数据结构与算法之美 - 栈 - 《算法》

栈是什么
如何实现一个栈
支持动态扩容的顺序栈
栈在函数调用中的应用
栈在表达式取值中的应用
栈在括号匹配中的应用
实现浏览器的前进、后退功能
总结
技术拓展
- 为什么函数调用栈要有 ”栈“ 来保存临时变量
- JVM 内存管理中的 ”堆栈“

浏览器的前进、后退功能，我想你肯定很熟悉。

当你依次访问完一串页面 a-b-c 之后，点击浏览器的回退按钮，就可以查看之前浏览过的页面 b 和 a。当你后退到页面 a，点击前进按钮，就可以重新查看页面 b 和 c。但是，如果你会回退到页面 b 之后，点击了新的页面 d，那就无法再通过前进、后退功能查看页面 c 了。

假设你是 Chrome 浏览器的开发工程师，你会如何实现这个功能？其实这就需要用到我们今天要将的 ”栈“ 这种数据结构。

栈是什么

关于 ”栈“，有个很贴切的例子，就是一摞叠在一起的盘子。我们平时放盘子的时候，都是从下往上一个一个放，取得时候，也是从上往下一个一个地依次取，不能从中间任意抽出。后进先出，先进后出，这就是典型的 ”栈“ 结构。

栈是一种 ”操作受限“ 的线性表，只允许在一端插入和删除数据。从功能上说，数组和链表确实可以替代栈，但是特定的数据结构是对特定场景的抽象，而且，数组或链表暴露了太多的操作接口，操作上的确灵活自由，但使用时就比较不可控，自然也就更容易出错。

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，这时我们就应该首选 ”栈“ 这种数据结构。

如何实现一个栈

栈主要包含两个操作，入栈和出栈，也就是在栈顶插入一个数据和从栈顶删除一个数据。

实际上，栈既可以用数组实现，也可以用链表实现。用数组实现的栈，就做顺序栈，用链表实现的栈，就做链式栈。

这里实现一个基于数组的顺序栈。

class ArrayStack {
  items;
  count;
  n;
  constructor (n) {
    this.items = new Array(n);
    this.n = n;
    this.count = 0;
  }
  push (item) {
    if (this.count == this.n) return false;
    this.items[this.count] = item;
    this.count++;
    return true;
  }
  pop () {
    if (this.count == 0) return null;
    const tmp = this.items[this.count - 1];
    this.count--;
    return tmp;
  }
}

了解了定义和基本操作，那它的操作时间和空间复杂度是多少？

不管是顺序栈还是链式栈，我们存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈过程中，只需要一两个临时变量存储空间，所以空间复杂度是 O(1)。

注意，这里存储数据需要一个大小为 n 的数组，并不是说空间复杂度就是 O(n)。因为，这 n 个空间是必须的，无法省掉。所以，我们在说空间复杂度的时候，是指除了原本的数据存储空间外，算法运行还需要额外的存储空间。

不管是顺序栈还是链式栈，入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作，所以时间复杂度都是 O(1)。

支持动态扩容的顺序栈

之前的基于数组实现的栈，是一个固定大小的栈，也就是说，在初始化栈时需要事先指定栈的大小。当栈满之后，就无法向栈里添加数据了。尽管链式栈的大小不受限，但也要存储 next 指针，内存消耗相对较多。是否能基于数组实现一个可以支持动态扩容的栈？

在之前的数组那一节，已经说过实现动态扩容的数组思路。当数组空间不够时，我们就重新申请一块更大的内存，将原来数组中数据统统拷贝过去。这样就实现了一个支持动态扩容的数组。

所以，要实现一个支持动态扩容的栈，我们只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以。当栈满之后，就申请一个更大的数组，将原来的数据搬移到新数组中。

实际上，支持动态扩容的栈，在平时开发中并不常用到。说这块的目的，主要是希望练习一下前面讲的复杂度分析方法。

你不用死记硬背入栈、出栈的时间复杂度，你需要掌握的是分析方法。能够自己分析才算是真正掌握。

对于出栈操作来说，我们不会涉及内存的重新申请和数据搬移，所以出栈的时间复杂度仍然是 O(1)。

但是，对于入栈操作来说，情况就不一样了。当栈中有空闲时间时，入栈操作的时间复杂度为O(1)。当空间不足时，就需要重新申请内存和数据搬移，所以时间复杂度就变成 O(n)。

