树&二叉树

树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合
把它叫做树是因为他看起来像一颗倒挂的树，也就是说他是跟朝上，而叶朝下的
特点:

1. 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
2. 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2……Tm,其中每一个集合Ti(1 <= i <= m)又是一棵与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3. 树是递归定义的

概念

结点的度：一个节点含有的子树的个数成为该节点的度
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
叶子节点或终端节点：度为0的结点成为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点成为其子节点的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
根节点：一棵树中，没有双亲结点的结点
节点的层次：从根开始定义其，根为第一层，根的子节点为第二层
树的高度：树中节点的最大层次
树的深度：第几层深度就是几

了解：
非终端节点或分支节点：度不为0的节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都成为该节点的子孙
森林：由m(m > 0)棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示形式

孩子兄弟表示法（最常用）

class Node{ int val; Node firstChild; Node nextBrother; }

树的应用

文件系统管理

二叉树

概念

一棵二叉树是节点的有限集合，该集合或者为空，或者是有一个根节点加上两棵别成为左子树和右子树的二叉树组成
特点
1.每个节点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的节点
2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

两种特殊的二叉树k

1.满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说：如果一个二叉树的层数为K，且节点总数是2 - 1，则它就是满二叉树
2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的，对于深度为K的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点——对应是称之为完全二叉树，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数为2-1（k>= 0）
3. 对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为n0,度为2的非叶节点个数为n2，则有n0 = n2+1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)向上取整
5. 对于具有n个结点的二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   • 若i>0 ,双亲序号：(i-1)/2; i = 0,i为根结点编号，无双亲结点
   • 若2i+1 < n 左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   • 若2i+2 < n 右孩子序号：2i+1，否则无右孩子

二叉树的基本操作

//定义树结点
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    public TreeNode(int val) {
        this.val = val;
    }
}
public class baseTree {
    // 前序遍历
    void preOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        System.out.println(root.val + " ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }
    // 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.println(root.val + " ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }
    // 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        postOrderTraversal(root.left);
        postOrderTraversal(root.right);
        System.out.println(root.val + " ");
    }
    // 遍历思路-求结点个数
    static int size = 0;
    void getSize1(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }
    // 子问题思路-求结点个数
    int getSize2(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        return getLeafSize2(root.left) + getSize2(root.right) + 1;
    }
    // 遍历思路-求叶子结点个数
    //先要理解叶子结点是什么？
    //叶子节点指最后一行的结点
    static int leafSize = 0;
    void getLeafSize1(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        if (root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.right);
        getLeafSize1(root.left);
    }
    // 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafSize2(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
    }
    // 子问题思路-求第 k 层结点个数
    int getKLevelSize(TreeNode root, int k) {
        if (root == null) return 0;
        //从第0层开始递归，递归到k-1层时即是第K层
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelSize(root.left, k - 1) + getKLevelSize(root.right, k - 1);
    }

基础题

1.二叉树前序遍历（LeetCode存入List版本）

https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-preorder-traversal/

// 前序遍历LeetCode
    //要将前序遍历结果存入数组
    List<Integer> preOrderTraversalNor(TreeNode root) {
        List<Integer> zz = new ArrayList<>();
        if (root == null) return zz;
        zz.add(root.val);
        List<Integer> leftList = preOrderTraversalNor(root.left);
        zz.addAll(leftList);
        List<Integer> rightList = preOrderTraversalNor(root.right);
        zz.addAll(rightList);
        return zz;
    }

2.二叉树中序遍历

https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/submissions/

// 中序遍历LeetCode
    List<Integer> inOrderTraversalNor(TreeNode root) {
        List<Integer> zz = new ArrayList<>();
        if (root == null) return zz;
        List<Integer> left = inOrderTraversalNor(root.left);
        zz.addAll(left);
        zz.add(root.val);
        List<Integer> right = inOrderTraversalNor(root.right);
        zz.addAll(right);
        return zz;
    }

3.二叉树的后序遍历

https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-postorder-traversal/submissions/

