5.1 矩阵
- MATLAB 即Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，可见该软件在处理矩阵问题上的优势。本节主要介绍如何用MATLAB来进行”矩阵实验”，即如何生成矩阵，如何对已知矩阵进行各种变换等。
5.1.1 矩阵定义
- MATLAB 以矩阵作为数据操作的基本单位，这使得矩阵运算变得非常简捷、方便、高效。
- 矩阵是由m×n个数aij （i= 1,2,…,,; j= 1,2,…, n）排成的m行n列数表，记成
- 称为m×n矩阵，也可以记成aij 或 Am×n 。其中，i表示行数，j表示列数。若m=n，则该矩阵为n阶矩阵（n阶方阵）。
注意： - 由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵，如果A = (aij) 是m×n 矩阵，那么A 有m个n维行向量；有n个m维列向量。矩阵的生成主要有直接输入法、M文件生成法和文本文件生成法等。
- 在键盘上直接按行方式输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵。在用此方法创建矩阵时，应当注意以下几点。
- 输入矩阵时要以”[ ]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。
- 矩阵同行元素之间由空格（个数不限）或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔
- 矩阵大小不需要预先定义
- 矩阵元素可以是运算表达式
- 若”[ ]”中无元素，表示空矩阵
- 如果不想显示中间结果，可以用 “ ; “结束。
- 实例 ————— 创建矩阵
>>a = [15 15 15; 15 15 15; 15 15 15]a =15 15 1515 15 1515 15 15
注意： - 在输入矩阵时，MATLAB允许方括号里还有方括号，例如下面的语句是合法的：
>>[[1 2 3];[2 4 6];7 8 9]ans =1 2 32 4 67 8 9
- 在输入矩阵时，MATLAB允许方括号里还有方括号，例如下面的语句是合法的：
- 实例 ————— 创建复数矩阵
>> A = [[1,1+i,2];[2,3+2i,1]]A =1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 0.0000i2.0000 + 0.0000i 3.0000 + 2.0000i 1.0000 + 0.0000i
5.1.2 矩阵的生成
- 矩阵的生成除了直接输入法，还可以利用M文件生成法和文本文件生成法等。
- 利用M文件创建
- 当矩阵的规模比较大时，直接输入法就显得笨拙，出差错也不易修改。为了解决这些问题，可以将所要输入的矩阵按格式先写入一文本文件中，并将此文件以m为其扩展名，即M文件
- M文件是一种可以在MATLAB 环境下运行的文本文件，它可以分为命令式文件和函数式文件两种。在此处主要用到的是命令式M文件，用它的简单形式来创建大型矩阵。在MATLAB命令行窗口中输入M文件名，所要输入的大型矩阵即可被输入到内存中。
- 实例 ————— M文件矩阵
% sample.m% 创建一个M文件，用以输入大规模矩阵gmatrix = [378 89 90 83 382 92 29;3829 32 9283 2938 378 839 29;388 389 200 923 920 92 7478;3829 892 66 89 90 56 8980;7827 67 890 6557 45 123 35]
- 利用M文件创建
- 在通常的使用中，上例中的矩阵还不算”大型”矩阵，此处只是借例说明。
注意： - M文件中的变量名与文件名不能相同，否则会造成变量名和函数名的混乱。运行M文件时，需要先将M文件，在命令行窗口中直接调用此文件名即可。
实例 ————— 创建生活用品矩阵
事先在记事本中建立文件
3.5 4 510 15 20load goods.txt
由此创建商品矩阵x。
注意: - 运行M文件时，需要先将记事本goods.txt 复制到当前目录文件夹下，否则运行时无法调用
思路点拨: - 创建成绩单（导入的数据不包含中文，显示为NaN）