也就是说，对于入栈操作来说，最好情况时间复杂度是 O(1)，最坏情况时间复杂度是 O(n)。那平均情况时间复杂度是多少？

我们之前讲过摊还分析法，这个入栈操作的平均情况下的时间复杂度可以用摊还分析法来分析。

为了分析方便，需要事先做一些假设和定义：

栈空间不够时，我们重新申请一个原来大小两倍的数组；
为了简化分析，假设只有入栈操作；
定义不涉及内存搬移的入栈操作为 simple-push 操作，时间复杂度为 O(1)。

如果当前栈大小是 K，并且已满，当再有新的数据要入栈时，就需要重新申请 2 倍大小的内存，并且做 K 个数据的搬移操作，然后再入栈。但是，接下来的 k-1 次入栈操作，我们都不需要再重新申请内存和搬移数据。所以这 k - 1次入栈操作都只需要一个 simple-push 操作就可以完成。具体过程可以参考下图。

栈 - 图1

从上图可以看出，这 k 次入栈操作，总共涉及了 k 个数据的搬移，以及 k 次 simple-push 操作。将 k 个数据搬移均摊到 K 次入栈操作，那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个 simple-push 操作。以此类推，入栈操作的均摊时间复杂度为 O(1)。

通过这个例子的分析，也可以印证前面讲的，均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下，入栈操作的时间复杂度 O 都是 O(1)，只有在个别时刻才会退化为 O(n)，所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上，平均情况下的耗时就接近 O(1)。

栈在函数调用中的应用

前面讲的都偏理论一些，现在来看下，栈在软件工程中的实际应用。栈作为一个比较基础的数据结构，应用场景还是蛮多的。其中，一个比较经典的应用场景是函数调用栈。

我们知道，操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间，这块内存被组织成 “栈” 这种结构，用来存储函数调用时的临时变量。

每进入一个函数，就会将临时变量作为一个栈帧入栈，当被调用函数执行完成，返回之后，将这个函数对应的栈帧出栈。

栈在表达式取值中的应用

栈的另一个常见的应用场景，编译器如何利用栈来实现表达式求值。

为了方便解释，我们可以将算数表达式简化为只包含加减乘除四则运算，比如 34 + 13 * 9 + 44 - 12/3 。对于这个四则运算，人脑可以很快求解出答案，但是对于计算机来说，理解这个表达式本身就是一个很难的事。如果换做你，让你实现这样一个表达式求值的功能，你会怎么做？

实际上，编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个保存操作数的栈，另一个保存运算符的栈。

我们从左向右遍历表达式，当遇到数字，我们就直接压入操作数栈，当遇到运算符，就与运算符的栈顶元素进行比较。

如果比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前运算符压入栈；如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同，从运算符栈中求栈顶运算符，从操作数栈的栈顶取 2 个操作数，然后进行计算，再把计算完的结果压入操作数栈，继续比较。

下面是 3 + 5 * 8 - 6 这个表达式的计算过程中的图，你可以结合图和思考上述过程。

栈 - 图2

这样用两个栈来解决的思路是不是非常巧妙？你有没有想到？

栈在括号匹配中的应用

除了用栈来实现表达式求值，我们还可以借助栈来检查表达式中的括号是否匹配。

假设表达式中只包含三种括号，()、[]、{}，并且它们可以任意嵌套。如果给你一个包含三种符号的表达式字符串，应该如何检查它是否合法？

其实这也可以用栈解决。我们用栈来保存未匹配的未匹配的左括号，从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时，则将其压入栈中；当扫描到右括号时，从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配，比如 ”(“ 和 “)” 匹配，”[“ 和 “]” 匹配，”{“ 和 “}” 匹配，则继续扫描剩下的字符串。如果扫描的过程中，遇到不能配对的右括号，或者栈中没有数据，则说明为非法格式。

当所有的括号都扫描完成后，如果栈为空，则说明字符串为合法格式；否则，说明有未匹配的左括号，为非法格式。

实现浏览器的前进、后退功能

实现浏览器的前进、后退功能，用两个栈就可以非常完美解决。

我们使用两个栈，X 和 Y，我们把首次浏览的页面一次压入栈 X 中，当点击后退按钮时，才依次从栈 X 中出栈，并将出栈的数据依次放入栈 Y。当我们点击前进按钮时，我们依次从栈 Y 中取出数据，放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时，那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据，那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。