1. 向量

1.1 向量相关概念

  • 向量：在 3D 笛卡尔坐标系中，一个由 x、y、z组成的顶点就是一个向量
  • 单位向量：长度为 1 的向量
  • 标准化向量：将长度不为 1 的向量缩放为 1 的过程。
    (x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|)
    使⽤一个非零向量除以它的模(向量的⻓度), 就可以得到⽅向相同的单位向量;

1.2 OpenGL 如何定义向量

  • math3d库，有2个数据类型，能够表示一个三维或者四维向量。
    typedef float M3DVector3f[3]; // 表示一个三维向量(x,y,z)
    typedef float M3DVector4f[4]; // 表示一个四维向量(x,y,z,w).
  • 在典型情况下，w为缩放因子，坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w，来进⾏行缩放。而除以1.0则本质上不改变x,y,z值。

1.3 向量运算

  • 点乘
    两个单位向量点乘会得到一个标量，是一个[-1,1]范围的值，这个标量表示的是两个向量的夹角（也就是cos余弦值）。
  1. // 获取两个向量的夹角
  2. float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
  3. // 获取两个向量的夹角的弧度
  4. float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const
  5. M3DVector3f v);
  • 叉乘
    2个向量（不必为单位向量）之间叉乘就可以得到另外⼀个新的向量，它会与原来2个向量定义的平面垂直（也叫法线）。向量叉乘不满足交换律。
  1. // 获取两个向量的叉乘结果（法线）
  2. void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const
  3.     M3DVector3f v);

2. 矩阵（Matrix）

2.1 矩阵的定义方式

  1. typedef float M3DMatrix33f[9];   // 三维矩阵的声明
  2. typedef float M3DMatrix44f[16];  // 四维矩阵的声明
  • 单元矩阵：一个矩阵叉乘单元矩阵后，结果还是原来的矩阵，不会发生改变。
  1. // 初始化一个单元矩阵
  2. void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
  • 矩阵可以只有一行或者一列。这种矩阵也可以叫做向量。
  • OpenGL的约定⾥,更多倾向使⽤一维数组; 这样做的原因是: OpenGL 使用的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定（在数学中叫做转置矩阵）。
    A0　　A1　　A2　　A3 　　　　
    A4　　A5　　A6　　A7 　　 　　
    A8　　A9　　A10　A11 　　 　
    A12 　A13 　A14 　 A15 　　
    👆从左至右、从上到下的读取方式为行优先矩阵排序
    A0　　A4 　 A8 　 A12
    A1　　A5 　 A9 　 A13
    A2 　 A6 　 A10 　 A14
    A3 　 A7　 A11 　 A15
    👆从上到下、从左至右的读取方式为列优先矩阵排序
  • 列矩阵的最后⼀行都为0，只有最后⼀个元素为1。
    xx　　xx 　 xx 　 xx
    xx　　xx 　 xx 　 xx
    xx　　xx 　 xx 　 xx
    0 　　0　　 0 　　1

2.2 为什么使用矩阵？

一个点（x,y,z）在坐标系中旋转后，我们想得到新的坐标，就需要使用到矩阵。因为新坐标的 x 值，不仅与旧坐标的x值及旋转参数有关系，甚至还和 y 值及 z 值有关系。一个物体的所有顶点都乘以矩阵，就能让整个物体变换到空间中给定的位置和方向。

2.3 使用矩阵的步骤

在坐标系文章中，曾介绍过坐标系变换的步骤如下图所示：
十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈 - 图1
从逻辑上，在坐标系的变换过程中，依次使用了模型矩阵、视图矩阵、投影矩阵。不过在OpenGL计算变换后的顶点向量时，其计算顺序是相反的。 计算公式如下所示：

  1. 变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
  2. 变换顶点向量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点

2.3.1. 视图变换：设置观察者的位置，以确定观察者坐标系。

任何模型变换之前，都要先进行视图变换。因为一旦观察者坐标系改变后，所以的物体变换都要基于新的坐标系进行。
默认情况下，透视投影中，观察者处于原点（0，0，0），并沿着Z轴负方向看过去（看向显示器内部）。