5.1.3 创建特殊矩阵
- 用户可以直接用函数来生成某些特定的矩阵，常用的函数如下
eye(n) :创建n×n单位矩阵eye(m,n) :创建m×n的单位矩阵eye(size(A)) :创建与A维数相同的单位阵ones(n) :创建n×n全1矩阵ones(m,n) :创建m×n全1矩阵ones(size(A)) :创建与A维数相同的全1阵zeros(m,n) :创建m×n全0矩阵rand(n) :创建与A维数相同的全0阵rand(m,n) :在[0,1]区间内创建一个n×n均匀分布的随机矩阵rand(size(A)) :在[0,1]区间内创建一个m×n均匀分布的随机矩阵compan(P) :创建系数向量是P的多项式的伴随矩阵diag(v) :创建一向量v中的元素为对角的对角阵hilb(n) :创建n×n的Hilbert矩阵invhild(3) :magic(n) :生成n阶魔方矩阵(幻方矩阵)sparse(A) :将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S。若A本身为稀疏矩阵，则返回A本身
拓展知识： - Hilbert 矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。
- 魔方矩阵又称幻方，是有相同的行数和列数，并在每行每列、对角线上的和都相等的矩阵。魔方矩阵中的每个元素不能相同。你能构造任何大小（除了2x2）的魔方矩阵。
- 在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。定义非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。
- 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法 。
- 实例 ————— 生成特殊矩阵
>> zeros(3)ans =0 0 00 0 00 0 0>> zeros(3,2)ans =0 00 00 0>> ones(3,2)ans =1 11 11 1>> ones(3)ans =1 1 11 1 11 1 1>> rand(3)ans =0.6787 0.3922 0.70600.7577 0.6555 0.03180.7431 0.1712 0.2769>> rand(3,2)ans =0.0462 0.69480.0971 0.31710.8235 0.9502>> magic(3)ans =8 1 63 5 74 9 2>> hilb(3)ans =1.0000 0.5000 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000>> invhilb(3)ans =9 -36 30-36 192 -18030 -180 180
5.1.4 矩阵元素的运算
- 矩阵中的元素与向量中的元素一样，可以进行抽取引用、编辑修改等操作
矩阵元素的修改
矩阵建立起来之后，还需要对其元素进行修改。下表列出了常用的矩阵元素修改命令。
| 命令名 | 说明 | | —- | —- | | D=[A;B C] | A为原矩阵，B、C中包含要扩充的元素，D为扩充后的矩阵 | | A(m,:)=[] | 删除A的第m行 | | A(:,n)=[] | 删除A的第n列 | | A(m,n)=a;A(m,:)=[a b..];A(:,n)=[a b …] | 对A的第m行第n列的元素赋值;对A的第m行赋值;对A的第n列赋值 |实例 ————— 新矩阵的生成
A=[1 2 3; 4 5 6]B=eye(2);C=zeros(2,1);D=[A;B c]
- 矩阵的变维
- 矩阵的变维可以用符号”:”法和reshape函数法。reshape函数的调用形式如下。
- reshape(X,m,n): 将已知矩阵变维成m行n列的矩阵
- 实例 ————— 矩阵维度修改
>> A=1:12;>> B=reshape(A,2,6)B =1 3 5 7 9 112 4 6 8 10 12%用":"法必须先设定修改后矩阵的形状>> C=zeros(3,4);>> C(:)=A(:)C =1 4 7 102 5 8 113 6 9 12
