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二叉查找树，平衡二叉树

2019-04-29 16:35 fengxiaofeng 阅读 (1760) 评论 () 编辑 收藏

二叉树具有以下性质：左子树的键值小于根的键值，右子树的键值大于根的键值。

二叉查找树可以任意地构造，也可以按照下图的方式来构造：

但是这棵二叉树的查询效率就低了。因此若想二叉树的查询效率尽可能高，需要这棵二叉树是平衡的，从而引出新的定义——平衡二叉树，或称 AVL 树。

平衡二叉树（AVL 树）在符合二叉查找树的条件下，还满足任何节点的两个子树的高度最大差为 1。

如果在 AVL 树中进行插入或删除节点，可能导致 AVL 树失去平衡，这种失去平衡的二叉树可以概括为四种姿态：LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左）。它们的示意图如下：

这四种失去平衡的姿态都有各自的定义：
LL：LeftLeft，也称 “左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高 2，AVL 树失去平衡。

RR：RightRight，也称 “右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高 2，AVL 树失去平衡。

LR：LeftRight，也称 “左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高 2，AVL 树失去平衡。

RL：RightLeft，也称 “右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高 2，AVL 树失去平衡。

AVL 树失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。下面分别介绍四种失去平衡的情况下对应的旋转方法。

LL 的旋转。LL 失去平衡的情况下，可以通过一次旋转让 AVL 树恢复平衡。步骤如下：

1. 将根节点的左孩子作为新根节点。
2. 将新根节点的右孩子作为原根节点的左孩子。
3. 将原根节点作为新根节点的右孩子。

LL 旋转示意图如下：

RR 的旋转：RR 失去平衡的情况下，旋转方法与 LL 旋转对称，步骤如下：

1. 将根节点的右孩子作为新根节点。
2. 将新根节点的左孩子作为原根节点的右孩子。
3. 将原根节点作为新根节点的左孩子。

RR 旋转示意图如下：

LR 的旋转：LR 失去平衡的情况下，需要进行两次旋转，步骤如下：

1. 围绕根节点的左孩子进行 RR 旋转。
2. 围绕根节点进行 LL 旋转。

LR 的旋转示意图如下：

RL 的旋转：RL 失去平衡的情况下也需要进行两次旋转，旋转方法与 LR 旋转对称，步骤如下：

1. 围绕根节点的右孩子进行 LL 旋转。
2. 围绕根节点进行 RR 旋转。

RL 的旋转示意图如下：

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