2.3.2. 模型变换：物体进行平移、旋转、缩放

  1. // 平移
  2. void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z);
  3. // 旋转
  4. m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), float x, float y, float z);
  5. // 缩放 （x/y/z参数传值-1时，可以实现物体围绕某一个轴的翻转）
  6. void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale);
  7. // 综合变换， a 为先变换的矩阵、b 为后变换的矩阵
  8. void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

注：由于矩阵叉乘不符合交换律，矩阵交换后，矩阵相乘的结果不一样。所以物体有多种变换时，变换顺序不可交换。
例如“先平移后旋转”与“先旋转后平移”的效果是不一致的。如下图所示：
十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈 - 图2
十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈 - 图3

十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈 - 图4

2.3.3. 投影变换：设置投影方式

  1. // 平截头体设置透视投影
  2. viewFrustum.SetPerspective(35.0f, float(nWidth)/float(nHeight), 1.0f, 100.0f);
  3. // 平截头体设置正投影
  4. void SetOrthographic(GLfloat xMin, GLfloat xMax, GLfloat yMin, GLfloat yMax, GLfloat zMin, GLfloat zMax)

3. 矩阵堆栈（GLMatrixStack）

  • 使用矩阵堆栈，在一个视图变换前，将其压栈，变换后出栈。以达到不影响其他视图的目的。
  • 矩阵堆栈的深度为64，默认栈顶有一个单元矩阵。
  • API 如下：
  1. ///---- 矩阵加载、相乘、获取
  3. //在堆栈顶部载⼊一个单元矩阵
  4. void GLMatrixStack::LoadIdentity(void);
  5. //在堆栈顶部载⼊任何矩阵 //参数:4*4矩阵
  6.  void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);
  7. //矩阵乘以矩阵堆栈顶部矩阵，相乘结果存储到堆栈的顶部
  8. void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f);
  9. //获取矩阵堆栈顶部的值
  10. void GLMatrixStack::GetMatrix(void);
  11. void GLMatrixStack::GetMatrix(M3DMatrix44f mMatrix);
  13. ///---- 矩阵压栈、出栈
  15. //将当前矩阵压⼊入堆栈(栈顶矩阵copy ⼀份到栈顶) 
  16. void GLMatrixStack::PushMatrix(void);
  17. //将 M3DMatrix44f 矩阵对象压入当前矩阵堆栈
  18. void GLMatrixStack::PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);
  19. //将GLFame 对象压⼊入矩阵对象
  20. void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFame &frame);
  21. //出栈(出栈指的是移除顶部的矩阵对象) 
  22. void GLMatrixStack::PopMatrix(void);
  24. //将堆栈的顶部压⼊GLFrame角色帧
  25. void GLMatrixStack::LoadMatrix(GLFrame &frame);
  26. //GLFrame乘以矩阵堆栈顶部的矩阵。相乘结果存储在堆栈的顶部 
  27. void GLMatrixStack::MultMatrix(GLFrame &frame);
  28. //将当前的GLFrame压栈
  29. void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFrame &frame);
  31. ///---- 矩阵仿射变换（一般使用模型变换，很少直接通过堆栈进行放射变换）
  33. // 旋转 angle是度数，⽽不是弧度
  34. void MatrixStack::Rotate(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
  35. // 平移
  36. void MatrixStack::Translate(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
  37. // 缩放
  38. void MatrixStack::Scale(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);

十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈 - 图5

3.1 GLFrame 角色帧类

  • 可以表示物体或观察者所处的位置，主要有三个参数
    vOrigin：当前所处的位置，默认是（0，0，0），处于原点
    vForward：即将要去的位置，默认是（0，0，-1），朝向-z轴方向
    vUp：朝向哪，默认是（0，1，0），朝向+y轴方向
  • 通过 “旋转坐标系/平移” 来改变观察者/物体的位置
  1. ///---- 移动位置
  2. // Move Forward (along Z axis)
  3. inline void MoveForward(float fDelta);
  4. // Move along Y axis
  5. inline void MoveUp(float fDelta)
  6. // Move along X axis
  7. inline void MoveRight(float fDelta)
  9. ///---- 旋转
  10. // Rotate in world coordinates...
  11. void RotateWorld(float fAngle, float x, float y, float z)
  12. // Rotate around a local axis
  13. void RotateLocal(float fAngle, float x, float y, float z)