题记

2020 年上半年，突如其来的新冠疫情让我被迫做了一学期的“家里蹲”研究生。某日，在老家闲的无聊的我从旧书柜里翻到了一本小学时的速算教材，并饶有兴趣地翻看了许久——依稀记得那时候好像流行把速算当作“聪明宝宝”的一大标识，一众家长因此被忽悠去锻炼孩子的速算本领了，我本人应该就是当年这股“速算热”的“受害者”之一。😂 然而，随着年龄的增长，单纯的算术能力不再那么重要，一系列速算口诀的用途也越来越小，最终它们都被我忘光了。

十多年后（再过几年就二十年了 😨），当我再次看到这本小册子时，不免有些怀念起了我的童年。于是，我在疫情期间用了十几页草稿纸大致过了一遍教材中提到的速算方法与技巧。本着收藏童年记忆的打算，我决定将这些草稿陆续整理成文。尽管它们的实用价值不高，但未来也许我能拿它让我的孩子体验一把速算的“快乐”哒！😄

第一章 加法速算

加法：把两个或两个以上的数合成一个数的运算。

一、互换位置的加法

互换位置的数即是逆序数。如：36 与 63、28 与 82 等，一个两位数前后互换位置，与另一个数相同，这样的两个数相加，我们称之为“互换位置的加法”。

例如：75 + 57 = 132，常规的计算方法是列竖式计算：

  1.     7  5
  2. +   5  7
  3. --------
  4.  1  3  2

常规计算方法的缺点：

  1. 算式比较复杂，容易出错，且不利于口算；
  2. 存在逐位进位，拖慢计算速度。

速算方法是按口诀进行的！

口诀：十位加个位，和是一位排成双，和是两位相加排中央。

例如：36 + 63 = 99，计算程序如下：

  1. 十位加个位，3 + 6 = 9；
  2. 和是一位排成双，即 99。

又如：75 + 57 = 132，计算程序如下：

  1. 十位加个位，7 + 5 = 12；
  2. 和是两位相加排中央，1 + 2 = 3，将 3 排在原和 12 的中央，即 132。

原理：设 a、b 均为小于 10 大于 0 的自然数，则有：

  1.    (10*a + b) + (10*b + a)
  2.  = 10*a + b + 10*b + a
  3.  = (10*a + a) + (10*b + b）
  4.  = 11*a + 11*b
  5.  = 11 * (a + b)

而关于 11 乘任意两位数的乘法，可直接进行排积。

排积口诀：首尾不动两边拉，上位加下位，其和中间插。

例如：11 × 12，排积方法：

  1.  11 * 12
  2.  |     |
  3.  1  +  2
  4.  | \ / |
  5.  |  |  |
  6.  1  3  2

实际上，互换位置的加法计算口诀就是根据行的排积规律推导出来的。

此时， 若将 75 + 57 代如公式，则有：

  1.    (10*7 + 5) + (10*5 + 7)
  2.  = (10*7 + 7) + (10*5 + 5)
  3.  = 11*7 + 11*5
  4.  = 11 * (5 + 7)
  5.  = 11 * 12
  6.  = 132

二、借数凑整加法

注解：一个加数先向另一个加数借一部分数来凑成整数，然后再与借出后剩余的数相加。

口诀：借数凑整，加被借之余。

例：298 + 132 = 430，计算程序如下：

  1. 借数凑整：(298 + 2) + (132 - 2)；
  2. 加被借之余：300 + 130 = 430。

原理：设 a、b、c 为任意自然数，并且 c<b，则有：

  1.   a + b
  2. = a + b - c + c
  3. = (a + c) + (b - c)

三、补数加法

定义：两数之和等于 10（n 为自然数），这两个数称为互补数。

找补数方法：个位凑 10，其它位凑 9。 例如：找 16 的补数，个位 6 凑十，得 4；其他位凑 9，即十位 1 凑 9，得 8；则 84 即为 16 的补数。