矩阵的变向
| 命令名 | 说明 | | —- | —- | | rot(90) | 将A逆时针方向旋转90° | | rot(90,k) | 将A逆时针方向旋转90° * k，k可为正整数或负整数 | | fliplr(X) | 将X左右翻转 | | flipud(X) | 将X上下翻转 | | flipdim(X,dim) | dim=1时对行翻转，dim=2时对列翻转 |- 实例 ————— 矩阵的变向
>> A=1:12A =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12>> C=zeros(3,4)C =0 0 0 00 0 0 00 0 0 0>> C(:)=A(:)C =1 4 7 102 5 8 113 6 9 12>> flipdim(C,1)ans =3 6 9 122 5 8 111 4 7 10>> flipdim(C,2)ans =10 7 4 111 8 5 212 9 6 3
- 实例 ————— 矩阵的变向
- 矩阵的抽取
- 对矩阵元素的抽取主要是指对角元素和上（下）三角阵的抽取。对角矩阵和三角矩阵的抽取命令见下表
| 命令名 | 说明 |
|---|---|
| diag(X,k) | 抽取矩阵X的第k条对角线上的元素向量。k为0时抽取主对角线，k为正整数时抽取上方第k条对角线上的元素，k为负整数时抽取下方第k条对角线上的元素 |
| diag(X) | 抽取主对角线 |
| diag(v,k) | 使得v为所得矩阵第k条对角线上的元素向量 |
| diag(v) | 使得v为所得矩阵主对角线上的元素向量 |
| tril(X) | 提取矩阵X的主下三角部分 |
| tril(X,k) | 提取矩阵X的第k条对角线下面的部分（包括第k条对角线） |
| triu(X) | 提取矩阵X的主上三角部分 |
| triu(X,k) | 提取矩阵X的第k条对角线上面的部分（包括第k条对角线） |
- 实例 ————— 矩阵抽取
>> A=magic(4)A =16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1>> v=diag(A,2)v =38>> tril(A,-1)ans =0 0 0 05 0 0 09 7 0 04 14 15 0>> triu(A)ans =16 2 3 130 11 10 80 0 6 120 0 0 1
- 动手练一练 ————— 创建新矩阵
- 通过修改矩阵元素，将一个旧矩阵
思路点拨： - 创建旧矩阵D。
- 删除矩阵多余的列元素
- 对矩阵元素进行重新赋值
思路：将A矩阵中的第一列删除。余下1 1 93 8 11 3 11 1 3在对个别元素重新赋值即可CODE:>> A=[5 1 1 9; 1 3 8 1; 1 1 3 1; 1 1 1 3]A =5 1 1 91 3 8 11 1 3 11 1 1 3>> D=AD =5 1 1 91 3 8 11 1 3 11 1 1 3>> D(:,1)=[]D =1 1 93 8 11 3 11 1 3>> D(2,2)=1D =1 1 93 1 11 3 11 1 3>> D(4,3)=-1D =1 1 93 1 11 3 11 1 -1
5.2 矩阵数学运算
- 本小节主要介绍矩阵的一些基本运算，如矩阵的四则运算、空矩阵，下面将分别介绍这些运算。
- 矩阵的基本运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除、求逆等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为”+”、”-“、”*”。
- 矩阵的除法运算是MATLAB所特有的，分为左除和右除，相应的运算符为”\”和”/“。一般情况下，方程AX=B的解是X=A\B，而方程XA=B的解是X=A/B。
- 对于上述的四则运算，需要注意的是：矩阵的加、减、乘运算的维数要求与线性代数中的要求一致。
5.2.1 矩阵的加法运算
- 设A=(aij),B=(bij)都是m×n矩阵，矩阵A与B的和记成A + B，规定为
(1)交换律 A+B = B+A
(2)结合律（ A + B ）+C = A+( B + C )
