1.随机事件

1.1 随机事件的几个概念

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1. 随机事件：在同一组条件下，每次实验可能出现也可能不出现的事件
2. 必然事件：在同一组条件下，每次实验一定出现的事件

3. 不可能事件：在同一组条件下，每次实验一定不会出现的事件 ::: :::info

4. 基本事件：如果一个事件不能分解为两个或多个事件，那么称这个事件为基本事件

5. 样本空间：一个试验中所有的简单事件全体称为样本空间，如掷硬币的样本空间Ω={正、反} :::

   1.2 事件概率

6. 事件A发生的概率P(A)，记为（注意古典概型定义和概率统计定义的区别）

   1. 古典概型定义：事件A所包含的基本事件个数/样本空间包含的基本事件个数
   2. 概率的统计定义：相同条件下进行n次试验，某事件A出现m次

      2.概率的性质与运算法则

      2.1 概率的基本性质

7. 

8. 
9. 

10. 若事件A和事件B互斥，有：

    1. 
    2. 

       2.2 概率的加法法则

       法则1是法则2的特例情况

11. 若AB为互斥事件，有

1. 若AB为任意两个随机事件，有

eg 设某地有甲、乙两种报纸。该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。成年人中有百分之之几至少读一种报纸?解：设 A={只读甲报纸} B={只读乙报纸} C={至少读一种报纸}

2.3 条件概率与独立事件

1. 当某事件B事件已经发生的条件下，A事件发生的概率

，一般情况下

1. 乘法公式

1. 当两个事件相互独立时，乘法公式可简化为

2.4 全概率公式及贝叶斯公式

全概率公式

eg：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。解：令 A1表示产品来自甲机床，A2表示产品来自乙机床，A3表示产品来自丙机床，B 表示取到次品，则有

由于： ,有

贝叶斯公式（逆概率公式）

贝叶斯公式是解决条件概率已知的基础上，寻找事件发生的原因

1. 原因的验前概率

2. 原因的验后概率。后验概率本质是一个条件概率。 eg：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，如果取到一个产品是次品，求出这个次品是由甲、乙、丙机器生产的概率。解：令 A1表示产品来自甲机床，A2表示产品来自乙机床，A3表示产品来自丙机床，B 表示取到次品，则由贝叶斯定理
   ，有
   
   
   

   3.离散型随机变量及分布

3. 同一组条件下，如果每次实验出现的结果都可能不一致，把所有的结果都列举出来称为概率函数。其中X为P(X)的随机变量，P(X)称为随机变量X的概率函数。

4. 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量

   3.1 离散型随机变量的概率分布

5. 离散型随机变量的概率分布一般使用概率分布表 | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | —- | —- | —- | —- | —- | —- | —- | | | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |

6. 常见的离散型概率分布为：0-1分布、均匀分布、二项分布和泊松分布等

7. 离散型随机分布的期望值
8. 离散型随机变量的方差与标准差
   1. 
   2. 
   3. 
9. 离散系数：离散系数主要用来比较不同期望值之间的离散情况

3.2 离散型随机变量概率分布的种类

0-1分布

在0-1分布中，离散型随机变量只能取0和1两个值

	1	0
	p	q

1. 

2. 

   二项分布（伯努利试验）

   | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | —- | —- | —- | —- | —- | —- | —- | | | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |

3. 最具有特点的二项分布就是多次掷硬币分布，其特点如下：

   1. 包含了n个相同的试验
   2. 每次试验只有两种结果0或1
   3. 每次试验出现0或1的概率是相同的，但1次实验中出现0或1的概率可以不同，且p+q=1
   4. 试验是相互独立的
   5. 试验的0或1是可以计数的
4. 
5. 

6. 

   泊松分布

   泊松分布是用来描述在一指定时间范围内，或在指定的面积体积范围内某事件出现的次数分布。

7. 符合泊松分布的情形

   1. 某企业中每月发生事故的次数
   2. 单位时间内到达某一地点(如服务站)需要服务的人数
   3. 保险公司每天收到的死亡声明个数
   4. 某种仪器每月故障次数
8. 泊松分布公式

，其中λ为给定间隔时间内事件发生的平均数

1. 泊松分布中， eg：假设企业员工每周一请事假的平均人数为2.5人，请问在给定的某个周一，5人请事假的概率？解：由于符合泊松分布，有
   其中λ=2.5，x=5，有

2. 在n重伯努利试验中，当p→0，且n较大时，泊松分布近似二项分布。故在实际应用中，当p≤0.25，n≥20，np≤5时，泊松分布近似二项分布。

   4.连续型随机变量的概率分布

3. 连续型随机变量的概率分布不能像离散型一样用表格或柱状图列出，故需要一个连续的函数f(x)来表示变量时，f(x)叫做概率密度函数

   1. 
   2. :::info

4. 特别注意：f(x)曲线并不代表发生的概率，而是概率密度。即。但曲线下的面积代表发生的概率，有 :::

5. 连续型随机变量概率也可以用分布函数F(x)表示

   1. 
   2. 
   3. 连续型随机变量的概率密度函数是其分布函数的导数，分布函数是密度函数的积分
   4. 一般说的分布都是概率密度函数f(x)

      均匀分布

      均匀分布为随机变量的概率密度函数为一条水平的直线 eg：连续随机变量X在有限区间（a，b）内取值，其概率密度如下：，求期望值与方差?
      解：
      

      指数分布

      指数分布在产品质量管理及可靠性研究中常用
      指数分布一般形式：
      指数分布有如下特点

6. ，

   正态分布

7. 正态分布是所有分分布中最重要的一种，正态分布的概率密度函数为：，以上成为X服从正态分布，记作：X~N(μ，σ2)

8. 以上正态分布在μ=0，σ=1时，成为标准正态分布：，记为N(0，1)
9. 标准正态分布的概率密度函数和分布函数如下

1. 任何一个正态分布，都可以线性转化为标准正态分布，
2. 一般正态分布函数中 X~N(μ，σ2)

1. 标准正态分布函数中 X~N(0，1)
   1. 
   2. 
   3. 

      Demoivre-Laplace定理

      定理大致描述：变量X~B(n，p)中当 n 很大，而0< p <1且是一个定值时，近似服从N(0，1)分布。换句话说，当 n 很大时，X~B(n，p)近似服从N(np，np(1-p))的正态分布。