3 线性代数回顾(Linear Algebra Review)

3.1 矩阵和向量

矩阵：

其中：蓝色框中表示所有4x2矩阵的集合。

向量：

向量是一种特殊的矩阵：nx1的矩阵。 讲义中的向量一般都是列向量 ，例如当n=4，是四维列向量。蓝色框中表示所有四维向量的集合。

3.2 加法和标量乘法

加法：

标量乘法：

3.3 矩阵的向量乘法

向量乘法得到向量


如上图所示，在编程中，左侧写法不仅比右侧更简洁，而且运算效率更高。

3.4 矩阵乘法

3.5 矩阵乘法的性质

矩阵乘法的性质：

1. 矩阵的乘法不满足交换律：
2. 矩阵的乘法满足结合律。即：
3. 单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用或者表示，本讲义都用代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。如：
4. 对于单位矩阵，有

3.6 逆和转置

• 矩阵的逆：如矩阵是一个矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：，我们一般在OCTAVE或者MATLAB中进行计算矩阵的逆矩阵。
• 矩阵的转置：设为阶矩阵（即行列），第行列的元素是，定义的转置为这样一个阶矩阵，满足，即 ，记(有些书记为）。
• 直观来看，将的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到的转置。
• 矩阵的转置基本性质:
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
• matlab中矩阵转置：直接打一撇，x=y’。