- 实例 ————— 验证加法法则
>> A=[5 6 9 8 ;5 3 6 7]A =5 6 9 85 3 6 7>> B=[3 6 7 9;5 8 9 6]B =3 6 7 95 8 9 6>> C=[9 3 5 6; 8 5 2 1]C =9 3 5 68 5 2 1>> A+Bans =8 12 16 1710 11 15 13>> B+Aans =8 12 16 1710 11 15 13>> (A+B)+Cans =17 15 21 2318 16 17 14>> A+(B+C)ans =17 15 21 2318 16 17 14>> D=[1 5 6; 2 5 6]D =1 5 62 5 6>> A+D矩阵维度必须一致。 %只有相同维度的矩形才能进行计算
- 实例 ————— 矩阵求和
- 本实例求解矩阵之和
>> [1 2 3;-1 5 6] + [0 1 -3;2 1 -1]ans =1 3 01 6 5
- 实例 ————— 矩阵求差
- 本实例求解矩阵的减法运算
>> A=[5 6 9 8;5 3 6 7]A =5 6 9 85 3 6 7>> B =[3 6 7 9; 5 8 9 6]B =3 6 7 95 8 9 6>> -Bans =-3 -6 -7 -9-5 -8 -9 -6>> A-Bans =2 0 2 -10 -5 -3 1
- 本实例求解矩阵的减法运算
5.2.2 矩阵的乘法运算
- 数乘运算
- 数λ与矩阵A=(aii)m×n 的乘积记成λA或Aλ，规定为
- 同时，矩阵还满足下面的规律：
%3D(%CE%BB%CE%BC)A%0A(%CE%BB%2B%CE%BC)A%3D%CE%BBA%2B%CE%BCA%0A%CE%BB(A%2BB)%3D%CE%BBA%2B%CE%BBB%0A#card=math&code=%CE%BB%28%CE%BCA%29%3D%28%CE%BB%CE%BC%29A%0A%28%CE%BB%2B%CE%BC%29A%3D%CE%BBA%2B%CE%BCA%0A%CE%BB%28A%2BB%29%3D%CE%BBA%2B%CE%BBB%0A&id=SvYJM)
- 其中λ，μ为数，A，B为矩阵。
>> A=[1 2 3 ; 0 3 3; 7 9 5]A =1 2 30 3 37 9 5>> A*5ans =5 10 150 15 1535 45 25
- 乘运算
- 若3个矩阵有相乘关系，设A=(aij)是一个m×s的矩阵，B=(bij) 是一个s×n矩阵，规定A与B的积为一个m×n矩阵C=(cij)，
- 即C=A*B，需要满足以下3种条件。
- 矩阵A的列数与矩阵B的行数相同；
- 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数；
- 矩阵C的第m行n列元素值等于矩阵A的m行元素与矩阵B的n列元素对应值积的和。
>> A=[1 2 3; 0 3 3; 7 9 5]A =1 2 30 3 37 9 5>> B=[8 3 9 ; 2 8 1; 3 9 1]B =8 3 92 8 13 9 1>> A*Bans =21 46 1415 51 689 138 77
注意： - AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律。
- 若矩阵A、B满足AB=0,未必有A=0或B=0的结论。
- 点乘运算
- 点乘运算指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。
>>A.*Bans =8 6 270 24 321 81 5
- 点乘运算指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。
- 实例 ————— 矩阵乘法运算
>> A=[0 0 ;1 1]A =0 01 1>> B=[1 0 ; 2 0]B =1 02 0>> 6*A-5*Bans =-5 0-4 6>> A*B-Aans =0 02 -1>> B*A-Aans =0 0-1 -1>> A.*B-Aans =0 01 -1>> A*B./A-Aans =NaN NaN2 -1
5.2.3 矩阵的除法运算
