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问题1

假设一段公路上，1小时内有汽车经过的概率为96%，那么30分钟内有汽车经过的概率是多少？

分析
概率论题，可以正推，也可以反推。1小时可以看成是2个30分钟的叠加。
正推：1小时经过，可以是2个30分钟都经过，也可以是1个30分钟经过另一个30分钟不经过。
反推：1小时经过，求1小时不经过，即两个30分钟都不经过。

解答

（1）假设半小时内有汽车经过的概率为x，那么一小时内有汽车经过的概率表示如下：

P = x * x + x * (1 - x) + (1 - x) * x
  = 2x - x2 = 0.96 
=> (x - 1) ^ 2 = 0.04
=> x = 0.8

即半个小时内有汽车经过的概率为0.8。

（2）1小时卡车经过的概率为0.96
➡ 1小时无卡车经过的概率为0.04
➡ 半小时无卡车经过的概率为0.2
➡ 半小时有卡车经过的概率为0.8

问题2

两个人抛硬币，先抛出正面的人获胜，那么先手获胜的概率是多少？

分析
概率论题目，需要借助等比数列求和。

解答
先手获胜的情况：
（1）第一轮：先手正面。
（2）第一轮：先手反面，后手反面；第二轮：先手正面。
（3）第一轮：先手反面，后手反面；第二轮：先手反面，后手反面；第三轮：先后正面。
（n）前n-1轮：先后和后手都是反面；第n轮：先手正面。

计算如下：

P(先手获胜) 
= (1 / 2) + (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) + ... + [(1 / 2) * (1 / 2)]^(n - 1) * (1 / 2)
= (1 / 2) * [1/ 4 + ... + (1 / 4) ^ (n - 1)]
= (1 / 2) * [1 - (1 / 4) ^ (n - 1)] / (1 - 1 / 4)
= (1 / 2) * (4 / 3)
= 2 / 3

问题3

家里有两个孩子，一个是女孩，另一个也是女孩的概率的多少？

分析
概率问题，稍微有些歧义。

解答
两个孩子的组合：男男、男女、女女、女男。
其中一个是女孩，那么排除男男，另一个也为女孩的概率为三分之一。
但是从生育角度来讲，这个概率为二分之一。

问题4

给一个瞎子52张扑克牌，并告诉他里面恰好有10张牌是正面朝上的。要求这个瞎子把牌分成两堆，使得每堆牌里正面朝上的牌的张数一样多。瞎子应该怎么做？（瞎子摸不出牌是正面或者是反面，但是却可以随意翻动每一张牌）

分析
总向上牌数量为10，假设10张堆向上的数量为n，那么42张堆向上的数量为(10-n)。
将10张堆的牌翻面一次，向上的数量则为(10-n)，必然使得两堆牌向上的数量相等。

解答
将52张牌分为两堆，一堆10张，一堆42张，将10张的那一堆全部翻面一次即可。

问题5

只有两个无刻度的水桶，一个可以装6L水，一个可以装5L水，如何在桶里装入3L的水？

分析
两水桶倒水问题，利用两个水桶的容量倒来倒去，解法并不唯一。

解答

1. 5L桶装满水，倒入6L桶。此时5L桶空，6L桶有5L水。
2. 5L桶装满水，倒入6L桶至满。此时5L桶有4L水，6L桶满。
3. 6L桶水全部倒掉，5L桶中水全部倒入6L桶。此时5L桶空，6L桶有4L水。
4. 5L桶装满水，倒入6L桶至满。此时5L桶还剩3L水，6L桶满。

问题6

25匹马，5个赛道，每次只能同时有5匹马跑，最少比赛几次选出最快的3匹马？

分析
先分五组跑，将每组第一名放在一起跑，找到第一名，然后找出2、3名。

解答
先分五组，进行小组赛，结果如下：

然后各小组第一进行比赛，决出冠军，结果如下：

那么D组和E组的第一名都无缘前三甲，将A2、A3、B1、B2、C1进行比赛，决出亚军和季军，结果如下：

从而得到前三名：A1、B1、A2。

问题7

烧一根不均匀的绳子，从头烧到尾共需要1个小时。现在有若干材质的绳子，如何用烧绳的方法来计时1小时15分钟？

分析
关键在于绳子可以两头烧。

解答

1. 将绳子1从一端开始烧，同时将绳子2从两端烧，绳子2在半小时后烧完。
2. 此时开始计时，将绳子1的另一端点燃，从计时开始绳子1烧完是15分钟。
3. 点燃绳子3的一端点燃，烧完需要1个小时，加起来正好是1小时15分钟。

问题8

一共12个一样的小球，其中只有一个重量与其他不一样（未知轻重），给你一个天平，找出那个不同质量的球。

分析
采用分治的思想。

解答

1. 将12个小球分为三组（因为分成两组不能找到重量不一样的球在哪组），为A组、B组和C组。
2. 将三组球分别两两称重，找到重量和两外两组不同的那一组，假设不同的一组为C组。
3. 将C组的球分为两组C1和C2，每组两个球，这时从A组和B组里找到两个正常的球，组成AB。AB分别和C1和C2去称，天平不能平衡说明重量不一致的球就在哪组，假设在不一致的组为C1。
4. 将C1组的球分别和正常的球去称重，天平不平衡时就能找到重量与其他不一致的球。

问题9

有10瓶药，每瓶有10粒药，其中有一瓶时变质的。好药每颗重1克，变质的药每颗比好药重0.1克。怎样用天秤称一次找出变质的那瓶药？

分析
有点考IQ。

解答

1. 将这10瓶药标号1-10。
2. 按照瓶子的标号取药，n号瓶子取n颗。一共取55颗。
3. 将取的药物放到天秤上去称，如果没有变质的药，则重量为55克，多出零点几克，几号药瓶就是变质的。比如55.5克，那么5号药瓶就是变质的。

问题10

给你一枚硬币，如何构造三分之一的概率？

分析
抛一次得不到，那就多抛几次。

解答
硬币抛两次的结果集为{正正，反反，正反，反正}。
将硬币计顺序抛两次，如果出现“反正”就继续抛。
A = “最后一轮结果是正正”；
B = “最后一轮结果是反反”；
C = “最后一轮结果是正反”；
那么P(A) = P(B) = P(C) = 1 / 3。