对于人工智能而言,人工智能算法将向量看作一维数组,每个数组或是每个向量都代表着一组数据.
衡量两个向量的相似程度就需要使用到距离算法.和我们现实世界中的距离类似,越相似的两个向量投影在现实空间中自然离得很近.
例如鸢尾花的五个量值:
5.1,3.5,1.4,0.2,Iris-Setosa
转为向量就变成了
[5.1, 3.5, 1.4, 0.2, 1, 0, 0]
这本质上仍然是一个一维数组.对计算机而言没有区别,只是线性代数将其称作为向量.

向量计算

欧氏距离

在外面熟知的笛卡尔坐标系中,两点间的距离为

这个距离公式是用于处理两个点的距离，换言之，就是两个维度，但是我们需要处理的大部分数据都不止两个维度。
例如我们有三个向量，a,b,c;
a和b之间的欧氏距离为10
ac之间的欧氏距离为20，那么a显然距离b更近，我们就认为a和b更相似。
根据上式的推广，我们可以得出对于任意两个向量的欧氏距离d：

能看出，欧式距离和起点无关，不论是qp还剩pq他们的距离是等价的。

#include <iostream>
#include <cmath>
const int N = 3; //length or dimension
double v1[N],v2[N];
double euclidean(double pos1[], double pos2[])
{
    double sum = 0.0;
    double d = 0.0;
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        d = pos1[i] - pos2[i];
        sum = sum + d * d;
    }
    return sqrt(sum);
}
int main(){
    int n = 3;
    while(--n)
    {
        v1[n] = n;            // 2,1,0
        v2[n] = n + 10;        // 12,11,10
    }
    std::cout << euclidean(v1,v2);
}

曼哈顿距离

对于欧氏距离而言，欧式距离更像是两个点之间的直线距离，但是在现实生活中或是计算机中，路径的存在都让直线距离很难处理。例如司机需要根据道路来规划路线，不能点到点直线驾驶。计算机也需要规定特定线路或逻辑距离。
为了解决这个问题，在矩阵中“按照路线”行走的距离便是曼哈顿距离
而对于曼哈顿距离的计算也非常简单，只需要将两点间的维度的绝对距离相加即可。
如下：

和欧氏距离一样,传入的参数位置并不影响结果.

#include <iostream>
#include <cmath>
const int N = 3; //length or dimension
double v1[N],v2[N];
double manhattan(double pos1[], double pos2[])
{
    double sum = 0.0;
    double d = 0.0;
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        d = abs(pos1[i] - pos2[i]);
        sum = sum + d;
    }
    return sum;
}
int main(){
    int n = 3;
    while(--n)
    {
        v1[n] = n;// 2,1,0
        v2[n] = n + 10;// 12,11,10
    }
    std::cout << manhattan(v1,v2);
}

切比雪夫距离

切比雪夫距离标明了该点在各维度中的最大值,例如象棋棋盘中需要移动的步数.
在计算机中,有一个更加适合的模型,就是在广度优先搜索中的层数.
例如在目标点的周围所有点都是BFS中的第一层,那么这些围绕着目标点的点距离目标点就都是1.
如下:

#include <iostream>
#include <cmath>
const int N = 3; //length or dimension
double v1[N],v2[N];
double max(double a,double b){return a>b?a:b;}
double chebyshev(double pos1[], double pos2[])
{
    double result = 0.0;
    double d = 0.0;
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        d = abs(pos1[i] - pos2[i]);
        result = max(result, d);
    }
    return result;
}
int main(){
    int n = 3;
    while(--n)
    {
        v1[n] = n;
        v2[n] = n + 10;
    }
    std::cout << chebyshev(v1,v2) <<std::endl;
}