    // 后序遍历LeetCode
    //递归方法
    List<Integer> postOrderTraversalNor(TreeNode root) {
        List<Integer> zz = new ArrayList<>();
        if (root == null) return zz;
        System.out.println(root.val);
        List<Integer> leftList = postOrderTraversalNor(root.left);
        zz.addAll(leftList);
        List<Integer> rightList = postOrderTraversalNor(root.right);
        zz.addAll(rightList);
        zz.add(root.val);
        return zz;
    }
    //非递归
    void postOrderTraversalNor1(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        //存入栈
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        //工作结点
        TreeNode cur = root;
        //前驱结点
        TreeNode prev = null;
        //工作结点cur没到头，或栈不为空时
        while (cur != null || !stack.empty()) {
            while (cur != null) {
                //结点入栈
                stack.push(cur);
                //遍历下一层
                cur = cur.left;
            }
            //展示，并更新cur位置
            cur = stack.peek();
            //右为空或右为前驱（也就是遍历过了的结点）
            if(cur.right == null || cur.right == prev) {
                //出栈并打印
                stack.pop();
                System.out.print(cur.val+" ");
                //更新位置
                prev = cur;
                //工作结点cur置空并等待下次peek给予更新位置
                cur = null;
            }else {
                cur = cur.right;
            }
        }
    }

4. 检查两颗树是否相同

https://leetcode-cn.com/problems/same-tree/

5. 另一颗树的子树

https://leetcode-cn.com/problems/subtree-of-another-tree/submissions/

    //自底向上递归求二叉树的深度
    public int getDepth2(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        int leftDepth=getDepth2(root.left);
        int rightDepth=getDepth2(root.right);
        return Math.max(leftDepth,rightDepth)+1;
    }
    //是另一棵树的子树
    public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
        if(root == null)return false;
        return isSameSubtree(root,subRoot)
                || isSubtree(root.left,subRoot)
                || isSubtree(root.right,subRoot);
    }
    public boolean isSameSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot){
        if(root == null && subRoot == null) return true;
        if(root == null || subRoot == null) return false;
        //到此意味着两者都不为空
        if(root.val != subRoot.val) return false;
        return isSameSubtree(root.left,subRoot.left)
                && isSameSubtree(root.right,subRoot.right);
    }

6. 二叉树最大深度

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/

//自顶向下递归求二叉树的深度
    public int maxDepth;
    public void getDepth(TreeNode root,int depth){
        if(root==null){
            return;
        }
        if(root.left==null&root.right==null){
            maxDepth=Math.max(maxDepth,depth);
        }
        getDepth(root.left,depth+1);
        getDepth(root.right,depth+1);
    }
    //自底向上递归求二叉树的深度
    public int getDepth2(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        int leftDepth=getDepth2(root.left);
        int rightDepth=getDepth2(root.right);
        return Math.max(leftDepth,rightDepth)+1;
    }

7. 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树

https://leetcode-cn.com/problems/balanced-binary-tree/

//保证每棵树都平衡，包括其子树 //O(n) public boolean isBalanced(TreeNode root){ //求高度mexDepth; if(root == null) return true; int leftHight = maxDepth(root.left); int rightHight = maxDepth(root.right);

return Math.abs(leftHight - rightHight) < 2 && isBalanced(root.left) && isBalance(root.right);

    //平衡二叉树
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        if(root == null)return true;
        //取绝对值
        return Math.abs(getHeight(root.left) - getHeight(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
    }
    //求高度
    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null)    return 0;
        int left = getHeight(root.left);
        int right = getHeight(root.right);
        return Math.max(left,right)+1;
    }

8. 对称二叉树

https://leetcode-cn.com/problems/symmetric-tree/submissions/

    //对称二叉树（镜像）
    public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
        if(root == null)return true;
        return isSymmetricChild(root.left,root.right);
    }
    public boolean isSymmetricChild(TreeNode a,TreeNode b){
        if(a.left != null && b.right == null)return false;
        if(a.left == null && b.right != null)return false;
        if(a.left == null && b.right == null)return true;
        if(a.val != b.val)return false;
        return isSymmetricChild(a.left,b.right) && isSymmetricChild(a.right,b.left);
    }

二叉树的层序遍历

队列来暂存，因其先进先出的特性
将二叉树每个元素分别村塾队列
使用cur逐个打印元素

queue.offer(root); while(!queue.isEmpty()) { Node cur = queue.poll(); sout; if(cur.left != null){ queue.offer(cur.left); } if(cur.right != null){ queue.offer(cur.tight); }

使用二维数组的方法:
List>;
定义一个size，每一轮减一直到0下一轮循环
poll

总结：

1.能确定一些参数，从该节点本身出发去解决问题吗
2.能够使用这些参数和节点的值确定出什么是应该传递给子节点的值吗
如果两个问题都是肯定，那么采用自顶向下的递归。
否则，如果是对于树中的任意节点，知道了子节点的结果，怎么确定出该节点的结果。就是自底向上递归的思路。