精算师定期遇到归因问题。 事实上，任何结果改变的情况，无论是由于假设、市场条件的变化，甚至仅仅是时间的推移，经常导致了自然的后续问题：为什么结果会改变？ 为了回答这个问题，精算师使用各种技术，每种技术都有自己的长处和弱点。 然而，一个技术 在精算师中并不广为人知-游戏理论中的Aumann-Shapley值-在许多情况下可以产生更好地满足我们对良好归因的直觉期望的归因
一些作者已经将Aumann-Shapley方法应用于非精算环境中的各种财务问题。 例如，Denault（1999年）利用它在港口之间分配保证金要求 选项的折页。 然而，Aumann-Shapley方法尚未在精算界广泛采用
假设我们有一个多元函数f以及参数u和v的两个向量，分别代表先前的参数和最新的参数。 在问题的最一般形式中，我们几乎对函数f或其参数没有任何限制。 在某些应用中，f可能包含不连续点或可能缺少封闭形式的解决方案。 函数f也可以采用非连续参数。 例如，二进制变量可以指示是否使用一种或另一种方法，例如整理与持续死亡率。
在归因问题中，我们试图通过向第i个变量分配一个表示其对差异的贡献的量来解释差异，其中i的范围从1到该函数f的输入数量。
理想情况下，值的总数将等于，但在实践中，这并不总是发生的。 任何剩余的差异，有时通过术语未被追踪或无法解释，代表 该属性方法不能分配给输入变量之一的部分更改。
尽管我们当中可能很少有人尝试正式列出我们希望“良好”归因所满足的属性，但是从直观上看，我们对合理方法的行为有所了解。 例如，如果第i个变量没有变化（所以ui = vi），则我们期望它对差的贡献等于零。 同样，如果第ith个变量对f的值没有影响（意味着当ui≠vi且所有j≠i的uj = vj时，f（u）= f（v）），那么我们再次期望其贡献等于零。

归因技术

ATRRIBUTION TECHNICH
本文关注的技术AumannShapley值要求f及其参数满足一些条件。 具体来说，f必须沿u和v之间的向量在其所有参数中都具有偏导数。我们不需要f的封闭形式，但必须有一种方法可以计算路径上任何给定点的偏导数。
对于满足这些要求的归因问题，Aumann-Shapley方法产生了一些有价值的结果。 它总是产生没有无法解释的数量的归因。3正如我们将在后面的示例中看到的那样，其结果还显示出在解决问题方面具有一定的理想稳定性。
对于每个变量我们计算归因，这个积分不总是有封闭解，但是我们可以对它进行数值计算。
或者我们可以观察Aumann Shapley的计算过程，如以下三步骤。

1. 对于f的第i个参数的偏导数
2. 沿u和v之间的线段积分该偏导数。此处，虚拟变量z表示是0(u)到1(v)之间的线性插值。
3. 累加所有之间的积分结果。

循序渐进 step-through

面对归因问题的许多精算师将一次解决一个参数来解决该问题，这是一项具有多项重要优势的技术。 只要我们能够逐步评估每个组合的函数f，f可以具有任意数量的不连续点，并且可能缺少封闭形式的解决方案。 即使f具有不连续的输入，我们也可以使用逐步。
此外，单步执行也会产生不明原因的归因。
但是，单步执行有一个众所周知的缺点：结果取决于我们用来单步执行参数的任意顺序。 在本文的示例中，我们将使用一种改进的技术来克服此问题：我们将对每个可能的订单执行逐步操作，然后将属性平均化。4这样就消除了任意选择的订单上的依赖关系。 但是，正如我们将在后面的示例中看到的那样，即使是这种经过改进的逐步方法也仍然存在明显的缺陷。 尽管如此，在无法满足Aumann-Shapley方法要求的情况下，逐步实施仍然是可行的选择。

偏导数

精算师已经经常使用导数或导数的近似来执行属性。 一些偏导数经常出现，它们有特定的名称，如“希腊” S“(三角洲、伽马、Vega、Rho、θ等) 或持续时间。 在某些情况下，我们使用公式直接计算偏导数；在另一些情况下，我们将其中一个参数震得很小 合理地估计导数

举例

不出所料，逐步和Aumann-Shaple方法都完全归功于这一变化。 它们也产生可比的结果。 偏导数结果虽然很容易计算6，但不能准确地捕捉到总的价值变化