进制的原理

概念

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制—-X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。

• 十进制是逢十进一
• 十六进制是逢十六进一
• 二进制就是逢二进一

以此类推，x进制就是逢x进位。

进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。

可使用数字符号的数目称为基数(en:radix)或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。

进制由来

二进制由来

由于两个开关状态表示的数据有限，所以国际化组织规定了由8个状态来表示一个数据。作为一个数据的基本单位。随着后来的发展，我们采用数字信号替代了电信号，分别用1和0来表示开关。

8个1和0这样的数据就是计算机存储的最基本单位，叫字节 byte

1和0这样的数据叫比特位, bit

1byte=8bit  
1k=1024byte   10^5  
1m=1024k  
1g=1024m  
1t=1024g

二进制只有0和1两个数字，基数为2，在加减法运算中，逢二进一，借一当二。

表示数值：0、1、10、111、100、1000001

加法：1+0=1、1+1=10、10+110=1000、111+111=1110、

减法：1-0=1、10-1=1、100-11=1、1010-101=101

八进制表示

把上图中的二进制数据，按照从右到左每三位一组合，然后计算出该三个组合数据的十进制数值，在把十进制的数组合到一起，就形成了八进制。

注意：如果位数不够，在左边补齐0

所以上图中 01001001 八进制表示如下图，由于位数不够在最左边补了0

十六进制表示

发现八进制还是有点大，就出现十六进制

把二进制的数据，按照从右到左每四位一组合，然后计算出该四个组合数据的十进制数值，在把十进制的数组合到一起，就形成了十六进制。

总结

从上面三个图中可以看出：进制越大，表示形式越短

进制一览

• 二进制数

组成：由0,1组成。用0b开头表示(是数字0不是字母o)。0b1011 => 11

• 四进制
• 七进制数
• 八进制数

由0-7组成。用0开头表示。013 =>11

• 十进制数

由0-9组成。默认整数就是十进制。 11

• 十二进制
• 十六进制

由0-9，a-f(不区分大小写)。用0x开头表示 0xb => 11

在c语言中0x表示小写a-f 0X表示大写A-F

这里主要总结： 二进制 八进制 十六进制 十进制

//如十进制 11 
console.log(0b1011)   //二制进0b1011    打印出11
console.log(013)      //二制进013       打印出11
console.log(0xb)      //十六制进0xb    打印出11

从其他进制到十进制的转换

总结

• 系数：某个数据的每一位数据就是该位上的系数,如表格12345系数就是： 1 2 3 4 5
• 基数：X进制的基数就是X， 如：十进制基数10 ， 二进制基数2 ，八进制基数8
• 权：把某个数的每一位上的数从右往左进行编号，而是从0开始，把每个编号看成该数据的权，如表格12345从右往左数就是：0 1 2 3 4，如有负数就是 -1 -2

结论： 系数 * 基数的权次幂之和

365 的系数是： 3 6 5 ，基数是：10 ， 权是：0 1 2

365 = 3 10^2 + 6 10^1 + 5 * 10^0

   = 300 + 60 + 5
   = 365

十进制到十进制

12345 系数：1,2,3,4,5 ；基数：10；权：0,1,2,3,4

二进制到十进制

1011 系数：1,0,1,1；基数：2；权：0,1,2,3

八进制到十进制

256 系数：2,5,6；基数：8；权：0,1,2

十六进制到十进制

3a 系数：3,10；基数：16；权：0,1

注意：十六进制a-f是10-15

十进制到其他进制的转换

规律：除基取余，直到商为0，最合余数反转

十进制到十进制

十进制：12345 => 十进制：12345

十进制到二进制

十进制：22 => 二进制：10110

二进制和十进制间快速转换 8421码

8421码中的8421是什么意思?

表示一位十进制数的二进制码的每一位有确定的权一般用8421码

其四个二进制码的权从高到低分别为8,4,2,1.

8421是最常用的二进制码,叫这个是因为四位8421码时,从左到右=每个”1”代表的十进制数分别是”8”、”4”、”2”、”1”

如下：

• 1000 为十进制 8
• 0100 为十进制 4
• 0010 为十进制 2
• 0001 为十进制 1

二进制到十六进制8421转换

从上图可以看出把系数为有1 进行 8421相加 如9=8+1,B=8+2+1

十进制转二进制快速转换方法：8421

二进制到十进制：0101 1110 = 64 +16 + 8 + 4 + 2 = 94

根据上面表格中对应关系有1的算出来如：1110对应的就是 8 4 2

十进制到二进制156如：直接减128

156

  -128

28

 -16

12

 -8

4

 -4

156=128+16+8+4= 1001 1100

如300：

300

  -256

44

 -32

12

 -8

4

 -4

300=256 + 32 + 8 +4 =1 0010 1100

有符号数据的表示方法：原码 反码 补码

机器数和真值

1. 机器数
   一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。
   机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。
   比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ，就是 1000 0011 。
   那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2. 真值
   因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
   例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。
   所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原码

把数据按照符号位和数值位分开，最高位为符号位，正数用0，负数用1

第一位是符号位， 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即 64+32+16+8+4+2+1=127

[-127 , 127]

反码

正数的反码和原码相同。

负数的反码和原码的区别是：符号位不变，数值位0变1，1变0

补码

正数的补码和原码相同。

负数的补码是反码+1

示例

1. 计算1-1的值是多少？

数值位相加是：1 0000010 ，两个1相加是缝2进1，按原码计算发现结果是-2，因为计算机底层所有存储和计算机都是以补码形式存在的。

用补码计算：

从图中可以看出原码和补码相加

原码 0 0000001

补码 0 0000001

结果 10 0000000

符号位有益出，要舍弃1,所以最终结果是0

已知原码10110100，求反码和补码

已知补码11101110，求原码

注：负数的补码到反码是-1