是需要比较的
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        res = max(res, f[i]);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

三:最长公共子序列长度

• https://www.acwing.com/solution/content/8111/解释的很好
• y总解释的很详细，中间01的时候，代表b[j]一定是第二个字符串，但是01是这个意思，这句话也就体会出来f[i - 1][j]范围是更大的。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cin >> a + 1 >> b + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}