二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。
现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null。
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最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  6.   while (low <= high) {
  7.     int mid = (low + high) / 2;
  8.     if (a[mid] == value) {
  9.       return mid;
  10.     } else if (a[mid] < value) {
  11.       low = mid + 1;
  12.     } else {
  13.       high = mid - 1;
  14.     }
  15.   }
  17.   return -1;
  18. }

上述代码有三个需要注意的地方：

  • 循环退出条件

注意是 low <= high，而不是 low < high

  • mid 的取值

实际上 mid = (low + high)/2 写法是有问题的，如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出
改进的方法是 mid = low + (hight - low)/2 或者 mid = low + ((high - low) >> 1)

  • low 和 high 的更新

low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。
比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

  2. // 二分查找的递归实现
  3. public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  4.   return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
  5. }
  7. private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  8.   if (low > high) return -1;
  10.   int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  11.   if (a[mid] == value) {
  12.     return mid;
  13.   } else if (a[mid] < value) {
  14.     return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  15.   } else {
  16.     return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  17.   }
  18. }

二分查找依赖的顺序表结构，简单点说就是数组；其次，二分查找针对的是有序数据。
如果数据量太小其实不适合二分查找，直接顺序遍历即可
如果数据量太大其实也适合二分查找，顺序表结构依赖连续的内存空间，数据量太大可能内存空间不足

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查找第一个值等于给定值的元素

比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于 8，是重复的数据。
我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素。
image.png
如果我们用上述二分查找的代码实现，首先拿 8 与区间的中间值 a[4]比较，8 比 6 大，于是在下标 5 到 9 之间继续查找。
下标 5 和 9 的中间位置是下标 7，a[7]正好等于 8，所以代码就返回了。
尽管 a[7]也等于 8，但它并不是我们想要找的第一个等于 8 的元素，因为第一个值等于 8 的元素是数组下标为 5 的元素。

所以需要改造一下代码：

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] > value) {
  8.       high = mid - 1;
  9.     } else if (a[mid] < value) {
  10.       low = mid + 1;
  11.     } else {
  12.       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
  13.       else high = mid - 1;
  14.     }
  15.   }
  16.   return -1;
  17. }

如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。

我们重点看第 11 行代码。如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 a[mid]的前一个元素 a[mid-1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。

如果经过检查之后发现 a[mid]前面的一个元素 a[mid-1]也等于 value，那说明此时的 a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。

还有一种更简洁的代码，但是不容易理解

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid = low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] >= value) {
  8.       high = mid - 1;
  9.     } else {
  10.       low = mid + 1;
  11.     }
  12.   }
  14.   if (low < n && a[low]==value) return low;
  15.   else return -1;
  16. }

查找最后一个值等于给定值的元素

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] > value) {
  8.       high = mid - 1;
  9.     } else if (a[mid] < value) {
  10.       low = mid + 1;
  11.     } else {
  12.       if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
  13.       else low = mid + 1;
  14.     }
  15.   }
  16.   return -1;
  17. }

我们还是重点看第 11 行代码。如果 a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果 a[mid]的后一个元素 a[mid+1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。

如果我们经过检查之后，发现 a[mid]后面的一个元素 a[mid+1]也等于 value，那说明当前的这个 a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。

查找第一个大于等于给定值的元素

在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。

  2. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] >= value) {
  8.       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
  9.       else high = mid - 1;
  10.     } else {
  11.       low = mid + 1;
  12.     }
  13.   }
  14.   return -1;
  15. }

如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。

对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。

如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。

查找最后一个小于等于给定值的元素

比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。

  2. public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
  3.   int low = 0;
  4.   int high = n - 1;
  5.   while (low <= high) {
  6.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  7.     if (a[mid] > value) {
  8.       high = mid - 1;
  9.     } else {
  10.       if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
  11.       else low = mid + 1;
  12.     }
  13.   }
  14.   return -1;
  15. }