转置卷积

:label:sec_transposed_conv

到目前为止，我们所见到的卷积神经网络层，例如卷积层（ :numref:sec_conv_layer）和汇聚层（ :numref:sec_pooling），通常会减少下采样输入图像的空间维度（高和宽）。 然而如果输入和输出图像的空间维度相同，在以像素级分类的语义分割中将会很方便。 例如，输出像素所处的通道维可以保有输入像素在同一位置上的分类结果。

为了实现这一点，尤其是在空间维度被卷积神经网络层缩小后，我们可以使用另一种类型的卷积神经网络层，它可以增加上采样中间层特征图的空间维度。 在本节中，我们将介绍 转置卷积（transposed convolution） :cite:Dumoulin.Visin.2016， 用于逆转下采样导致的空间尺寸减小。

```{.python .input} from mxnet import np, npx, init from mxnet.gluon import nn from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. import torch
  5. from torch import nn
  6. from d2l import torch as d2l

基本操作

让我们暂时忽略通道，从基本的转置卷积开始，设步幅为1且没有填充。 假设我们有一个$n_h \times n_w$的输入张量和一个$k_h \times k_w$的卷积核。 以步幅为1滑动卷积核窗口，每行$n_w$次，每列$n_h$次，共产生$n_h n_w$个中间结果。 每个中间结果都是一个$(n_h + k_h - 1) \times (n_w + k_w - 1)$的张量，初始化为0。 为了计算每个中间张量，输入张量中的每个元素都要乘以卷积核，从而使所得的$k_h \times k_w$张量替换中间张量的一部分。 请注意，每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。 最后，所有中间结果相加以获得最终结果。

例如， :numref:fig_trans_conv解释了如何为$2\times 2$的输入张量计算卷积核为$2\times 2$的转置卷积。

卷积核为 $2\times 2$ 的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。 :label:fig_trans_conv

我们可以对输入矩阵X和卷积核矩阵K(实现基本的转置卷积运算)trans_conv。

```{.python .input}

@tab all

def trans_conv(X, K): h, w = K.shape Y = d2l.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1)) for i in range(X.shape[0]): for j in range(X.shape[1]): Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K return Y

  2. 与通过卷积核“减少”输入元素的常规卷积（在 :numref:`sec_conv_layer`中）相比，转置卷积通过卷积核“广播”输入元素，从而产生大于输入的输出。
  3. 我们可以通过 :numref:`fig_trans_conv`来构建输入张量`X`和卷积核张量`K`从而[**验证上述实现输出**]。
  4. 此实现是基本的二维转置卷积运算。
  6. ```{.python .input}
  7. #@tab all
  8. X = d2l.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
  9. K = d2l.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
  10. trans_conv(X, K)

或者，当输入X和卷积核K都是四维张量时，我们可以[使用高级API获得相同的结果]。

```{.python .input} X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2) tconv = nn.Conv2DTranspose(1, kernel_size=2) tconv.initialize(init.Constant(K)) tconv(X)

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
  5. tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
  6. tconv.weight.data = K
  7. tconv(X)

[填充、步幅和多通道]

与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于的输出（常规卷积将填充应用于输入）。 例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。

```{.python .input} tconv = nn.Conv2DTranspose(1, kernel_size=2, padding=1) tconv.initialize(init.Constant(K)) tconv(X)

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False)
  5. tconv.weight.data = K
  6. tconv(X)

在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。 使用 :numref:fig_trans_conv中相同输入和卷积核张量，将步幅从1更改为2会增加中间张量的高和权重，因此输出张量在 :numref:fig_trans_conv_stride2中。

卷积核为$2\times 2$，步幅为2的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。 :label:fig_trans_conv_stride2

以下代码可以验证 :numref:fig_trans_conv_stride2中步幅为2的转置卷积的输出。

```{.python .input} tconv = nn.Conv2DTranspose(1, kernel_size=2, strides=2) tconv.initialize(init.Constant(K)) tconv(X)

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
  5. tconv.weight.data = K
  6. tconv(X)

对于多个输入和输出通道，转置卷积与常规卷积以相同方式运作。 假设输入有$c_i$个通道，且转置卷积为每个输入通道分配了一个$k_h\times k_w$的卷积核张量。 当指定多个输出通道时，每个输出通道将有一个$c_i\times k_h\times k_w$的卷积核。

同样，如果我们将$\mathsf{X}$代入卷积层$f$来输出$\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$，并创建一个与$f$具有相同的超参数、但输出通道数量是$\mathsf{X}$中通道数的转置卷积层$g$，那么$g(Y)$的形状将与$\mathsf{X}$相同。 下面的示例可以解释这一点。

