一 统计学基础运算

1 方差的计算

在统计学中为了观察数据的离散程度，我们需要用到标准差，方差等计算。我们现在拥有以下两组数据，代表着两组同学们的成绩，现在我们要研究哪一组同学的成绩更稳定一些。方差是中学就学过的知识，可能有的同学忘记了 ，一起来回顾下。

A组 = [50,60,40,30,70,50] B组 = [40,30,40,40,100]

为了便于理解，我们可以先使用平均数来看，它们的平均数都是50，无法比较出他们的离散程度的差异。针对这样的情况，我们可以先把分数减去平均分进行平方运算后，再取平均值。
image.png
想上面这样就是方差的计算方式，就是数组中的每一个数减去平均值，然后再分别计算它们的平方值，最后再取平均数的运算就叫方差。方差很适合用来研究数据的离散程度，但是会存在两个问题：

  • 有时数值会变得特别大
  • 运算的结果变成了原来的平方

为了解决上面的问题，我们会把最后的结果开方，就像这样：
image.png
在方差的结果上，开一个根号，运算出来的结果就叫做标准差了。通过标准差的计算后，我们一下就能够看出来，标准差越小的，证明其成绩越稳定。

2 使用numpy计算标准差和方差

  1. import numpy as np
  3. # 创建一个二维数组
  4. arr = np.array([[3, 7, 25, 8, 15, 20],
  5.                 [4, 5, 6, 9, 14, 21]])
  7. # 计算方差
  8. print(arr.var())
  9. print(np.var(arr))
  10. # 计算标准差
  11. print(arr.std())
  12. print(np.std(arr))
  14. # 计算轴0方向方差
  15. print(arr.var(axis=0))
  16. print(np.var(arr, axis=0))
  17. # 计算轴1方向方差
  18. print(arr.var(axis=1))
  19. print(np.var(arr, axis=1))
  21. # 计算轴0方向标准差
  22. print(arr.std(axis=0))
  23. print(np.std(arr, axis=0))
  24. # 计算轴1方向标准差
  25. print(arr.std(axis=1))
  26. print(np.std(arr, axis=1))

二 二项式定理

1 二项式系数

二项式定理非常重要，是理解和应用概率分布的前提，这都是中学学过的，我们一起来回顾一下。

05-统计概率 - 图3

2ab这一项可以用排列组合的知识来理解，从(a+b)(a+b)分别选出a和b的可能性，那么一共有两种情况：

  • 从第一个(a+b)中选出a，从第二个(a+b)选出b
  • 从第二个(a+b)中选出a，从第一个(a+b)中选出b

所以ab左边的系数就是2，这个2就是二项式系数，同理：

05-统计概率 - 图4

WechatIMG62副本.png
我们从上边的两个例子中可以看到，无论是第一个例子中的从两个括号中选出一个b，还是后边的从3个括号中选出一个b(这里我们把b作为研究对象，其实无论是谁都是一样的)都是组合的问题，所以结合我们中学学过的知识二项系数可以总结为如下公式：
image.png
在统计学中，对于二项分布来说，二项系数是必不可少的知识，关于二项分布我们后边会讲到。

2 用Python获得二项系数

首先需要声明一个函数，函数接收两个参数，一个是n，一个是k，返回值为其二项系数的值。

  1. import itertools
  2. import numpy as np
  4. # 等待排列的数组
  5. arr = [1, 2, 3, 4, 5]
  6. # 排列的实现P
  7. print(list(itertools.permutations(arr, 3)))
  9. # 组合的实现C
  10. print(list(itertools.combinations(arr, 3)))
  13. # 获取二项系数的函数
  14. # 支持两个参数，第一个是n，第二个是k
  15. def get_binomial_coefficient(n, k):
  16.     return len(list(itertools.combinations(np.arange(n), k)))
  19. print(get_binomial_coefficient(3, 1))

使用二项式系数就可以展开(a+b)^n，所以有二项式定理，如下：
image.png

三 独立实验与重复实验

寺庙在中国已经遍布大江南北了，一天小王和小李二人出游，爬山后，偶遇一寺庙，寺庙中有一个大师，善占卜。于是二人决定请大师帮忙占卜一次。大师见二人结伴而来，便问二人是占卜独卦，还是连卦呢？二人不解，何为独卦，何为连卦？于是大师解答到：独卦为第一人占卜后，将卦签放回签桶中后，再进行第二次占卜。连卦为第一人占卜后，已抽出的卦签不放回签桶中，直接进行第二次占卜。

