程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。
理论上，递归三要素可分为：

  1. 递归的终结点；
  2. 递归的公式；

  3. 递归的方向必须走向终结点；

    示例1：累加求和

    1. /**
    2. * 求 1 - n 的和
    3. */
    4. public static int f(int n){
    5.  if(n == 1 ) {
    6.      return 1;
    7.  }
    8.  return f(n - 1) + n;
    9. }

  4. 递归的终结点：f(1) = 1;

  5. 递归的公式：f(n) = f(n-1) + n；
  6. 递归的方向走向终结点 f(1);

    公式的转换

    对于公式 f(x) = f(x + 1) + 2 来说，其递归的方向为正无穷，当他的终结点为 f(1) 时，就需要转换公式来解决。

即：令 x = x - 1; 则 f(x) = f(x - 1) - 2;

示例2：n 的阶乘

  1. public static int f(int n){
  2.     if(n == 1){
  3.         return 1 ;
  4.     }else{
  5.         return f(n - 1) * n;
  6.     }
  7. }
  1. 递归的终结点：f(1) = 1;
  2. 递归的公式
    1. n!= 123456…(n-1)n
      f(n) = 123456…(n-1)n
      f(n) = f(n-1)*n

  3. 递归的方向走向终结点 f(1);

    示例3：非规律化递归：啤酒问题


    啤酒2元1瓶，4个盖子可以换一瓶，2个空瓶可以换一瓶，问10元可以喝多少瓶，剩余多少盖子和瓶子 （15 3 1）

    1. /**
    2. * 啤酒2元1瓶，4个盖子可以换一瓶，2个空瓶可以换一瓶
    3. * @param money 多少钱
    4. * @param count 喝了多少瓶
    5. * @param gaizi 剩余盖子数
    6. * @param pingzi 剩余瓶子数
    7. * @return
    8. */
    9. public static int[] canDrink(int money,int count, int gaizi, int pingzi) {
    10.  if (money > 1 || gaizi >= 4 || pingzi >= 2) {
    11.      if (money > 0 && money != 1) {
    12.          return canDrink(money - 2, ++count, ++gaizi, ++pingzi);
    13.      }
    14.      if (gaizi >= 4) {
    15.          gaizi = gaizi - 4 + 1;
    16.          return canDrink(money, ++count, gaizi, ++pingzi);
    17.      }
    18.      if (pingzi >= 2) {
    19.          pingzi = pingzi - 2 + 1;
    20.          return canDrink(money, ++count, ++gaizi, pingzi);
    21.      }
    22.  }
    23.  return new int[]{count, gaizi, pingzi};
    24. }

    解法2：

    1. // 定义一个静态变量存储可以喝酒的总数
    2. public static int totalNum;
    3. public static int lastPingZiNum;
    4. public static int lastGaiZiNum;
    5. public static void buyBeer(int money){
    6.  // a.拿钱买酒
    7.  int number = money / 2 ;
    8.  // 累加起来
    9.  totalNum += number;
    11.  // 算出当前剩余的全部盖子和瓶子数，换算成金额继续购买。
    12.  int currentPingZiNum = lastPingZiNum + number ;
    13.  int currentGaiZiNum = lastGaiZiNum + number ;
    14.  // 把他们换算成金额
    15.  int totalMoney = 0 ;
    16.  totalMoney +=(currentPingZiNum/2)*2;
    17.  //算出剩余的瓶子
    18.  lastPingZiNum = currentPingZiNum % 2 ;
    20.  // 换算盖子
    21.  totalMoney+=(currentGaiZiNum / 4) * 2;
    22.  lastGaiZiNum = currentGaiZiNum % 4 ;
    24.  // 继续拿钱买酒
    25.  if(totalMoney >= 2){
    26.      buyBeer(totalMoney);
    27.  }
    28. }