二叉树及其应用

谈完了数组、栈、队列等线性结构，接下来我们谈谈一种树形结构

1. 什么是树

2. 二叉树

每个节点最多有2个子节点，当然，可以只有一个节点，比如左子节点或者右子节点

3. 满二叉树

叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点

4. 完全二叉树

叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大

5. 二叉树的存储

5.1 链式存储法

5.2 数组存储法

不过注意哦，上面的情况是基于完全二叉树考虑的，如果不是完全二叉树的话，会浪费一些空间，看下图所示：

所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式，你会发现，堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数组
**

6. 二叉树的遍历

图解：

代码实现：

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}
void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
  inOrder(root->right);
}
void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}

7. 二叉查找树（Binary Search Tree）

支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作

散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是 O(1),既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方是散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢

先看看什么是二叉查找树：

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值

8. 二叉树的查找

public class BinarySearchTree {
  private Node tree;
  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }
  public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;
    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  }
}

9. 二叉查找树的插入

public void insert(int data) {
  // 如果没有根节点，直接将插入元素作为根节点
  if (tree == null) {
    tree = new Node(data);
    return;
  }
  Node p = tree;
  while (p != null) {
    // 插入元素比根节点大
    if (data > p.data) {
      // 如果没有右子节点，直接作为右子节点
      if (p.right == null) {
        p.right = new Node(data);
        return;
      }
      // 递归右子节点插入
      p = p.right;
    } else { // data < p.data
      if (p.left == null) {
        p.left = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.left;
    }
  }
}

10. 二叉查找树的删除

1. 如果要删除的节点没有子节点：我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。

1. 如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点）：只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13

1. 如果要删除的节点有两个子节点：我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。 ```java

public void delete(int data) { Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点 Node pp = null; // pp记录的是p的父节点 while (p != null && p.data != data) { pp = p; if (data > p.data) p = p.right; else p = p.left; } if (p == null) return; // 没有找到

// 要删除的节点有两个子节点 if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点 Node minP = p.right; Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点 while (minP.left != null) { minPP = minP; minP = minP.left; } p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中 p = minP; // 下面就变成了删除minP了 pp = minPP; }

// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点 Node child; // p的子节点 if (p.left != null) child = p.left; else if (p.right != null) child = p.right; else child = null;

if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点 else if (pp.left == p) pp.left = child; else pp.right = child; } ```

11. 二叉排序树

二叉查找树也叫二叉排序树，理由如下：

中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)

12. 二叉查找树时间复杂度分析

根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。
二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树），时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)

13. 为什么要用二叉查找树

散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是 O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢

1. 散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

1. 散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。

1. 笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

1. 散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

1. 最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。

当然了，实际使用的时候要具体情况具体分析