假设签筒中，只有5根签，其中2根是上签，而其他3根是下签。小王先抽签，小王抽签的行为记为S，小李抽签的行为记为T。在独卦的占卜规则下，S的结果并不影响T的结果。也就是说不管小王是否抽中上签，小李抽中上签的概率都是2/5。而在连卦的占卜规则下，S的结果对T的结果产生影响。因为小王抽完签之后，并不把签放回桶中。如果小王抽中上签，那么小李抽中上签的概率就是1/4，如果小王没有抽中上签，那么小李抽中上签的概率就是2/4。在独卦的占卜规则下，两次抽签行为S与T的。它们的结果互不影响，我们在统计学中称S与T是独立试验。

当S与T相互独立时，S中发生事件A和T中发生的事件B的概率P可以表示为：

P(A∩B) = P(A) * P(B)

显然，在独卦的占卜规则下，小王和小李都抽中上签的概率是4/25。

现在有这样一个场景，掷骰子的游戏，仍然是小王和小李一起玩，每人拿3颗骰子。游戏规则是三颗骰子每个掷一次，最后谁的点数大谁赢。这里不管他们掷骰子多少次，每一次的结果对于其他次的结果都不会产生影响，所以他们都是相互独立的实验。

对于这样反复的独立试验，我们称其为重复试验或者叫独立重复试验。现在我们把掷3次骰子，每一次掷骰子时，其中2颗骰子都出现1的情况画图如下(X代表其他数字)：
image.png
我们先来看一下第一次掷骰子的情况前两颗骰子为1，第三颗骰子为其他数字的概率分别为1/6、1/6、5/6，因为每一次的试验都是相互独立的，所以发生的概率为1/6×1/6×5/6。三次掷骰子，每一次有两颗骰子是1的情况的种类为3种，由于3种情况是互斥的(不可能同时发生)，所以概率应该为3次的概率相加。也就是:3×(1/6)²×5/6。A事件和B事件相互排斥时，公式可以表示为：

P(A∪B)=P(A)+P(B)

根据以上试验结果，可得重复试验的概率公式为：
WechatIMG2.png
重复试验对于下一章我们要学习的二项分布的理解非常有帮助，所以一定要理解。如果不是特别的理解，你可以现在把上边掷骰子的情况修改成为4颗骰子掷6次，每一次出现两个1的情况画图重新按照咱们上边的思路梳理一下，相信你就已经能够掌握了。

练习题：
现在有5道4选1的问题。A同学对这5道题目完全不会，但在乱答的情况下，能够答对一半以上的概率是多少，用代码实现一下。

  1. import itertools
  2. import numpy as np
  4. """
  5. 题目解析:答对一半以上的情况分别为3题，4题和5题
  6. 不用考虑其顺序，答对任意题目都可以，所以这是一个组合的问题
  7. """
  10. # 声明一个函数来求组合问题
  11. def get_binomial_coefficient(n, k):
  12.     return len(list(itertools.combinations(np.arange(n), k)))
  15. # 每题答对的概率
  16. P_true = 1 / 4
  17. # 每题答错的概率
  18. P_false = 3 / 4
  20. # 求答对0到5题的组合情况
  21. # 答对0题的组合情况
  22. zero = get_binomial_coefficient(5, 0)
  23. # 答对1题的组合情况
  24. one = get_binomial_coefficient(5, 1)
  25. # 答对2题的组合情况
  26. two = get_binomial_coefficient(5, 2)
  27. # 答对3题的组合情况
  28. three = get_binomial_coefficient(5, 3)
  29. # 答对4题的组合情况
  30. four = get_binomial_coefficient(5, 4)
  31. # 答对5题的组合情况
  32. five = get_binomial_coefficient(5, 5)
  33. # # # 答对一半以上的概率(答对3题、4题、5题)
  34. last = three * pow(P_true, 3) * pow(P_false, 2) + four * pow(P_true, 4) * pow(P_false, 1) + five * pow(P_true, 5) * pow(
  35.     P_false, 0)
  36. print(last)

学霸的世界：有一两个不太确定的，蒙一下吧，考完了很没信心，感觉考得不怎么样，结果是除了蒙的，其他的都对了，数学140分。

学渣的世界：好多不会的，我感觉选这个就应该对，毕竟蒙对的经验很丰富，感觉考得还可以，结果是会的马虎做错了，蒙的就对了一个，数学89分，啪啪打脸。

根据概率结果可知，乱答看似概率还不错，但实际运算出来后概率低的可怜，所以每次乱答后，实际得分总比想象中的得分低。

四 ∑符号及其意义

在以前，我们表示a1到a5的和会这样写：S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5。同理，如果我们要表示a1到a10的和会这样写：S10 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10。如果我们要表示a1到a1000的和我们会这样写S1000 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + …… + a1000。但是中间的……总给人一种不好的感觉，就像我们在学习二项定理时的表达方式，总感觉特别的冗长。为了解决这个问题，我们就引入了Σ(读西格玛)符号，也可以叫做求和符号。像上边的表示a1到a1000的和我们可以这样表达：