```{.python .input} X = np.random.uniform(size=(1, 10, 16, 16)) conv = nn.Conv2D(20, kernel_size=5, padding=2, strides=3) tconv = nn.Conv2DTranspose(10, kernel_size=5, padding=2, strides=3) conv.initialize() tconv.initialize() tconv(conv(X)).shape == X.shape

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. X = torch.rand(size=(1, 10, 16, 16))
  5. conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
  6. tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
  7. tconv(conv(X)).shape == X.shape

[与矩阵变换的联系]

:label:subsec-connection-to-mat-transposition

转置卷积为何以矩阵变换命名呢？ 让我们首先看看如何使用矩阵乘法来实现卷积。 在下面的示例中，我们定义了一个$3\times 3$的输入X和$2\times 2$卷积核K，然后使用corr2d函数计算卷积输出Y。

```{.python .input}

@tab all

X = d2l.arange(9.0).reshape(3, 3) K = d2l.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]) Y = d2l.corr2d(X, K) Y

  2. 接下来，我们将卷积核`K`重写为包含大量0的稀疏权重矩阵`W`。
  3. 权重矩阵的形状是（$4$，$9$），其中非0元素来自卷积核`K`。
  5. ```{.python .input}
  6. #@tab all
  7. def kernel2matrix(K):
  8.     k, W = d2l.zeros(5), d2l.zeros((4, 9))
  9.     k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
  10.     W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
  11.     return W
  13. W = kernel2matrix(K)
  14. W

逐行连结输入X，获得了一个长度为9的矢量。 然后，W的矩阵乘法和向量化的X给出了一个长度为4的向量。 重塑它之后，可以获得与上面的原始卷积操作所得相同的结果Y：我们刚刚使用矩阵乘法实现了卷积。

```{.python .input}

@tab all

Y == d2l.matmul(W, d2l.reshape(X, -1)).reshape(2, 2)

  2. 同样，我们可以使用矩阵乘法来实现转置卷积。
  3. 在下面的示例中，我们将上面的常规卷积$2 \times 2$的输出`Y`作为转置卷积的输入。
  4. 想要通过矩阵相乘来实现它，我们只需要将权重矩阵`W`的形状转置为$(9, 4)$。
  6. ```{.python .input}
  7. #@tab all
  8. Z = trans_conv(Y, K)
  9. Z == d2l.matmul(W.T, d2l.reshape(Y, -1)).reshape(3, 3)

抽象来看，给定输入向量$\mathbf{x}$和权重矩阵$\mathbf{W}$，卷积的前向传播函数可以通过将其输入与权重矩阵相乘并输出向量$\mathbf{y}=\mathbf{W}\mathbf{x}$来实现。 由于反向传播遵循链式法则和$\nabla_{\mathbf{x}}\mathbf{y}=\mathbf{W}^\top$，卷积的反向传播函数可以通过将其输入与转置的权重矩阵$\mathbf{W}^\top$相乘来实现。 因此，转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数：它的正向传播和反向传播函数将输入向量分别与$\mathbf{W}^\top$和$\mathbf{W}$相乘。

小结

  • 与通过卷积核减少输入元素的常规卷积相反，转置卷积通过卷积核广播输入元素，从而产生形状大于输入的输出。
  • 如果我们将$\mathsf{X}$输入卷积层$f$来获得输出$\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$并创造一个与$f$有相同的超参数、但输出通道数是$\mathsf{X}$中通道数的转置卷积层$g$，那么$g(Y)$的形状将与$\mathsf{X}$相同。
  • 我们可以使用矩阵乘法来实现卷积。转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数。

练习

  1. 在 :numref:subsec-connection-to-mat-transposition中，卷积输入X和转置的卷积输出Z具有相同的形状。他们的数值也相同吗？为什么？
  2. 使用矩阵乘法来实现卷积是否有效率？为什么？

:begin_tab:mxnet Discussions :end_tab:

:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab: