动态规划算法介绍

  1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
  2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
  3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
  4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

    动态规划算法实践

    背包问题

    背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品
物品 重量 价格
吉他(G) 1 1500
音响(S) 4 3000
电脑(L) 3 2000
  1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
  2. 要求装入的物品不能重复
  3. 思路分析：
    1. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)。这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
    2. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
      1. v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
      2. 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] //当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
      3. 当j>=w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} //当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，// 装入的方式：v[i-1][j]就是上一个单元格的装入的最大值；v[i]表示当前商品的价值；v[i-1][j-w[i]]表示装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值。 | 物品\背包容量 | 0磅 | 1磅 | 2磅 | 3磅 | | —- | —- | —- | —- | —- | | | 0 | 0 | 0 | 0 | | 吉他(G) | 1500 | 1500 | 1500 | 1500 | | 音响(S) | 1500 | 1500 | 1500 | 3000 | | 电脑(L) | 1500 | 1500 | 2000 | 3500(L+G) |
  1. public class KnapsackProblem {
  3.     public static void main(String[] args) {
  4.         // TODO Auto-generated method stub
  5.         int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
  6.         int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
  7.         int m = 4; //背包的容量
  8.         int n = val.length; //物品的个数
  11.         //创建二维数组，
  12.         //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
  13.         int[][] v = new int[n+1][m+1];
  14.         //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
  15.         int[][] path = new int[n+1][m+1];
  17.         //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
  18.         for(int i = 0; i < v.length; i++) {
  19.             v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
  20.         }
  21.         for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
  22.             v[0][i] = 0; //将第一行设置0
  23.         }
  26.         //根据前面得到公式来动态规划处理
  27.         for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
  28.             for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
  29.                 //公式
  30.                 if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
  31.                     v[i][j]=v[i-1][j];
  32.                 } else {
  33.                     //说明:
  34.                     //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
  35.                     //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
  36.                     //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
  37.                     //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
  38.                     if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
  39.                         v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
  40.                         //把当前的情况记录到path
  41.                         path[i][j] = 1;
  42.                     } else {
  43.                         v[i][j] = v[i - 1][j];
  44.                     }
  46.                 }
  47.             }
  48.         }
  50.         //输出一下v 看看目前的情况
  51.         for(int i =0; i < v.length;i++) {
  52.             for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
  53.                 System.out.print(v[i][j] + " ");
  54.             }
  55.             System.out.println();
  56.         }
  58.         System.out.println("============================");
  59.         //输出最后我们是放入的哪些商品
  60.         //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
  61. //        for(int i = 0; i < path.length; i++) {
  62. //            for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
  63. //                if(path[i][j] == 1) {
  64. //                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
  65. //                }
  66. //            }
  67. //        }
  69.         //动脑筋
  70.         int i = path.length - 1; //行的最大下标
  71.         int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
  72.         while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
  73.             if(path[i][j] == 1) {
  74.                 System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
  75.                 j -= w[i-1]; //w[i-1]
  76.             }
  77.             i--;
  78.         }
  79.     }

视频教程

动态规划第1讲
动态规划第2讲