05-统计概率 - 图10
Σ(读西格玛)符号在数学中非常的常见，在以后的学习中，你也几乎可以在任意一个算法模型中见到这个符号，所以它的特点也一定要掌握。

Σ可以使用分配率，我们一起来看一个例子：
WechatIMG64.png
下面我们一起来学习一下几个关于Σ的计算公式，记住它们，以后你的计算将会非常的方便。

公式一及其证明过程如下：
WechatIMG65.png
公式二及其证明过程如下：
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Σ的计算公式我们暂时先学习这两个，其他的公式后边用到的时候我们再来结合着场景进行学习。

五 随机变量

终于到了随机变量，随机变量后边就是概率分布的知识了，随机变量在人工智能领域中的应用非常的普遍。首先说一下随机变量的分类，随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的基本定义就是在实数范围内取值并不连续，或者说他的取值不是一个区间，而是一些固定的值。连续型随机变量则相反，它的取值是一个区间，在实数范围内是连续的。

还是举个例子比较形象，请看下面的示例：

离散型随机变量：一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量，k的取值只能是自然数0,1,2,…,20，而不能取小数3.5、无理数√20，因而k是离散型随机变量。

连续型随机变量：公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15)，它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等，因而称这随机变量是连续型随机变量。

六 伯努利分布

伯努利分布也被称为“零一分布”或“两点分布”。从名字上，我们就能够看出来，伯努利分布中事件的发生就两种情况。伯努利分布指的是一次随机试验，结果只有两种。生活中这样的场景很多，抛硬币是其中一个，我们抛一次硬币，其结果只有正面或反面。或某一个事件的成功和失败，病情的康复或未康复等等。

我们用字母x来表示随机变量的取值，并且它的概率计算公式为：

P(x=1) = p**，**P(x=0) = 1-p

当x=1时，它的概率为p，当x-0时，它的概率为1-p，我们就称随机变量x服从伯努利分布。

练习：
甲和乙，两个人用一个均匀的硬币来赌博，均匀的意思就是不存在作弊行为，硬币抛出正面和反面的概率各占一半。硬币抛出正面时，甲输给乙一块钱，抛出反面时，乙输给甲一块钱。我们来用Python实现这一过程和输赢的总金额呈现的分布情况。
分析：
我们用数字1来表示抛得的结果为正面，用数字-1来表示抛得的结果为反面。为了呈现出概率分布的情况，我们需要有足够多的人来参与这个游戏，并且让他们两两一组来进行对决。

# 导入 matplotlib库，用来画图，关于画图我们后边会有专门的章节进行讲解
import matplotlib.pyplot as plt

# 导入numpy
import numpy as np

n_person = 200
n_times = 500

t = np.arange(n_times)

# 创建包含1和-1两种类型元素的随机数组来表示输赢
# *2 -1 是为了随机出1 和-1，(n_person, n_times)表示生成一个200*500的二维数组
steps = 2 * np.random.random_integers(0, 1, (n_person, n_times)) - 1

# 计算每一组的输赢总额
amount = np.cumsum(steps, axis=1)

# 计算平方
sd_amount = amount ** 2

# 计算所有参加赌博的组的平均值
average_amount = np.sqrt(sd_amount.mean(axis=0))
print(average_amount)

# 画出数据,用绿色表示，并画出平方根的曲线，用红色表示
plt.plot(t, average_amount, 'g.', t, np.sqrt(t), 'r')
plt.show()

七 二项分布

离散型随机变量最常见的分布就是二项分布，我们还是以掷骰子为例子来开始这一章节的知识讲解。比如我们拥有一个骰子，那么每掷一次骰子的取值可能性为1、2、3、4、5、6，这些取值每一次的可能性都为六分之一，因为每一次掷骰子的行为都是独立的，第一次的结果并不影响第二次的任何行为和结果，这也叫概率的独立性。

总结一下，它一共有两个特点：

  • 每一次事件的概率都大于等于0，如果我们用P来表示概率，用X来表示事件，其数学表示就是P(X)>=0
  • 所有事件的概率的总和为1，也就是说骰子一共有6个面，我们每投掷一次骰子，一定会获得1、2、3、4、5、6数字其中的一个，其数学表示就是∑P(Xi)=1