- 计算左除A\B时，A的行数要与B的行数一致，计算右除A/B时，A的列数要与B的列数一致。
- 左除运算
- 由于矩阵的特殊性，AB通常不等于BA，除法也一样。因此除法要区分左右。
- 线性方程组D*X=B，如果D非奇异，即它的逆矩阵inv(D)存在，则其解用MATLAB表示为
- 符号”\”称为左除，即分母放在左边。
- 左除的条件：B的行数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）
>> A.\Bans =8.0000 1.5000 3.0000Inf 2.6667 0.33330.4286 1.0000 0.2000
- 实例 ————— 验证矩阵的除法
- 计算除法结果与除数的乘积与被除数是否相同
A=[1 2 3; 5 8 6]A =1 2 35 8 6B=[8 6 9;4 3 7]B =8 6 94 3 7C=A./BC =0.1250 0.3333 0.33331.2500 2.6667 0.8571D=B.*CD =1 2 35 8 6
- 计算除法结果与除数的乘积与被除数是否相同
- 右除运算
- 若方程组表示为X*D1=B1，D1非奇异，即它的逆阵inv(D1)存在，则其解为
%3DB1%2FD1%0A#card=math&code=X%3DB1%2Ainv%28D1%29%3DB1%2FD1%0A&id=fu4nT)
- 符号”/“称为右除
- 右除的条件：B1的列数等于D1的阶数(D1的行数和列数相同，简称阶数)。
>> A./Bans =0.1250 0.6667 0.33330 0.3750 3.00002.3333 1.0000 5.0000
实例 ————— 矩阵的除法
求解矩阵左除与右除
>> A=[1 2 3;5 8 6]A =1 2 35 8 6>> B=[8 6 9;4 3 7]B =8 6 94 3 7>> A.\Bans =8.0000 3.0000 3.00000.8000 0.3750 1.1667>> A./Bans =0.1250 0.3333 0.33331.2500 2.6667 0.8571
- 动手练一练 ——- 矩阵四则运算
思路点拨： - 输入矩阵
- 使用算术符号计算矩阵
>> A=[6 3; 8 2;-1 8]A =6 38 2-1 8>> B=[0 1; 3 9; 0 -1]B =0 13 90 -1>> -Bans =0 -1-3 -90 1>> A-Bans =6 25 -7-1 9>> 5*Aans =30 1540 10-5 40>> A*6ans =36 1848 12-6 48
5.3 矩阵运算
- 本小节主要介绍矩阵的一些基本运算，如矩阵的逆以及求矩阵的条件数与范数等。下面将分别介绍这些运算。
- 常用的矩阵函数见下表 | 函数名 | 说明 | 函数名 | 说明 | | —- | —- | —- | —- | | cond | 矩阵的条件数值 | diag | 对角变换 | | condest | 1-范数矩阵条件数值 | expm | 矩阵的指数运算 | | det | 矩阵的行列式值 | logm | 矩阵的对数运算 | | eig | 矩阵的特征值 | sqrtm | 矩阵的开方运算 | | inv | 矩阵的逆 | cdf2rdf | 复数对角矩阵转换成实数块对角矩阵 | | norm | 矩阵的范数值 | rref | 转换成逐行递减的阶梯矩阵 | | normest | 矩阵的2-范数值 | rsf2csf | 实数块对角矩阵转换成复数对角矩阵 | | rank | 矩阵的秩 | rot90 | 矩阵逆时针方向旋转90° | | orth | 矩阵的正交化运算 | fliplr | 左、右翻转矩阵 | | rcond | 矩阵的逆条件数值 | flipud | 上、下翻转矩阵 | | trace | 矩阵的迹 | reshape | 改变矩阵的维数 | | triu | 上三角变换 | funm | 一般的矩阵函数 | | tril | 下三角变换 | | |
5.3.1 幂函数
- A是一个n阶矩阵，k是一个正整数，规定
- 称为矩阵的幂。其中k,l 是正整数。
- 矩阵的幂运算是将矩阵中的每个元素进行乘方运算，即
- 在MATLAB中，幂运算就是在乘方符号”.^”后面输入幂的次数。
