03 | 复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

为什么需要复杂度分析？

实实在在跑一遍程序叫事后统计法，这种统计方法有很大的局限性。
1. 测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。

2. 测试结果受数据规模的影响很大
举个例子,对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能。

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法**。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲就是算法代码执行的时间。
规律：所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。
这个规律可以总结为：

T(n)：表示代码执行的时间
n ：表示数据规模的大小
f(n)：表示每行代码执行次数总和
O：表示代码执行时间T(n)与f(n)表达式成正比

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

何分析一段代码的时间复杂度？
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)g(n)).
*

常见的大O 表达式

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2) 和 O(n!)。
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)
我稍微总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

var i=1;
while(i<=n){
    i = i * 2;
}

这段代码主要是第三行代码循环执行次数最多，变量i的取值为一个等比数列

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=logn，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(logn)。

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？
我们知道，对数之间是可以互相转换的，logn 就等于 log2 logn，所以 O(logn) = O(C logn)，其中 C=log2 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(logn) 就等于 O(logn)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3. O(m+n)、O(m*n)
代码的复杂度由两个数据的规模来决定

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }
  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

空间复杂度分析

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))。其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
常见的空间复杂度是O(1)、O(n)、O(n^2)

内容小结

常见复杂度从低阶到高阶有：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2)

复杂度分析并不难，关键在于多练
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存储一个二进制数，输入规模（空间复杂度）是O(logn）bit
比如8用二进制表示就是3Bit,16用二进制表示就是4bit。以此类推n用二进制表示就是logn个bit.