现在有两个人A和B在进行某种对决，瓶子里有两个红球，一个白球，从里面随机抽取，抽到红球A获胜，抽到白球B获胜，抽完球再放进去。显然，A获胜的概率为2/3，在这种情况下，A能赢的次数就是一个随机变量了，而这个随机变量是如何分布的呢？

假设对局3次，A能赢的次数为x，则x的值有可能是0、1、2、3中的一个，关于其分别出现的概率，我们可以用反复试验的概率来进行求解(这其实就是3重伯努利试验)。

概率计算结果如下：
image.png
将x的概率分布整理成表，并替换成二项系数如下图：
image.png
这就是二项分布的典型例子啦。一般来说，成功概率为p的试验，独立重复n次后的成功次数为X的概率分布，被称为关于发生概率为p、次数为n的二项分布。

这中情况下，X=k(k=0、1、2、…、n)的概率为n次重复中有k次成功(一次成功概率为p)，整理后的公式如下：
image.png
那么二项分布又与伯努利分布是什么样的关系呢？看着好像感觉有一些相似的地方，这种结果为成功或失败，胜或负等，结果是二选一的试验，被称为伯努利试验。在伯努利试验中，已知其中一个结果发生的概率(多数取成功的概率)时，此伯努利试验重复n次(也叫n重伯努利试验)时，其事件发生的次数(成功次数)遵循二项分布。如果二项分布中的试验次数变成了1次，那么这就叫做伯努利试验了，其随机变量是服从二项分布的。所以伯努利分布是二项分布在n=1时的特例，这就是它们的关系了。

最后总结一下二项分布，如下图：
WechatIMG67.png

八 条件概率

现在假设我们有两个事件，事件A和事件B。当事件B发生时，事件A发生的概率，这就是条件概率的理解。条件概率公式是:

P(A|B) = P(A∩B)÷P(B)

这个公式看似有点抽象，但如果我们把它变形为 P(B) P(A|B) = P(A∩B)，*就很好理解，P(B)表示事件B发生的概率，确定了事件B发生的概率再乘以P(A|B)自然就是事件A和事件B同时发生的概率。P(A|B)就是事件B发生时事件A发生的概率，P(A∩B)指的是事件A和事件B同时发生的概率。

同理，可得：

P(B|A) = P(A∩B)÷P(A)
**
把两个公式变形：

P(A∩B) = P(B) * P(A|B)
P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

即可推导出：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
**
这就是简单贝叶斯公式和它的推导过程，贝叶斯定理在人工智能领域可是非常重要的知识点，未来你会学到很多贝叶斯模型的，比如高斯贝叶斯、多项式贝叶斯、伯努利贝叶斯等等的分类器。

练习：

现在假设一天之中，我饿了的概率是10%，我饿了并且在吃饭的概率是50%，我吃饭的概率是40% 问:我吃饭的时候饿了的概率。

把我饿了看作事件A，则P(A) = 10%，把我吃饭的概率看作事件B，则P(B) = 40%，已知P(B|A) = 50%，则P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B) = 0.5 0.1 / 0.4 = 12.5%

九 全概率

全概率可是概率论中非常重要的知识点，也关系着后边我们对贝叶斯定理进行深入的推导。那么什么又是全概率呢？
先从一个故事开始讲解一下，拿上班的道路选择举例说明吧。

我每天上班一共有4条路可以选择，我们现在把这4条路编成号码，分别是1号路到4号路。我每天会选择不同的路进行上班，来碰一下自己运气。现在我每天选择1号路上班的概率是20%，2号路的概率是30%，3号路的概率是10%，4号路的概率是40%。但是北京的路很糟糕，尤其是上班的高峰期，每一条路都有可能拥堵。现在1号路堵的概率为30%，2号路堵的概率是40%，3号路堵的概率是50%，4号路堵的概率是25%。一旦发生拥堵的情况我一定会迟到，现在来求一下我上班不迟到的概率。

这道题目首先要理解的就是如果我想要上班不迟到，那么路上就不能遇到拥堵的情况，也就是我们现在要把拥堵的概率，转换成为不拥堵的概率。那么对应的把拥堵的概率换算成不拥堵的概率就是1号路不堵的概率为70%，2号路不堵的概率是60%，3号路不堵的概率是50%，4号路堵的不概率是75%。换算完成后，下一步就是计算出我选择了其中一条路，并且这条路没有发生拥堵的概率。