口决：加 1 减补（分具体情况定位加减）

（1）一位数加一位数

口诀：十位加 1，个位减补。

例一、6 + 8 = 14，计算程序如下：

  1. 十位加 1，6 + 10 = 16（十位加 1 –> 加 10）；
  2. 个位减补，16 - 2 = 14（8 的补数是 2）。

（2）两位数加两位数

口诀：百位加 1，十位减补。

例二、46 + 79 = 125，计算程序如下：

  1. 百位加 1，46 + 100 = 146；
  2. 十位减补，146 - 21 = 125（79 的补数是 21）。

（3）三位数加三位数

口诀：千位加 1，百位减补。

例三、236+788=1024，计算程序如下：

  1. 千位加 1，236 + 1000 = 1236；
  2. 百位减补，1236 - 212 = 1024。

原理：设两个加数分别为 a、b，并有 b + c = 10^n（即 c 为 b 的补数），n 为自然数，则有： 

  1.   a + b
  2. = a + (10^n - c)
  3. = a + 10^n - c

四、三行并加弃 9 弃 10 法

注解：三个多位数相加，竖式计算。

口诀：竖式三行，从右向左，末位弃 10，中间位弃 9，前位进 1；弃后余数，常规计算，不够弃者，前位退 1 再弃。

例一：3678 + 5242 + 7966 = 16886，计算程序如下：

  1. 列竖式：
  3.   3  6  7  8
  4.   5  2  4  2
  5. + 7  9  6  6
  6. ------------
  7. 1 6  8    8  6
  9. 从右向左计算  
  10.     | 弃 10 余 6（末位） 
  11.     | 弃 9 余 8
  12.     | 弃 9 余 8
  13.     | 弃 9 余 6
  14.     | 前位进 1

原理：以本题为例，前位进 1 = 10000 = 弃数总和，一弃一进互相抵消，其和不变。

例二：256 + 4897 + 63207 = 68354

  1. 列竖式：
  3.          2  5  6
  4.       4  8  9  1
  5. +  6  3  2  0  7
  6.   -1 +10
  7.   +1
  8. ----------------
  9.    6  8  3  5  4
  11. 从右向左计算  
  12.     | 弃 10 余 4（末位） 
  13.     | 弃 9 余 4
  14.     | 弃 9 余 3
  15.     | 退 1 弃 9 余 7
  16.     | 进 1 常规加为 6

例三：46879 + 214578 + 12688 = 274145

  1. 列竖式：
  3.        4  6  8  7  9
  4.     2  1  4  5  7  8
  5. +      1  2  6  8  8
  6.    -1 +10 +1 +1 +1
  7.    +1
  8. --------------------
  9.     2  7  4  1  4  5
  11. 从右向左计算  
  12.     | 弃 10 进 1 余 5（末位） 
  13.     | 弃  9 进 1 余 4
  14.     | 弃  9 进 1 余 1
  15.     | 弃  9 余 4
  16.     | 退  1 弃 9 余 7
  17.     | 进  1 常规加为 2

思考： 三行并加为何要进 1 呢？

这是根据竖三行三个数相加辰的进位情况所决定的，其进位情况共有三种：—是不满 10 不进位；二是满 10 进 1；三是满 20 进 2。按其情况所出现的概率，取中间数进 1 最为合适。

由此可推出五行并加规律，有五种进位情况，一是无进位，二是进位 1，三是进位 2，四是进位 3，五是进位 4，取中间进位 2 合适，五行并加的具体方法：末位弃双 10，中间位弃双 9 前位进双 1（即进 2）。对七行、十行等并加方法可以理类推。

第二章 减法速算

减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

一、调换位置的减法

口诀：十位减个位，其差乘 9

例如：63 - 36 = 26，计算程序如下：

  1. 十位减各位，6 - 3 = 3；
  2. 其差乘 9， 3 * 9 = 27。

原理： 设 a、b 均为小于 10 的自然数，并且 a > b，则有：

  1.   (10*a + b) - (10*b + a)
  2. = (10*a - a) - (10*b - b)
  3. = (a - b) * 9

二、分解减数凑同求差法

注解：可先将简述分解出一部分与被减数尾数相同的数，将其互相抵消，然后再相减。

口诀：凑同求差

例一：13 - 5 = 8，计算程序如下：

  1. 凑同，由于 13 的尾数为 3，而 5 = 3 + 2，可得 13 - 5 = 13 - (3 + 2) ；
  2. 求差，10 - 2 = 8。

原理：设 a、b 均为自然数，并且 b = m + n，则有：

  1.   a - b
  2. = a - (m + n)
  3. = a - m - n

三、补数减法

口诀：减 1 加补

（1）两位数加一位数

口诀：十位减 1，个位加补。

例一、26 - 8 = 18，计算程序如下：

  1. 十位减 1，26 - 10 = 16；
  2. 个位加补，16 + 2 = 18（8 的补数是 2）。

（2）三位数减两位数

口诀：百位减 1，十位加补。

例二、363 - 86 = 277，计算程序如下：

  1. 百位减 1，363 - 100 = 263；
  2. 十位加补，263 + 14 = 277（86 的补数是 14）。

原理：以三位数减两位数为例，设 a 为任意自然数，b、c、d、e 均为小于 10 的自然数，并且 b < d、c < e，则有：

  1.   (100*a + 10*b + c) - (10*d + e)
  2. = (100*a - 100 + 100) + (10*b + c) - (10*d + e)
  3. = 100*a - 100 + (10*b + c) + 100 - (10*d + e)
  4. = (100 * (a - 1) + 10*b + c) + (100 - (10*d + e))