- 对于单个n阶矩阵A
%5El%20%3D%20A%5E%7Bkl%7D.%0A#card=math&code=A%5EkA%5El%20%3D%20A%5E%7Bk%2B1%7D%2C%20%28A%5Ek%29%5El%20%3D%20A%5E%7Bkl%7D.%0A&id=ZiHxQ)
>> A=[1 2 3;0 3 3;7 9 5]A =1 2 30 3 37 9 5>> A.^2ans =1 4 90 9 949 81 25
- 对于两个n阶矩阵A与B
%5Ek%20%E2%89%A0%20A%5EkB%5Ek%0A#card=math&code=%28AB%29%5Ek%20%E2%89%A0%20A%5EkB%5Ek%0A&id=vIWEk)
- 实例 ——- 矩阵的幂运算
- 本实例演示矩阵的幂运算
>> A=[1 2 3;0 3 3; 7 9 5]A =1 2 30 3 37 9 5>> B=[5 6 8;6 0 5;4 5 6]B =5 6 86 0 54 5 6>> (A*B)^5ans =1.0e+11 *0.3047 0.1891 0.36490.2785 0.1728 0.33351.0999 0.6825 1.3173>> A^5*B^5ans =1.0e+10 *2.5561 2.1096 3.36132.5561 2.1095 3.36136.8284 5.6354 8.9793
- 本实例演示矩阵的幂运算
- 另外，常用的运算还有指数函数、对数函数、平方根函数等。用户可查看相应的帮助获得使用方法和相关信息。
5.3.2 矩阵的逆
- 对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B满足AB=BA=I，则称矩阵A为可逆的，称方阵B为A的逆矩阵，记为A-1 。
- 逆矩阵的性质：
- 若A可逆，则A-1是唯一的。
- 若A可逆，则A-1也可逆，并且(A-1)-1 = A。
- 若n阶方阵A与B都可逆，则AB也可逆，且(AB)-1 = B-1A-1。
- 若A可逆，则|A-1| = |A|-1 。
- 我们把满足|A|≠0的方阵A称为非奇异的，否则就称为奇异的。
- 求解矩阵的逆使用函数inv，调用格式如下。
%0A#card=math&code=Y%3Dinv%28X%29%0A&id=Oyt46)
实例 ——- 随机矩阵求逆
本实例求解随机矩阵的逆矩阵
>> A=rand(3)A =0.8147 0.9134 0.27850.9058 0.6324 0.54690.1270 0.0975 0.9575>> B=inv(A)B =-1.9958 3.0630 -1.16902.8839 -2.6919 0.6987-0.0291 -0.1320 1.1282
提示： 逆矩阵必须使用方阵，即2×2、3×3，即n×n格式的矩阵，否则弹出警告信息。>> A=[1 -1; 0 1; 2 3]A =1 -10 12 3>> B=inv(A)错误使用 inv矩阵必须为方阵。
- 求解矩阵的逆条件数值使用函数rcond，调用格式如下。
>> A=rand(3)A =0.9649 0.9572 0.14190.1576 0.4854 0.42180.9706 0.8003 0.9157>> C=rcond(A)C =0.0824
- 实例 ——- 矩阵更新
- 在编写算法或处理工程、优化等问题时，经常会碰到一些矩阵更新的情况，这时读者必须弄清楚矩阵的更新步骤，这样采用编写出相应的更新算法。下面来看一个关于矩阵逆的更新问题：对于一个非奇异矩阵A，如果用某一列向量b替换其第p列，那么如何在A-1的基础上更新出新矩阵的逆呢？
- 操作步骤：
- 解：首先来分析一下上述问题：设A=[a1 a2 … ap … an]，设其逆为A-1，则有A-1A=[A-1a1 A-1a2 … A-1ap … A-1an] =
。设A的第p列ap被列向量b替换后的矩阵为
，即
。令
,则有:
- 解：首先来分析一下上述问题：设A=[a1 a2 … ap … an]，设其逆为A-1，则有A-1A=[A-1a1 A-1a2 … A-1ap … A-1an] =
Logs：用语雀已修复 (PS：不知道为啥这里公式不支持Markdown的格式，所以用截图了，然后下面那个图可以….)
