模型评估--余弦距离的应用

结合你的学习和研究经历，探讨为什么在一些场景中要使用余弦相似度而不是欧式距离

对于两个向量A和B，其余弦相似度定义为

即两个向量夹角的余弦，关注的是向量之间的角度关系，并不关心他们的绝对大小，其取值范围是[-1,1]。当一对文本相似度的长度差距很大、但内容相近时，如果使用词频或词向量作为特征，它们在特征空间中的的欧氏距离通常很大；而如果使用余弦相似度的话，它们之间的夹角可能很小，因而相似度高。此外，在文本、图像、视频等领域，研究的对象的特征维度往往很高，余弦相似度在高维情况下依然保持“相同时为1，正交时为0，相反时为−1”的性质，而欧氏距离的数值则受维度的影响，范围不固定，并且含义也比较模糊。
在一些场景，例如Word2Vec中，其向量的模长是经过归一化的，此时欧氏距离与余弦距离有着单调的关系，即

其中表示欧式距离，表示余弦相似度，表示余弦距离。在此场景下，如果选择距离最小（相似度最大）的近邻，那么使用余弦相似度和欧氏距离的结果是相同的。

余弦距离是否是一个严格定义的距离

距离的定义：在一个集合中，如果每一对元素均可唯一确定一个实数，使得三条距离公理（正定性，对称性，三角不等式）成立，则该实数可称为这对元素之间的距离。
余弦距离满足正定性和对称性，但是不满足三角不等式，因此它并不是严格定义的距离。具体来说，对于向量A和B，三条距离公理的证明过程如下。

• 正定性

根据余弦距离的定义，有

考虑到，因此有恒成立。特别地，有

因此余弦距离满足正定性。

• 对称性

根据余弦距离的定义，有

因此余弦距离满足对称性。

• 三角不等式

该性质并不成立，下面给出一个反例。 给定,则有


因此有