点积

点积在数学中，又称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量相乘并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

点积的定义为如果我们有两个向量1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图1和1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图2，它们的点积（dot product）为

1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图3

长度

一个向量的长度一般指这个向量的头尾之间的欧几里得距离，即向量1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图4的长度为1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图5，推广到多维也是一样的做法。如：
1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图6。

内积的几何意义

1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图7

从内积的几何意义中，我们不难看出，当两个向量的内积为0时，这两个向量必定正交，即夹角为1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图8。当两个向量的内积的绝对值等于两个向量的长度之积时，两个向量必定共线，即夹角为1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图9或者1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图10。

从公式中我们也可以反推出两个向量夹角的计算公式：

1.2 长度和点乘（Length and Dot Product） - 图11