主要内容：
- 误差来源
- 有效数字
- 有没有小数点
- 误差
- 舍入误差
零、误差的来源
一、有效数字
- 定义1：没有小数点的数：从左边的第一个非零数字到右边最后的非零数字之间的所有数字，例如12000有两个有效数字“1”“2”。
- 定义2：有小数点的数：从左边第一个非零数字到右边最后的数字（不管是否为0），例如2000.5有5个有效数字，2000.5000有8个有效数字，0.0001有一个有效数字，0.000100有三个有效数字。
- 有效数字：只有最后一位是不准确的。例如，如果某个重量为10.5g，那么有效数字为3个，那么大概介于10.45~10.55之间；如果重量是10.500g，那么有效数字是5个，那么重量介于10.495~10.505之间。
二、迭代（Iterative refinement）VS 直接（Direct）
- 迭代：从一个处置开始，然后越来越接近真值；
- 直接：一步到位真值。
三、误差定义
- 误差：真值和近似值之间的差
- 绝对误差
真值true value - 近似值approx，相对误差
误差/真值。相对误差更有效地测量准确程度，因为和单位无关。 - 百分比真实相对误差（true percent relative error）
——we don’t know. - Percent approximation error =
——we know it. - 在迭代计算过程中，每一步的误差
，一般而言，只要定义一个百分比公差eps，当误差下降到eps内，那么停止计算。
- 绝对误差
- Newton-Raphson求方程的解
四、舍入误差Roundoff error
1. Quantization error
- 数字在计算机中如何表示：
- 整数（Integer）
- 固定点（Fixed-point）
- 浮点（Floating-point）
- 整数表达：16位二正数进制的表达的范围-32768~32767。
左边第一位是符号位置，1=负数，0=正数；
剩下的15个位置表示数字，右边第一个位置是
，右边第二个位置是
，左边第二个位置是
；对应位置的01表示01和对应的2的指数幂相乘。
- 0的表达：
； - 最大正数：
； - 第二个最大负数：
； - 最大的负数：
，这是因为0的表达已经是16个0，因此这里特指1+15个0是最大的负数（虽然计算方式和上面的相悖）。 - 因此，范围是-32768~32767。
- 浮点数的表示；那么整数部分称为exponent（characteristic），分数部分称为mantissa（significand）。
，m=mantissa，b=base，e=exponent，中间的点是乘号；例如10进制base=10，二进制中base=2；- Normalization：丢掉多余的0，例如0.05=
；- 标准，
； - 例如，10进制中，存在
；二进制中，存在
。
- 标准，
- 例子，使用7位二进制的浮点数表达，左边第一位是整体的正负符号，第二位是幂的正负符号，三四两位是幂的大小，5~7位是整数位置的大小。找到最小的正数。
那么第一位=0，表示正数；第二位幂的符号取负数；三四两位得到最大的幂=12^1+12^0=3；5~7位是整数m的位置（需要处在0.5<=m<1之间），最小=0.5+0+0=0.5，因此最小的正数=0.5*2^{-3}=0.0625
第二小的正数=2^{-3}(12^{-1}+02^{-2}+12^{-3})
最大的正数=2^{3}(2^-1+2^-2+2^-3)=7。
在这个数值系统中，不仅仅存在overflow的问题（不能超出-7~7的范围），也存在underflow的问题，不能够小于0.0625的误差；随着数字增大，*数字之间的空隙（无法表达的数字）也越来越大。
const float a = 1.234; const float b = 0.0000005678; const double c = 1.234; const double d = 0.0000005678;
class p1
{
private:
float x;
double y;
public:
void floating()
{
x = a + b;
y = c + d;
cout.setf(ios::fixed, ios::floatfield); //固定格式
cout.precision(10); //高精度
cout << x << endl;
cout << y << endl;
}
};
int main()
{
p1 p;
p.floating();
return 0;
}
```
结果：x=1.2340005636，y=1.2340005678。
如果设定精度为15位，那么结果为x=1.234000563621521，y=1.234000567800000。
因此，double更加准确。
2. Numerical manipulations
- 各种运算
- Stability and condition
- Stability：算法的问题。
- Condition：问题本身的条件不好。
五、Truncation error
- 例子
这里a表示开始拟合的位置。
2. 误差的表示
- 推导
- 积分均值的第一定理
- 积分均值的第二定理
积分均值的第一定理即为第二定理的特殊情况，h(t)=1。
- 那么令
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