源代码(复制到typora打开，选项中记得勾选支持markdown格式)
- 如果
≠ 0，则我们可以通过初等行变换将上式的右端化为单位矩阵，然后将相应的变换作用到
,那么得到的矩阵即为
的更新。事实上行变换矩阵即为
- 该问题具体的矩阵更新函数updateinv.m如下。
function invA=updateinv(invA,p,b)%此函数用来计算A中的第p列被另一列b代替后，其逆的更新[n,n] = size(invA);d=invA*b;if abs(d(p))<eps %若d(p) = 0则说明替换后的矩阵是奇异的warning('替换后的矩阵是奇异的!');newinvA=[];return;else%对A的逆作相应的行变换invA(p,:)=invA(p,:)/d(p);if p>1for i=1:p-1invA(i,:)=invA(i,:)-d(i)*invA(p,:);endendif p<nfor i=p+1:ninvA(i,:)=invA(i,:)-d(i)*invA(p,:);endendend
- 已知矩阵
,求A-1，并在A-1的基础上求矩阵A的第2列被b替换后的逆矩阵。验证上面所编函数的正确性。
- 解：MATLAB程序如下。
>> A=[1 2 3 4;5 6 1 0;0 1 1 0;1 1 2 3];>> b=[1 0 1 0]';>> invA=inv(A)invA =-1.5000 0.1000 0.4000 2.00001.5000 0.1000 -0.6000 -2.0000-1.5000 -0.1000 1.6000 2.00001.0000 0 -1.0000 -1.0000>> newinvA=updateinv(invA,2,b)newinvA =0.3333 0.2222 -0.3333 -0.44441.6667 0.1111 -0.6667 -2.2222-1.6667 -0.1111 1.6667 2.22221.0000 0 -1.0000 -1.0000>> A(:,2)=b %显示A的第2列被b替换后的矩阵A =1 1 3 45 0 1 00 1 1 01 0 2 3>> inv(A) %求新矩阵的逆，与newinvA比较(结果是一样的)ans =0.3333 0.2222 -0.3333 -0.44441.6667 0.1111 -0.6667 -2.2222-1.6667 -0.1111 1.6667 2.22221.0000 -0.0000 -1.0000 -1.0000
5.3.3 矩阵的条件数
- 矩阵的条件数在数值分析中是一个重要的概念，在工程计算中也是必不可少的，它用于刻画一个矩阵的”病态”程度。
- 对于非奇异矩阵A，其条件数的定义为
_v%20%3D%20%7C%7CA%5E%7B-1%7D%7C%7C_v%7C%7CA%7C%7C_v%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%2Cv%20%3D%201%2C2%2C%5Cdots%2CF%E3%80%82%0A#card=math&code=cond%28A%29_v%20%3D%20%7C%7CA%5E%7B-1%7D%7C%7C_v%7C%7CA%7C%7C_v%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%2Cv%20%3D%201%2C2%2C%5Cdots%2CF%E3%80%82%0A&id=sQOfc)
- 它是一个大于或等于1的实数，当A的条件数相对较大，即
_v#card=math&code=cond%28A%29_v&id=CEWz5)>>1时，矩阵A是”病态”的，反之是”良态”的。
5.3.4 矩阵的范数
- 范数是数值分析中的一个概念，它是向量或矩阵大小的一种度量，在工程计算中有者重要的作用。对于向量
，常用的向量范数有以下几种。
- x的
-范数：
- x的1-范数：
- x的2-范数（欧氏范数）：
%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20(%5Csum%5Climits%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5E2)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D#card=math&code=%7C%7Cx%7C%7C_2%20%3D%20%28x%5ETx%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20%28%5Csum%5Climits%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5E2%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D&id=HChvn)
- x的
-范数：
%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D#card=math&code=%7C%7Cx%7C%7Cp%20%3D%20%28%5Csum%5Climits%7Bi%3D1%7D%5En%7Cx_i%7C%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D&id=pvYoU)
- x的
- 对于矩阵A=
5.4 矩阵分解
5.4.1 楚列斯基(Cholesky)分解
5.4.2 LU分解
5.4.3 LDMT 与LDLT 分解
5.4.4 QR分解
5.4.5 SVD分解
5.4.6 舒尔（Schur）分解
5.4.7 海森伯格（Hessenberg）分解
5.5 综合实例 ——- 方程组的求解
5.5.1 利用矩阵的逆
5.5.2 利用矩阵分解求解
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