假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做呢

1. 算法思想

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

非递归代码实现：

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  6.   while (low <= high) {
  7.     // low+(high-low)/2, mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出
  8.     int mid = low + ((high - low) >> 1);
  9.     if (a[mid] == value) {
  10.       return mid;
  11.     } else if (a[mid] < value) {
  12.       low = mid + 1;
  13.     } else {
  14.       high = mid - 1;
  15.     }
  16.   }
  18.   return -1;
  19. }

递归代码实现：

  2. // 二分查找的递归实现
  3. public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  4.   return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
  5. }
  7. private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  8.   if (low > high) return -1;
  10.   int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  11.   if (a[mid] == value) {
  12.     return mid;
  13.   } else if (a[mid] < value) {
  14.     return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  15.   } else {
  16.     return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  17.   }
  18. }

2. 局限性

  • 二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

  • 二分查找针对的是有序数据。

  • 数据量太小不适合二分查找，数据量太大也不适合二分查找

3. 问题解答

我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。借助今天讲的内容，我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

看起来这个问题并不难，很轻松就能解决。实际上，它暗藏了“玄机”。如果你对数据结构和算法有一定了解，知道散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构。你可能会觉得，用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，我们后面会讲，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

4. 变形二分

二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”

比如看以下几个变形题，就会发现没那么简单：
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变形1、查找第一个值等于给定值的元素

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  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] > value) {
  8.       high = mid - 1;
  9.     } else if (a[mid] < value) {
  10.       low = mid + 1;
  11.     } else {
  12.       // 如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；
  13.       // 如果 mid 不等于 0，但 a[mid]的前一个元素 a[mid-1]不等于 value，
  14.       // 那也说明 a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
  15.       // 如果经过检查之后发现 a[mid]前面的一个元素 a[mid-1]也等于 value，
  16.       // 那说明此时的 a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。
  17.       // 那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。
  18.       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
  19.       else high = mid - 1;
  20.     }
  21.   }
  22.   return -1;
  23. }

变形2：查找最后一个值等于给定值的元素

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] > value) {
  8.       high = mid - 1;
  9.     } else if (a[mid] < value) {
  10.       low = mid + 1;
  11.     } else {
  12.       // 如果 a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；
  13.       // 如果 a[mid]的后一个元素 a[mid+1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。
  14.       // 如果我们经过检查之后，发现 a[mid]后面的一个元素 a[mid+1]也等于 value，
  15.       // 那说明当前的这个 a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新 low=mid+1，
  16.       // 因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。
  17.       if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
  18.       else low = mid + 1;
  19.     }
  20.   }
  21.   return -1;
  22. }

变形3：查找第一个大于等于给定值的元素

  1. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] >= value) {
  7.       // a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。
  8.       // 如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素
  9.       // 如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，
  10.       // 所以，我们将 high 更新为 mid-1。
  11.       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
  12.       else high = mid - 1;
  13.     } else {
  14.       low = mid + 1;
  15.     }
  16.   }
  17.   return -1;
  18. }

变形4：查找最后一个小于等于给定值的元素

  1. public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] > value) {
  7.       high = mid - 1;
  8.     } else {
  9.       if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
  10.       else low = mid + 1;
  11.     }
  12.   }
  13.   return -1;
  14. }

5. 变形二分的应用

假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢？

当我们想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]这个地址范围内，那我们就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

  2. [202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
  3. [202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台 
  4. [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛 
  5. [202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁 
  6. [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州 
  7. [202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

========> 这样不就解决了吗！

如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。

当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。