首先我选择1号路的概率是20%，也就是0.2，并且1号路不拥堵的概率为70%，就是0.7，那么这件事情发生的概率就是0.20.7，结果等于0.14。这里有两个事件，事件A是我选择了1号路，事件B是1号路不拥堵，那么可以用P(AB)来进行概率的表示。也就是P(AB)=0.14,当我选择了1号路，并且一号路不拥堵的概率是0.14。我选择2号路的概率是0.3，2号路不拥堵的概率是0.6，这个时候我把事件A当做是2号路不拥堵，事件B当做是我选择了2号路，那么就可以写成P(AB)=0.18。那么现在我们来看一下我选择了3号路，并且3号路不堵的概率吧，就是0.10.5 = 0.05。同理，我选择了4号路，并且4号路不堵的概率是0.4*0.75 = 0.3。那么最终我上班不迟到的概率就是0.14+0.18+0.05+0.3=0.67。

以上就是全概率的计算过程。我们来总结一下全概率公式。这里我们把上班不迟到的这件事情叫做事件A，它可以表示为P(A)。选择上班路线的事件叫做事件B，那么4条路的选择概率分别可以表示为P(B1)=0.2、P(B2)=0.3、P(B3)=0.1、P(B4)=0.4。那么分别对应着4条路，并且选择后它们不堵的概率可以表示为P(A|B1)=0.7、P(A|B2)=0.6、P(A|B3)=0.5、P(A|B4)=0.75。

也就是说，我上班不迟到的全概率的计算方法就是

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B21)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)
**
以上只有4种情况的发生，那么针对于n中情况的全概率公式，我们可以这样写P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)，进一步简化公式，用求和符号Σ(西格玛)来进行表示就是：

05-统计概率 - 图18

以上这就是全概率公式和他的推导过程。

十 贝叶斯定理

上面的章节我们分别学习了简单贝叶斯公式和全概率公式，现在我们把全概率公式A和B做一个互换，可得：

05-统计概率 - 图19

把现在的P(B)带入到简单贝叶斯公式中，并替换P(B)，可得：

05-统计概率 - 图20

这个最终的公式就叫做贝叶斯定理，下面我们用一个经典的题目来练习一下。

有一种疾病，发病率为千分之一。目前的基因检测技术，只要发病了就一定能够检测到。但如果没有发病的话，其误诊的概率为百分之五。这里我们用阳性代表生病了，这是医院里的检测报告的术语。现在一个人的化验结果呈阳性(结果代表它得病了)，求这个人真实患病的概率。

这道题目的解题思路是，首先我们要列出已知条件：

  • 第一个已知条件是这种疾病的发病率为千分之一，那么用可以用P(病)=0.001来表示。
  • 第二个已知条件是只要发病了就一定能够检测到，那么也就是P(阳性|病)=1，也就是生病了那么其检测结果就是阳性，因为阳性代表着生病。
  • 第三个条件是误诊率为百分之五，也就是P(阳性|健康)=0.05。

梳理清楚了三个条件，那么问题是其化验结果呈阳性，其真实的患病概率是多少，其实求的就是P(病|阳性)的值是多少？

  1. 根据简单贝叶斯公式来进行计算一下，也就是P(病|阳性)=P(阳性|病)P(病)/P(阳性)。
  2. 进一步的把P(阳性)换算成全概率公式P(阳性)=P(病)P(阳性|病)+P(健康)P(阳性|健康)。
  3. 最终得到P(病|阳性)=P(阳性|病)P(病)/(P(病)P(阳性|病)+P(健康)P(阳性|健康))

P(病|阳性) = 1 0.001 / (0.001 1 + 0.999 * 0.05) = 0.0196 = 1.96%

这一章到这里就结束了，最后留一个小题目：垃圾邮件筛选

判断邮件标题中包含”购买商品，不是广告”，这样一个邮件是垃圾邮件吗？

我们通过分词技术已经把”购买商品，不是广告”切分为4个单词，分别是购买、商品、不是、广告。 在已知的数据样本中，共有36封邮件。其中的24封邮件为正常邮件，12封邮件为垃圾邮件。其中正常邮件包含”购买”这个词的有2封，包含”商品”的邮件有4封，包含”不是”的邮件有4封，包含”广告”的邮件有5封。 在垃圾邮件中包含”购买”这个词的有5封，包含”商品”的邮件有3封，包含”不是”的邮件有3封，包含”广告”的邮件有3封。注：一封邮件标题可以包含一个或多个关键词。

问题：判断一封新来的邮件，标题是”购买商品，不是广告”，是正常邮件还是垃圾邮件。

思路提示：求的就是P(“购买商品，不是广告”)P(“正常”)的概率大还是P(“购买商品，不是广告”)P(“垃圾”)的概率大，谁的概率大结果就是谁。